Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
komb.docx
Скачиваний:
56
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
75.49 Кб
Скачать

Размещения

Задача1. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Решение:

Различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества.

Следовательно, число способов равно числу размещений из 14 элементов по 5, т.е. равно А514

А514 = 14 13 12 1110 = 240240

Задача 2 Автомобильные номера состоят из трех букв (всего используется 30 букв) и четырех цифр (используются все 10 цифр). Сколько автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

Решение:

На первом месте у автомобильного номера может быть любая из 30 букв. Следовательно, первая буква может быть выбрана 30 способами. На втором месте также может находиться любая из 30 букв, поэтому первые две буквы номера могут быть выбраны 302 способами. Ясно, что три буквы можно выбрать 303 способами. Аналогично рассуждая, получаем, что четыре цифры можно выбрать 104 способами. Таким образом, всего может быть занумеровано 303·104 = 27 · 107 автомобилей.

Задача3 В лифт 8-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Предположим, что каждый из них независимо друг от друга и с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах.

Решение:

Каждый человек может выйти из лифта семью способами (на каждом этаже, начиная со второго). Поэтому всего возможно 75 исходов. Благоприятный исход состоит в том, что все пятеро выходят на разных этажах. Поэтому первый может выйти семью способами, второй - только шестью, третий - только пятью, четвертый - четырьмя, пятый - тремя способами. Число благоприятных исходов равно А57 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 , а искомая вероятность равна

А57 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 360

Задача4. Участники кружка решили написать номера из цифр трех цветов: на первом месте - три цифры красного цвета, на втором - две цифры желтого цвета, на третьем - четыре зеленых. Сколько всего номеров можно написать, если красным цветом можно записать 1,2,3,4,6, желтым - 0,2,5,7, а зеленым - 1,3,5,6,7,8,9?

Решение:

Число номеров равно

А35  А24  А47 =53  42 74 = 4802000

Задача5. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, стал набирать их наудачу. Сколько вариантов ему надо перебрать, чтобы набрать нужный номер?

Решение:

Две последние цифры можно набрать числом способов, равным числу упорядоченных двухэлементных подмножеств у десятиэлементного множества (множества всех цифр). Это число способов равно А210.

А210 = 10  9 = 90

Задача 6. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не долее пяти символов?

Решение: Общее количество букв будет складываться из кол-ва, образованного одним, двумя, тремя и т.д символами. Значит, для подсчета общего кол-ва букв необходимо отдельно сосчитать кол-во, образованное различным числом символов.

Одним символом - B(2,1) = 21 = 2 (размещения с повторениями);

Двумя символами - Р(2) = 22 = 4 (перестановки с повторениями);

Тремя символами - В(2,3) = 23 = 8 (размещения с повторениями);

Четырьмя символами - В(2,4) = 24 = 16 (размещения с повторениями);

Пятью символами - В(2,5) = 25 = 32 (размещения с повторениями).

Следовательно, общее число символов равно: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64.

Задача 7.Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Решение:

В данном случае надо найти число размещений (без повторений) из 25 элементов по 4. Ведь здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные (выбор: президент - Иванов, вице-президент - Петров, ученый секретарь - Тимошенко, казначей - Алексеев, отличается от выбора: президент - Тимошенко, вице-президент Петров, ученый секретарь - Алексеев и казначей - Иванов). Поэтому ответ дается формулой

А425=25*24*23*22=303600.

Задача8.

В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?

Решение:

Чтобы найти число способов, которыми могут быть расставлены чашки надо найти число размещений (без повторений) из 4 элементов по 3, блюдца - число размещений из 5 элементов по 3, ложки - число размещений из 6 элементов по 3. В решении используется формула размещений без повторений, так как здесь играет роль, какая из ложек (чашек, блюдец) будет выбрана, так как все чайные приборы отличаются друг от друга. Число способов, которыми могут быть выбраны 3 чашки, блюдца и ложки находится по правилу произведения: А343536=4*3*2*5*4*3*6*5*4=172800 способов.

Задача 9. Сколько существует различных исходов эксперимента, связанного с n бросаниями монеты? (Исходы двух экспериментов считаются различными, если очередность выпадения гербов в этих экспериментах не совпадает с очередностью выпадения цифр.)

Решение:

Условимся результаты рассматриваемого опыта обозначать строками длины n, составленными из элементов множества {0,1}. Падение монеты цифрой вверх при первом подбрасывании обозначается элементом 0 на первом месте строки, гербом вверх - элементом 1. Падение монеты цифрой вверх при втором подбрасывании обозначается элементом 0 на втором месте строки, гербом вверх - элементом 1. Например, строка 00...0 обозначает исход опыта, при котором монета падает цифрой вверх при каждом подбрасывании, а строка 01...1 - исход опыта, при котором монета падает цифрой вверх при первом подбрасывании и гербом вверх при всех остальных. Различные результаты обозначаются различными строками, и каждая строка обозначает некоторый исход. Таким образом, число результатов рассматриваемого опыта равно числу строк длины n, составленных из элементов множества {0,1}, т.е. числу 2 n.

Задача 10. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Решение:

Любой такой способ является размещением без повторений из 11 элементов по 5. Значит, число способов выбора равно:

A(n,m) = .

Задача 11. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Решение:

Так как порядок расположения деталей между токарями имеет значение и все детали разные, то в данном случае число таких способов будет размещением без повторений из 8 элементов (токарей) по три (деталей). Следовательно число таких способов равно:

A(8, 5) = .

Задача 12. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя детьми?

Решение. Каждый способ раздела является отображением множества конфет в множество детей. Число таких отображений равно 36, т.е. 729.

Задача 13. Сколько шестизначных номеров можно составить из десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Решение:

. Так как играет роль порядок расположения элементов, но каждый из них может встретиться несколько раз, то число номеров равно размещению с повторениями из десяти цифр по шесть.

A(10,6) = 106.

Задача 14. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресатам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Решение:

Пронумеруем письма. Также обозначим все письма цифрами 0 и 1 таким образом, что если i письмо обозначено цифрой 1, то его доставляет первый почтальон (соответственно письмо, обозначенное 0, первый почтальон не доставляет). Значит, количеством вариантов распределения работы будет размещение с повторениями из 2 по 10 (т.е. равно 210). Исключим тот случай, когда все письма доставляет один из почтальонов, так как второй при это остается без работы. Следовательно число способов равно 210-2.

Задача 15. ифт, в котором находится 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами в два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?

Решение:

В данной задаче количество пассажиров на не интересует, так как они выходят по группам. Пронумеруем эти группы номерами 1, 2, 3. Каждая из групп может выйти на одном из десяти этажей. Значит, количеством способов будет размещение без повторений из 10 по три. Следовательно, это количество равно

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]