Приближенные вычисления

Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого (например, семизначная таблица логарифмов при вычислениях с числами, имеющими 5 верных значащих цифр - избыточна). Твёрдое знакомство с правилами приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < _a, то величина _a называетсяпредельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение _a / a = _a называется предельной относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах.

Пример:

3,14 является приближенным значением числа , погрешность его равна 0,00159..., предельную абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а предельную относительную погрешность v равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%. Для краткости обычно слово ?предельная¦ опускается.

Значащие цифры

Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные.

Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 ^.10² или 0,524 ^.10⁵. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчете значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Примеры:

	1 куб.фут = 0.0283 м3 - три верных значащих цифры
	1 дюйм = 2,5400 v пять верных значащих цифр.

Если число a имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность _a  1/(z*dⁿ-1), где z - первая значащая цифра числa a; d - основание системы счисления.

У числа a с относительной погрешностью _a верны n значащих цифр, где n - наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству (1+Z)_a  d^l-n.

Пример:

Если число a = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что _a = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, так как (4+1)0,001  10^v2.

Округление

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

Різновиди логіки які використовувалися як базиси чіткої логіки.(22)

поняття генетичних алгоритмів. (23)

Генетичний алгоритм (англ. genetic algorithm) — це еволюційний алгоритм пошуку, що використовується для вирішення задач оптимізації і моделювання шляхом послідовного підбору, комбінування і варіації шуканих параметрів з використанням механізмів, що нагадують біологічну еволюцію.

Особливістю генетичного алгоритму є акцент на використання оператора "схрещення", який виконує операцію рекомбінацію рішень-кандидатів, роль якої аналогічна ролі схрещення в живій природі. Вони здатні не тільки вирішувати і скорочувати перебір у складних завданнях, але й легко адаптуватися до зміни проблеми.

Схема генетичного алгоритму:

• Генерація випадкового початкового стану

Перше покоління створюється з довільно вибраних рішень (хромосом). Це відрізняється від стандартних методів, коли початковий стан завжди одне й те саме.

• Обчислення коефіцієнта пристасованності (fitness)

Кожному рішенню (хромосомі) зіставляється якесь чисельне значення, яке залежить від його близькості до відповіді.

• Відтворення

Хромосоми, що мають високий рівень пристасованності (fitness), потрапляють до нащадків (які потім можуть мутувати) з більшою ймовірністю. Нащадок, результат злиття 'батька' і 'матері', є комбінацією їх ген. Цей процес називається 'кроссіннговер' (crossing over).

• Наступне покоління

Якщо нове покоління містить рішення, досить близьке до відповіді, то задача вирішена. У протилежному випадку воно проходить через той же процес. Це продовжується до досягнення рішення.

Принципи пошуку аналогій. Квадрат Лейбніца.(24)

Міркування за індукцією , парадокс Хенпеля. (25)

Парадо́кс во́ронов (англ. Raven paradox), известный также как парадокс Гемпеля (нем. Hempels paradox) или во́роны Гемпеля — логический парадокс, сформулированный немецким математиком Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная логика иногда входит в противоречие с интуицией.

Гемпель описал этот парадокс следующим образом. Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны чёрные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны чёрные.

Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком — в реальной жизни так не происходит. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все не чёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные.

Наиболее распространённый метод разрешения этого парадокса состоит в применении теоремы Байеса, которая соотносит условную и предельную вероятность стохастических событий.

Принцип индукции утверждает, что:

Наблюдение явления Х, которое соответствует теории Т, увеличивает вероятность того, что теория Т истинна.

Логіка предикатів. (26)

Предикатом називають функціональне висловлювання, а висловлювання - предикатною константою. Логіка предикатів - це розширення логіки висловлювань за рахунок використання предикатів в ролі логічних функцій. Ці функції дещо відмінні від функцій Буля. Булеві функції однорідні, тобто, і область значень і область зміни аргументів або істинні, або хибні. Для предикатів область зміни логічна, а область значень - предметна.

Операції над предикатами. Предикат - це функціональне висловлювання, що приймає значення {0;1}, тому над предикатами визначені всі булеві операції: ,

У Логіці Предикатів — на додаток до засобів логіки висловів вводяться логічні оператори " («для всіх») і $ («для деяких» або«існує»), звані кванторами спільності і існування відповідно. Для виявлення субъектно-предикативної структури висловів вводиться нескінченний перелік індивідних змінних: х, у, z ..., х1, у1, zl ..., щопредставляють різні об'єкти, і нескінченний перелік предикативних змінних: Р, Q, R ..., Р1, Q1, Л1 ..., представляючої властивості і відношення об'єктів.Індивідні змінні приймають значення в довільній (непорожній)області; разом з цими змінними можуть вводитися індивідні константи, або імена власні. Запис ("х) Р (х) означає «Всякий х володіє властивістю Р»;($х)Р(х) - «Деякі х володіють властивістю Р»; ($x)Q(xy) - «Існує х, що знаходиться відносно Q з у» і так дальше. Індивідна змінна, що входить в область дії квантора по цій перемінній, називається зв'язаною; змінна,що не є зв'язаною, називається вільною

Основні принципи побудови експертних систем.(27)

Экспертная система – используется для решения трудно формализованных задач (не числовая форма, неоднозначность данных, цель нельзя выразить с помощью одной функции, нет алгоритма решения)

- идентификация предметной области – формируются требования к системе

- концептуализация – строим модель

- формализация знаний – определяем тип знаний и строим базу знаний, т.е. структура БЗ

- реализация - программный код

- тестирование и экспертиза

різновиди експертних систем. (28)

Експе́ртна систе́ма — це методологія адаптації алгоритму успішних рішень одної сфери науково-практичної діяльності в іншу. З поширенням компютерних технологій це тотожна (подібна, основана на оптимізуючому алгоритмі) інтелектуальна комп'ютерна програма, що містить знання та аналітичні здібності одного або кількох експертів у відношенні до деякої галузі застосування і здатна робити логічні висновки на основі цих знань, тим самим забезпечуючи вирішення специфічних завдань (консультування, навчання, діагностика, тестування, проектування тощо) без присутності експерта (спеціаліста в конкретній проблемній галузі). Також визначається як система, яка використовує базу знань для вирішення завдань (видачі рекомендацій) в деякій предметній галузі. Цей клас програмного забезпечення спочатку розроблявся дослідниками штучного інтелекту в 1960-ті та 1970-ті та здобув комерційне застосування, починаючи з 1980-их. Часто термін систе́ма, засно́вана на знання́х використовується в якості синоніма експертної системи, однак, можливості експертних систем ширші за можливості систем, заснованих на детермінованих (обмежених, реалізованих на поточний час) знаннях.