2.6. Растяжение (сжатие) и изгиб бруса большой жёсткости

Рассмотрим брус длиной ℓ постоянного поперечного сечения А, защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце произвольно направленной силой F, приложенной в центре тяжести сечения.

Разложим силу F на составляющие F_х, F_у, F_z. В результате действия этих составляющих получаем сочетание деформаций растяжения и поперечного изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, причем касательными напряжениями изгиба будем в дальнейшем пренебрегать.

Применим принцип независимости действия сил и определим максимальные нормальные напряжения в опасном сечении (заделке):

σ_t=F_z / A, σ_1u = ± F_y l /W_y

максимальные суммарные напряжения возникнут в точке В и будут напряжениями растяжения:

σ_max = σ_B = F_B = F_z / A + F_yℓ / W_x+ F_xℓ / W_y

Эпюры нормальных напряжений растяжения и изгиба представлены на рисунке.

Деформации растяжения и изгиба сочетаются, например, у крюков, винтов с отогнутой головкой.

Внецентренное сжатие. Внецентренным сжатием называется такой вид деформации, когда сжимающая сила параллельна оси бруса, но точка ее приложения не совпадает с центром тяжести сечения (ранее изученную нами деформацию можно назвать центральным сжатием).

Рассмотрим брус прямоугольного сечения А = b · h , к которому на расстоянии ℓ от оси приложена параллельная ей сила F.

В центре тяжести сечения вдоль оси приложим две противоположно направленные силы, равные по модулю силе F. Полученную систему трех сил будем рассматривать как силу F, приложенную в центре тяжести, и пару сил с моментом m=Fe. Пользуясь принципом независимости действия сил, внецентренное сжатие будет рассматриваться как сочетание центрального сжатия и чистого изгиба, причем соответствующие нормальные напряжения определять по формулам

σ_c = –F / A σ_u = ± M_u / W

Максимальные суммарные напряжения будут напряжениями сжатия:

σ_max= – F/A – Fe/W

Эпюры нормальных напряжений сжатия, изгиба и суммарная эпюра представлены на рисунке.

2.7. Изгиб с кручением; кручение с растяжением (сжатием) Общие сведения о напряжённом состоянии в точке тела

Напряжённое состояние в данной точке характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в пространстве площадок, которые можно провести через эту точку.

Напряжённое состояние в точке тела задано, если известны напряжения на любых трёх проходящих через неё взаимно перпендикулярных площадках.

Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через исследуемую точку, имеются три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых отсутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные напряжения называют главными.

Главные напряжения обозначают σ₁, σ₂, σ₃; при этом индексы расставляют лишь после того, как эти напряжения вычислены, так чтобы выполнялись алгебраические неравенства

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃

Классификация напряжённых состояний

1. Трёхосное, объёмное, пространственное (все три главных напряжения отличны от нуля) (рис. а, б, в).

2. Двухосное, плоское (одно из главных напряжений равно нулю) (рис. г, д, е).

3. Одноосное, линейное (только одно из главных напряжений отлично от нуля) (рис. ж, з).

Максимальное касательное напряжение возникает на площадке, параллельной вектору σ₂ и делящей пополам прямой угол между площадками действия σ₁ и σ₃.

Это напряжение равно полуразности максимального и минимального главных напряжений

Площадка, на которой возникает напряжение τ_max, отмечена на рисунке штриховкой. На площадке, перпендикулярной отмеченной, возникает такое же по значению касательное напряжение.

1. Назначение гипотез прочности

В случае одноосного напряжённого состояния оценка прочности в данной точке конструкции производится путём непосредственного сопоставления возникающего в ней рабочего напряжения либо с предельным, либо с допускаемым напряжением.

При этом существует два способа оценки прочности конструкции:

1.

2.

Предельное напряжение определяют при механических испытаниях данного материала на одноосное растяжение и сжатие. Для пластичных материалов за предельное напряжение принимают предел текучести σ_У; для хрупкопластичных – условный предел текучести σ_0,2; для хрупких – предел прочности – σ_U.

Возникает вопрос, к подойти к оценке прочности в общем случае сложного (объёмного или плоского) напряжённого состояния.

Конечно, для любой детали экспериментально можно найти величины разрушающей и допускаемой нагрузок, что освобождает нас от их расчёта, но путь этот громоздкий и дорогостоящий, так как разнообразие напряжённых состояний безгранично, велика номенклатура применяемых материалов, и создать каждое из возможных встречающихся в практике напряжённых состояний, да к тому же для всех материалов, невозможно в лабораторных условиях.

для того, чтобы избежать сложных экспериментов и дорогостоящих натурных испытаний (в отдельных случаях на это идут, например, в самолётостроении), необходимо, располагая экспериментальными данными определённого материала при одноосном растяжении и сжатии, иметь возможность оценить прочность конструкции в условиях любого сложного напряжённого состояния.

Это становится возможным при применении гипотез прочности (теорий прочности, теорий предельных напряжённых состояний.

Основная задача гипотез прочности состоит в разработке критерия, позволяющего сравнивать между собой разнотипные напряжённые состояния с точки зрения близости их к предельному состоянию (возникновение текучести, признаков хрупкого разрушения).

Сравнение разнотипных напряжённых состояний производится с помощью эквивалентного напряжённого состояния.

Два напряжённых состояния равноопасны или эквивалентны, если они переходят в предельные при увеличении соответствующих им главных напряжений в одно и то же число раз, равное коэффициенту запаса прочности.

Таким образом, коэффициенты запаса прочности для эквивалентных напряжённых состояний одинаковы.

Напряжение при одноосном растяжении, равноопасное заданному сложному напряжённому состоянию, называют эквивалентным напряжением (σ_red)_.

Определение коэффициента запаса прочности по гипотезем прочности можно представить условной схемой:

т.е сложное напряжённое состояние заменяем эквивалентным ему одноосным растяжением и сравниваем соответствующее напряжение с предельным (σ_dan) или с допускаемым (σ_adm) для данного материала.

Гипотезы прочности – это гипотезы, указывающие признаки равноопасности (критерии эквивалентности) различных напряжённых состояний; предположения об основной причине достижения материалом предельного напряжённого состояния при сочетании основных деформаций.

2. Гипотезы прочности