Поперечные силы и изгибающие моменты
Поперечные силы и изгибающие моменты определяют с помощью метода сечений через действующие на брус внешние силы.
Рассмотрим двухопорную балку. Считаем, что опорные реакции известны. Применим метод сечений и рассмотрим условие равновесия левой отсеченной части балки, показанной отдельно.
В проведенном сечении возникают два внутренних силовых фактора (Qy и Mx), заменяющих действие отброшенной части балки на оставленную.
Внешние и внутренние силы, приложенные к оставленной части бруса, образуют плоскую систему параллельных сил.
Составим для нее два уравнения равновесия.
|
1. |
ΣFiy=0 |
RA–qz–Qy= 0 |
→ |
Qy = RA–qz |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
ΣMк=0 |
RA·z–qz · z/2–Mх= 0 |
→ |
Mх = RA·z–qz2/2 |
1. Поперечная сила Qy в любом поперечном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть.
2. Изгибающий момент Мх в любом поперечном сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки, относительно той точки продольной оси бруса, через которую проведено данное сечение.
Правило знаков для «Qy»
|
|
Поперечные силы считаются положительными, если поворачивают элемент по часовой стрелке.
|
Правило знаков для «Мх»
Мх считают положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части.
График, показывающий закон изменения поперечных сил по всей длине бруса, называется эпюрой поперечных сил.
График, показывающий закон изменения изгибающих моментов по всей длине балки, называется эпюрой изгибающих моментов.
Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом
Выделим из балки двумя поперечными сечениями бесконечно малый элемент длиной dz. Действие левой и правой отброшенных частей балки на выделенный элемент заменяем поперечными силами и изгибающими моментами, значения которых для двух сечений могут различаться лишь на бесконечно малые величины dQy и dMх .
Составим уравнения равновесия для выделенного элемента:
|
1. |
ΣFiy=0 |
Qy + qdz – (Qy + dQy) = 0 |
(1)
Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
|
2. |
ΣMx=0 |
Mх + Qy · dz + qdz · dz/2 – (Mх + dMх) = 0 |
Пренебрегаем qdz2/2 как бесконечно малой высшего порядка
(2)
Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.
(3)
Интенсивность распределенной нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по длине балки.
Нормальные напряжения при изгибе
Для определения нормальных напряжений при чистом изгибе, необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению. Эта задача решается с помощью двух допущений: