4. Вывод уравнений исполнительного устройства (иу) системы в переменных состояния и «вход-выход»

   1. Уравнения в переменных состояния

Используя полученные в предыдущем разделе уравнения в переменных состояния для исполнительной части следящей системы

(1.27)

Представим эти уравнения в матричном виде

(1.28)

Получим уравнения в переменных состояния для исполнительной части следящей системы :

где

Подставив численные значения коэффициентов, поучим

2. Уравнения вход – выход исполнительной части системы

Для вывода этого уравнения целесообразно построить структурную схему, показанную на рисунке 1.3:

Рисунок 1.3 - Структурная схема заданной части.

Составим уравнение “вход-выход” исполнительной части системы. Они выводятся путем исключения промежуточных переменных из полученных уравнений “вход-выход” элементов системы. Так же объединение уравнений элементов можно провести и с помощью передаточных функций элементов.

(1.29)

Введем обозначение и , , . Из уравнения (1.29) получим следующее выражение:

(1.30)

Умножив обе части уравнения (1.29) на , получим уравнение “вход-выход” исполнительной части следящей системы:

(4.5)

Уравнения “вход-выход” (1.2) и (1.4) для измерительной части системы, состоящей из СЭ, ИП-1, ИП-2, не меняются.

5. Исследование управляемости наблюдаемости и минимально-фазовости иу системы

1.5.1 Проверка управляемости и наблюдаемости заданной части системы

Обычно предполагают, что объект управления (система) обеспечивает возможность изменения его переменных состояния и регулируемых величин в соответствии с целью управления с помощью управлений, приложенных к нему. Однако ясно, что в общем случае не всякий объект управления допускает такую возможность, т. е не каждый объект является управляемым. Следует отметить, что свойство управляемости зависит исключительно от внутренних свойств объекта (системы).

Для оценки управляемости систем используется критерий Калмана, в основе которого лежит матрица управляемости U

где - размерность вектора переменных состояния .

Для заданной системы матрица U принимает вид:

Для определения наблюдаемости системы используется критерий наблюдаемости, предложенный Калманом. Этот критерий использует матрицу наблюдаемости, которая для систем имеет вид

где - размерность вектора переменных состояния .

В нашем случае матрица наблюдаемости есть

_{Проверим управляемость и наблюдаемость с помощью программы, написанной в MatLab:}

A=[-20 0 0;12.35 -4.83 0;0 1 0];

B=[1060;0;0];

C=[0 0 0.0095];

disp(['порядок системы равен', num2str(size(A))]);

U=ctrb(A,B);

disp(['ранг U равен', num2str(rank(U))]);

N=obsv(A,C);

disp(['ранг N равен',num2str(rank(N))]);

Результат работы программы:

порядок системы равен 3

ранг U равен3

ранг N равен3

Анализируя результат выполнения программы можно сделать вывод о том, что критерий Калмана для управляемости и наблюдаемости выполняются в обоих случаях, следовательно, заданная часть следящей системы является полностью управляемой и полностью наблюдаемой соответственно.