03 семестр / К экзамену-зачёту / Экзаменационные вопросы
.docВопросы для подготовки к экзамену по курсу «Дифференциальные уравнения», 2 курс, 8-го факультета, зимняя сессия 2003 / 2004 учебного года
-
Задачи, приводящие к ДУ. Основные определения: дифференциальное уравнение, его порядок, степень, общее и частное решение, интеграл, интегральная кривая. Основные задачи курса ДУ.
-
Геометрический смысл ДУ первого порядка. Приближенное геометрическое построение интегральных кривых методом изоклин. Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.
-
Интегрируемые типы ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной: с разделяющимися переменными, однородные, линейные и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати.
-
Уравнения в полных дифференциалах. Метод интегрирующего множителя. Теоремы о существовании и не единственности интегрирующего множителя. Способы определения интегрирующего множителя.
-
Задача Коши и формулировка теоремы Коши для ДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной. Интегрирование ДУ первого порядка не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Особые решения ДУ первого порядка, методы их определения
-
Основные определения: системы ДУ, ДУ высшего порядка, общих и частных решений и интегралов. Сведение задачи об интегрировании системы ДУ к ДУ высшего порядка и наоборот. Метод исключения и условия его применения. Методы интегрирования ДУ высшего порядка, допускающих понижение порядка.
-
Сведение ДУ высшего порядка к соответствующей нормальной системе ДУ. Векторная форма записи системы ДУ в нормальной форме Коши. Норма вектор-функции и ее свойства. Условие Липшица.
-
Задача Коши и теорема Коши для системы ДУ. Теорема Коши для ДУ высшего порядка. Доказательство теоремы Коши.
-
Следствия из теоремы Коши. Симметрическая форма записи системы ДУ. Первые интегралы системы ДУ, их определение и условия независимости. Метод интегрируемых комбинаций.
-
Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши: последовательных приближений, степенных рядов, малого параметра. Оценка точности вычисления.
-
Численные методы решения задачи Коши: Эйлера, его модификации, Рунге-Кутта, Адамса. Устойчивость расчета. Формула Рунге для оценки точности вычислений.
-
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Векторно-матричная и операторная формы записи линейной системы ДУ с переменными коэффициентами. Линейное ДУ высшего порядка с переменными коэффициентами и его операторная форма записи. Однородные и неоднородные системы и уравнения.
-
Теоремы о свойствах решений однородной линейной системы ДУ и линейного однородного ДУ высшего порядка. Линейная зависимость и независимость решений. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля-Якоби.
-
Фундаментальная и нормальная фундаментальная системы решений. Фундаментальная матрица. Матрица Коши. Запись решения задачи Коши с помощью матрицы Коши. Структура общего решения однородных линейных систем ДУ и однородных уравнений.
-
Система линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение системы во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.
-
Линейное однородное ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение во всех случаях корней (простых и кратных, действительных и мнимых) характеристического уравнения.
-
Линейные неоднородные системы ДУ и ДУ высшего порядка с переменными коэффициентами. Теоремы о свойствах решений. Структура общего решения. Методы определения частного решения: вариации произвольных постоянных (Лагранжа), Коши.
-
Методы подбора частного решения линейных неоднородных систем ДУ и ДУ высшего порядка с постоянными коэффициентами в случае специальной правой части.
-
Линейные ДУ с переменными коэффициентами, приводящиеся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.
-
Понижение порядка линейного ДУ. Приведение к простейшей форме линейного ДУ второго порядка. Формула Остроградского. Уравнения Эйлера и их интегрирование.
-
Постановка краевой задачи для обыкновенных ДУ. Линейные краевые задачи. Методы интегрирования. Общий метод. Метод функции Грина. Свойства функции Грина. Теорема о существовании решения краевой задачи.
-
Приближенно-аналитические методы решения краевых задач: коллокаций, наименьших квадратов (интегральный и точечный), Галеркина. Численные методы решения краевых задач: конечных разностей, прогонки. Оценка точности расчета.
-
Динамические системы. Фазовое пространство. Фазовые скорости и траектории. Движения по фазовым траекториям. Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства траекторий решений автономных динамических систем, классификация фазовых траекторий. Точки покоя. Теорема о необходимом и достаточном условии принадлежности фазовой траектории состоянию равновесия системы.
-
Динамические системы второго порядка. Особые точки на фазовой плоскости. Типы особых точек, их определение и изображение на фазовой плоскости. Особые точки автономной динамической системы второго порядка в случае нелинейной правой части. Исследование нелинейных колебаний с одной степенью свободы методом фазовой плоскости.
-
Определения устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости в целом и неустойчивости по Ляпунову невозмущенного решения ДУ и системы ДУ.
-
Теоремы об устойчивости решений линейных однородных и неоднородных ДУ и систем ДУ. Геометрическая интерпретация. Теоремы об устойчивости решений линейных однородных и неоднородных ДУ и систем ДУ с постоянными коэффициентами.
-
Сведение задачи об устойчивости невозмущенного решения системы ДУ к задаче об устойчивости тривиального решения. Теоремы об устойчивости по первому приближению.