5 Построение и анализ лачх, лфчх, жлачх, жлфчх системы

ЛАЧХ системы строится по передаточной функции разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой САУ регулирования громкостью звука:

(79)

Преобразование данной передаточной функции в программе MathCAD:

(80)

Для построения ЛАЧХ системы с учетом МП необходимо произвести z – преобразование разомкнутой САУ.

Разложим передаточную функцию замкнутой САУ громкостью звука на простые дроби, используя программу Mathcad:

Переход от операторной формы к z –форме выполняется по формуле:

, (81)

где- z-преобразование для непрерывной части разомкнутой САУ без учета МП.

Z-преобразование, проводится по формулам (74), (75).

Тогда передаточная функция разомкнутой САУ в форме z-преобразований запишется в виде:

(82)

Перейдем к псевдочастоте, сделав подстановку:

,

где .

Тогда, преобразовав в программе Mathcad выражение (82), получим передаточную функцию для разомкнутой системы с учетом микропроцессора:

(83)

L(λ), дБ

Для построении логарифмической амплитудной и фазовой характеристик, передаточную функцию разомкнутой системы представляют в виде про­изведения передаточных функций элементарных звеньев. В более сложных слу­чаях, когда выражение передаточной функции трудно представить в виде про­изведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, как в данном случае, построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится обычным вычислением модуля и аргу­мента частотной передаточной функции при различных частотах. Построим ло­гарифмические характеристики неизменяемой части системы, применяя редак­тор MATLAB.

φ(λ)

λ, с^-1

1

2

+20 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

3

Δφ

ΔL

1 – Исходная ЛАЧХ 2 – Аппроксимированная ЛАЧХ 3 - ФЧХ

Рисунок 13 – ЛАЧХ и ФЧХ САУ

По графику аппроксимируем ЛАЧХ стандартными наклонами -20, +20, и т.д. дБ/дек. Получим частоты излома (сопряжения) λ₁ = 20 c^-1; λ₂ = 600 c^-1.

Анализ полученных графиков.

Запас устойчивости по фазе: Δφ = 90⁰.

Запас устойчивости по амплитуде: ΔL = 22 дБ

Вывод: запасы устойчивости не соответствуют заданным в техническом задании, следовательно, система нуждается в коррекции.

Для построения ЖЛАЧХ необходимы следующие исходные данные:

1. Максимальная допустимая ошибка  = 0,05.

2. Перерегулирование  = 30 %.

3. Время регулирования t_р = 0,2 сек.

4. Колебательность М = 1,1.

ЖЛАЧХ для дискретных систем строится методом запретной зоны. Для построения запретной зоны находим координаты рабочей точки, через которую будет проходить граница запретной зоны. У дискретных систем входной сигнал изменяется по следующему закону:

(84)

U(t)

Входным сигналом для системы является сигнал, поступающий с микрофона. Определяем скорость и ускорение входного сигнала по статической характеристики микрофона:

t, c

K

T

Рисунок 14 – Статическая характеристика микрофона

Скорость изменения входного сигнала определится в виде:

рад\сек. (85)

Угол  находится в виде:

рад (86)

Ускорение изменения входного сигнала определится в виде:

рад\сек². (87)

Численное значение частоты рабочей точки определяется по формуле:

cек^-1. (88)

Рабочая амплитуда входного сигнала определяется по формуле:

сек^-1. (89)

Ординату рабочей точки находится в виде:

(90)

Координаты рабочей точки запретной зоны имеют вид:

А(_k, 20lgA₁), то есть А(0,4; 40,1). (91)

Точка А(0,4; 40,1) является рабочей точкой, для построения запретной зоны. Проводим через рабочую точку прямую с наклоном минус 20 дБ\дек. Зона находящаяся ниже построенной прямой является запретной и построение ЖЛАЧХ в этой зоне запрещено.

По номограмме качества Солодовникова определяется, частота среза по заданному перерегулированию и времени регулирования системы:

(92)

Арифметическое вычисление частоты среза запишется в виде:

рад/сек.

По номограмме Солодовникова [14], определяем запас устойчивости по амплитуде L_m = 14 дБ\дек.

Условно ЖЛАЧХ разделяют на три части: высокочастотную, среднечастотную, низкочастотную. Низкочастотная часть ЛАЧХ определяет статическую точность системы. Среднечастотная часть ЛАЧХ определяет запасы устойчивости и является наиболее важной. Чем больше наклон среднечастотной ЛАЧХ, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойства системы. Высокочастотная часть ЛАЧХ играет незначительную роль в определении динамических свойств системы. Построение ЖЛАЧХ начинаем со среднечастотной части. Через точку среза проводим прямую с наклоном минус 20 дБ\дек. От точки среза находим левую и правую граничные частоты, откладывая запас устойчивости L_m = 14 дБ\дек. Низкочастотная часть проводится из точки _a с наклоном ЛАЧХ минус 40 дБ\дек, так как для системы необходимо большое усиление. Высокочастотная часть для упрощения корректирующего устройства сопрягается с ЛАЧХ неизменяемой части, таким образом, что она будет иметь наклон минус 20 дБ/дек до частоты _b, а затем наклон 0 дБ/дек.

Передаточная функция ЖЛАЧХ имеет вид:

(93)

где _a= 10 рад/с, отсюда

Т_a = 1\_a = 0,1 сек,

_b= 600 рад/сек., отсюда

Т_b = 1\_b =1,66·10^-3 сек,

20lg k_ж = 57 дБ.

Тогда передаточная функция САУ регулирования громкостью звука примет вид:

(94)

По полученной передаточной функции строим ЖФЧХ.

(95)

L(λ), дБ

ЖЛАЧХ, ЖЛФЧХ системы автоматического управления громкостью звука представлена в соответствии с рисунком 15.

-40 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

+20 дБ/дек

-20 дБ/дек

0 дБ/дек

-60 дБ/дек

-40 дБ/дек

0 дБ/дек

φ(λ)

λ, рад/с

Δφ_ж

1

2

3

5

4

6

6

λ_ср

1 – Граница запретной зоны 2 – Аппроксимированная ЛАЧХ

3 – Реальная ЛАЧХ 4 – Аппроксимированная ЖЛАЧХ

5 – Реальная ЖЛАЧХ 6 - ЖФЧХ

Рисунок 15 – ЛАЧХ, ЖЛАЧХ, ЖЛФЧХ САУ громкостью звука

Характеристики скорректированной системы. Построение ЖФЧХ и ЖЛАЧХ показали, что запасы устойчивости по амплитуде и по фазе улучшились. Запас устойчивости по фазе: Δφ_ж = 90⁰. Запас устойчивости по амплитуде определяется превышением L_ж на частоте пересечения _ж с осью 180. Так как _ж не достигает 180, находясь выше этого значения, то запас устойчивости по амплитуде: ΔL = .

Таким образом, получена система с характеристиками лучшими, чем у реальной с таким же запасом устойчивости по фазе и бесконечным по амплитуде. Желаемая система получается из реальной путем введения корректирующего устройства.