1.3 Купа

КУПА або піраміда (англ. heap) в інформатиці -- спеціалізована деревовидна структура даних, в якій існують певні властивості впорядкованості. Така структура даних повинна задовільняти основній властивості купи:

нехай А та B -- елементи купи, такі що B підпорядковане A (B - дитина А). Тоді значення B не повинно перевищувати А, тобто val[B] ≤ val[A]

Найбільш уживаним класом куп є бінарні купи.

Базові операції з купою такі:

підтримка основної властивості купи

побудова купи з невпорядкованого масиву

сортування купи

видалення найменшого елемента

отримання найбільшого елемента

додавання елемента

Купи часто використовуються для моделювання черг з пріоритетами.

А) Бінарна купа

Бінарна купа (англ. binary heap) — це структура даних, що є масивом, який можна розглядати як майже повне бінарне дерево. Кожен вузол цього дерева відповідає певному елементу масиву. На всіх рівнях, крім, можливо останнього, дерево повністю заповнене (заповнений рівень — такий, що містить максимально можливу кількість вузлів). Останній рівень заповнюється послідовно зліва направо до тих пір, доки в масиві не закінчатся елементи.

Для масиву A у корені дерева знаходиться елемент A[1]. Далі дерево будується за наступним принципом: якщо якомусь вузлу відповідає індекс i, то індекс його батьківського вузла обчислюється за допомогою процедури Parent(i), індекс лівого дочірнього вузла — за допомогою процедури Left(i), а індекс правого дочірнього вузла — за допомогою процедури Right(i):

Parent(i)

return

Left(i)

return 2i

Right(i)

return 2i + 1

Розглядають два види бінарних куп: неспадні і незростаючі. В обох видах значення, що розташовані у вузлах купи, задовільняють властивості купи (англ. heap property). Властивісь незростаючої купи (англ. max-heap property) полягає в тому, що для кожного вузла крім кореневого виконується нерівність:

.

Іншими словами, значення вузла не перевищує значення батьківського вузла. Таким чином найбільший елемент знаходиться в корені дерева. Принцип побудови неспадної купи(англ. min-heap) протилежний. Властивість неспадної купи (англ. min-heap property) полягає в тому, що кожен елемент крім кореневого є неменшим за свій батьківський елемент:

.

Підтримка властивостей купи

Підтримку властивості купи можна здійснювати за допомогою процедури Max_Heapify (для незростаючих бінарних куп). На вхід подається масив A й індекс i цього масиву. При виклику процедури Max_Heapify припускається, що бінарні дерева, коренями яких є елементи Left(i) і Right(i) є незростаючими купами, але сам елемент A[i] може бути меншим за його дочірні елементи і тим самим порушувати властивість незростаючої купи. Процедура Max_Heapify спускає значення елемента A[i] вниз по купі до тих пір, доки дерево в якому цей елемент буде корнем не стане незростаючою бінарною купою:

Max_Heapify(A,i)

1

2

3 if і A[l] > A[i]

4 then

5 else

6 if і A[r] > A[largest]

7 then

8 if

9 then Поміняти

10 Max_Heapify(A,largest)

Час роботи процедури в найгіршому випадку пропорційний висоті купи. Якщо купа складається з n елементів, то її висота log2(n) . Тому оцінка часу роботи одного визову Max_Heapify є O(log n).

Для падтримки властивості неспадної бінарної купи можна скористатись процедурою Min_Heapify. Вона повністю подібна до Max_Heapify, тільки в рядках 3 і 6 алгоритму знак ">" треба замінити на "<".

Побудова купи

За допомогою процедури Max_Heapify можно перетворити масив A[1 n], де n = length[A], у незростаючу купу. Всі елементи підмасиву є листами дерева, тому кожен з них можна вважати одноелементною купою, з якої можна почати процес побудови. Процедура Build_Max_Heap проходить по всім іншим вузлам і для кожного з них иконує процедуру Max_Heapify:

Build_Max_Heap(A)

1

2 for downto 1

3 do Max_Heapify(A,i)

По завершенню роботи процедури, масив A організується в незростаючу купу. Час роботи процедури Build_Max_Heap можна записати так:

Для створення неспадної купи, необхідно замінити у третьому рядку алгоритма виклик Max_Heapify на Min_Heapify.

