Билет 19

1. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения. Опыт Кавендиша по измерению гравитационной постоянной.

2. Получите уравнение Мещерского. Каково значение идей Э.А. Циолковского для развития космонавтики?

1

Эксперимент Кавендиша — первое экспериментальное измерение гравитационной постоянной. Установка представляет собой деревянное коромысло с прикреплёнными к его концам небольшими свинцовыми шарами радиусом 5 см и массой 775 г. Оно подвешено на нити из посеребрённой меди длиной 1 м. К шарам подносят шары большего размера радиусом 20 см и массой 49,5 кг, сделанные также из свинца. В результате действия гравитационных сил коромысло закручивается на некий угол. Жёсткость нити была такой, что коромысло делало одно колебание за 15 минут. Угол поворота коромысла определялся с помощью луча света, пущенного на зеркальце на коромысле, и отражённого в микроскоп. Зная упругие свойства нити, а также угол поворота коромысла, можно вычислить гравитационную постоянную.

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом mp/mS → 0, где mp, mS — массы планеты и Солнца.

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и апогелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя апогелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M — масса Солнца, а m1 и m2 — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

См.гравитацию

2

Реактивное движение.

С помощью закона сохранения импульса легко объяснить принцип реактивного движения. При сжигании топлива образовавшиеся газы с большой скоростью вылетают из сопла двигателя, а ракета движется в противоположном направлении, причем суммарный импульс системы остается неизменным.

Получим формулу, описывающую движение ракеты. Пусть скорость ракеты, относительно неподвижной системы отсчета v. Если двигатель за время Dt выбрасывает газы массой Dm со скоростью vотн – относительно ракеты, то относительно сопутствующей инерциальной системы отсчета, связанной с ракетой (движущейся так же со скоростью v) скорость ракеты станет Dv. Применим закон сохранения импульс (ЗСИ) к замкнуто системе ракета + газы. Напишем его относительно сопутствующей системы отсчета. Так как в начальный момент ракета и газы покоились, то полный импульс системы равен 0. Поэтому (7.8)

M- масса ракеты. Полная масса сохраняется, поэтому масса выброшенных газов равна убыли массы ракеты Dm+DM=0. Разделив уравнение 7.8 на промежуток времени Dt

получим: (7.9)

Уравнение для движения тел переменной массы в отсутствии внешних сил. Правую часть выражение можно представить, как реактивную силу (7.10). Реактивная сила направлена противоположно скорости истечения газов (нужно учесть, что dm<0). m-расход топлива (кг/c). Если, кроме реактивной, действуют и другие внешние силы, то выражение 7.9 примет вид: (7.11)

Это уравнение носит имя Мещерского. При заданном режиме расхода топлива m(t) уравнение позволяет рассчитать скорость ракеты в любой момент времени.