3.2 Постановка транспортной задачи и ее решение.

Имеется несколько пунктов производства и пунктов потребления некоторого продукта. Для каждого из пунктов производства задан объем производства, а для каждого пункта потребления - объем потребления. Известна также стоимость перевозки из каждого пункта производства в каждый пункт потребления. Все пункты потребления должны быть обеспечены необходимой продукцией, но из каждого пункта производства не может вывозиться продукции больше, чем там производится, а стоимость перевозки должна была минимальной.

Рассмотрим конкретную задачу и ее решение. Фирме необходимо организовать перевозку продукции с трех складов в пять магазинов. Сведения о наличии продукции на складах, о потребности в этой продукции у магазинов и о стоимости перевозки единицы продукции с каждого склада во все магазины приведены в табл.14.

Таблица 14

Решение задачи включает три этапа:

1. Построение математической модели.

2. Построение начального плана решения.

3. Оптимизация начального плана.

3.2.1. Построение математической модели

Обозначим

X_ij - количество продукции, отправляемой со склада i в магазин j: C_{i j} - стоимость перевозки единицы продукции со склада i в магазин j. Математическая модель будет состоять из ряда ограничений:

а) исходя из физического смысла задачи (количество и стоимость продукции не могут быть отрицательными величинами)

Х_ij≥ 0; C_ij ≥ 0 (1)

б) ограничения по предложению (со складов нельзя вывести продукции больше, чем там имеется):

X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ + X₁₅ ≤ 15

X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ + X₂₅ ≤25 (2)

X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ + X₃₅ ≤20

в) ограничения по спросу (в магазины следует завести не меньше продукции, чем им требуется):

X₁₁ + X ₂₁ + X ₃₁ ≥ 20

X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ ≥ 12

X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ ≥ 5 (3)

X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ ≥ 8

X₁₅ + X₂₅ + X₃₅ ≥ 15

Общая стоимость перевозок (целевая функция) равна:

Необходимо определить такие значения переменных Xij, которые удовлетворяют ограничениям (1), (2) и (3) и обращают в минимум целевую функцию Z (4). В такой постановке задача является транспортной задачей линейного программирования.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является условие баланса:

где - суммарное количество продукции на складах

(при этом - количество продукции на одном складе, i= 1,2,3);

- суммарное количество продукции, требуемой на складах (при этом - количество продукции, которое требуется j-му магазину, j=1,2,3,4,5).

В нашем случае

Следовательно, задача с балансом.

3.2.2. Разработка ЭТ с начальным планом решения

ЭТ приведена в табл.15 в режиме вычислений.

1. Подготовим блок ячеек с исходными данными.

В ячейках В4:В7 помещаем сведения о наличии продукции на складах. В ячейках C9:G9 - сведения о потребностях магазинов. В ячейках C5:G7 -данные о стоимости перевозок единицы продукции со складов в магазин.

2. Построим начальный план перевозок.

Считаем, что с каждого склада в каждый магазин везут одну единицу товара (ячейки C1:G13 заполним единицами).

3. Вычислим количество перевозимой продукции

а) В ячейку В11 - введем формулу для вычисления количества продукции, вывозимой с 1-го склада:

=СУММ(С11:G11).

Аналогично в ячейки В12, В13 введем формулы для вычисления количества продукции, вывозимой со второго и третьего складов:

=СУММ(С12:G12).

=СУММ(С13:G13).

Для начального плана перевозок все суммы равны 5.

б) В ячейку С15 введем формулу для вычисления количества продукции, которую везем в первый магазин

=СУММ(С11:С13).

Аналогично в ячейки D15:G15 введем формулы для вычисления количества продукции, которую везем во 2-й, 3-й, 4-й, 5-й магазины.

В ячейку D15 = СУММ (D11:D13)

В ячейку E15 =СУММ (E11:E13)

В ячейку F15 =СУММ (F11:F13)

В ячейку G15 =СУММ (G11:G13)