Алгоритм впорядкування купою

Робота алгоритму сортування купою починається з віклику процедури Build_Max_H, за допомогою якої з початкового масиву A[1 n] створюється незростаюча купа. Далі послідовно з купи виймається найбільший елемент, який міняють з останнім в купі. Після кожного обміну розмір купи зменшують на одиницю. В кінці отримують повністю відсортований неспадній масив:

Heapsort(A)

1 Build_Max_Heap(A)

2 for downto 2

3 do Поміняти

4

5 Max_Heapify(A,1)

Час роботи процедури Heapsort рівний O(n log n), оскільки всього потрібно n-1 викликів Max_Heapify, кожен з яких працює за O(log n).

Б) Біноменальна купа

Біноміальна купа (англ. binomial heap) — це множина біноміальних дерев, що задовільняє властивостям біноміальної купи:

Кожне біноміальне дерево у купі підпорядковується властивості неспадної купи (англ. min-heap property): ключ вузла не менший за ключ його батьківського вузла.

Для будь якого невід'ємного цілого k в купі існує не більше одного біноміального дерева,чий корінь має ступінь k.

З даних властивостей випливає, що біноміальна купа, що має n візлів, складається з небільше ніж біноміальних дерев.

Лекція 10. Об‘єктно-орієнтований стиль програмування.

Абстрагування є одним із головних засобів, використовуваних для розв’язування складних задач. Абстракція — це такі істотні характеристики деякого об’єкта, які відрізняють його від усіх інших видів об’єктів і, отже, чітко визначають істотні особливості даного об’єкта щодо подальшого розгляду та аналізу. Абстрагування концентрує увагу на зовнішніх особливостях об’єкта й дозволяє відокремити найістотніші особливості поведінки від деталей їх здійснення. Таке відокремлення (поведінки від здійснення) називається бар­тером абстракції, який базується на принципі мінімізації зв’язків, коли інтерфейс об’єкта містить лише істотні аспекти поведінки. Корисним є ще один додатковий принцип, який називається принципом найменшої виразності, згідно з яким абстракція має відбивати лише саму суть об’єкта, не більше, але і не менше. Вибір достатньої множини абстракцій для заданої предметної області є головною проблемою об’єктно-орієнтованого проектування.

• Абстракція сутності об’єкта — об’єкт являє собою модель істотних сторін предметної області.

• Абстракція поведінки — об’єкт складається з узагальненої мно­жини операцій, кожна з яких виконує певну функцію.

• Абстрагування щодо вигляду — об’єкт об’єднує групи операцій віртуальної машини, які або використовуються для управління об’єктом, або відповідають функціям нижнього рівня.

• Довільна абстракція — об’єкт включає в себе набір не залежних одна від одної операцій.

Об'єктно-орієнтоване програмування (ООП) — одна з парадигм програмування, яка розглядає програму як множину «об'єктів», що взаємодіють між собою. В ній використано декілька технологій від попередніх парадигм, зокрема успадкування, модульність, поліморфізм та інкапсуляцію. Незважаючи на те, що ця парадигма з'явилась в 1960-тих роках, вона не мала широкого застосування до 1990-тих. На сьогодні багато із мов програмування (зокрема, Java, C#, C++, Python, PHP, Ruby та Objective-C, ActionScript 3) підтримують ООП.

Об'єктно-орієнтоване програмування сягає своїм корінням до створення мови програмування Симула в 1960-тих роках, одночасно з посиленням дискусій про кризу програмного забезпечення. Разом із тим, як ускладнювалось апаратне та програмне забезпечення, було дуже важко зберегти якість програм. Об'єктно-орієнтоване програмування частково розв'язує цю проблему шляхом наголошення на модульності програми.

На відміну від традиційних поглядів, коли програму розглядали як набір підпрограм, або як перелік інструкцій комп'ютеру, ООП програми можна вважати сукупністю об'єктів. Відповідно до парадигми об'єктно-орієнтованого програмування, кожний об'єкт здатний отримувати повідомлення, обробляти дані, та надсилати повідомлення іншим об'єктам. Кожен об'єкт — своєрідний незалежний автомат з окремим призначенням та відповідальністю.