1. Энергия и робота
Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. в общем случае сила может меняться во времени по модулю, например, но не элементарном перемещении её можно считать .
Действие силы на перемещении характеризуется физической величиной, равной скалярному произведению , которое называется элементарной работой силы на перемещении . Её можно ещё записать как , где — угол между и - элементарный путь проекция вектора на вектор
Значит элементарная работа (*)
- величина алг. она и и и = 0 при .
Суммируя ( интегрируя ) по всем элементарным участкам пути от 1 к 2 найдем работу силы на данном пути.
.
Геометрический смысл этого выражения виден из рисунка — полоска; — площадь под прямой. Над осью работа положительна, под — отрицательна.
.
Найдем для примера работу некоторых центральных сил.
-
Работа гравитационной или кулоновской силы вида ; —орт радиус вектора . Элементарная работа не ???? : ; — приращение модуля вектора ; .
-
Работа упругой силы ; — радиус вектор частицы М относительно точки О. элементарная работа ; .
-
Работа сил тяжести. ; ; — приращение координаты . ; .
Работа всех этих сил не зависит от формы пути а только от положения точек 1,2. Эта особенность не всех сил. Силы трения не обладают таким свойством.
3. Средняя арифметическая скорость <v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.
Число молекул в единице объема dnv, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростями, нужно это выражение проинтегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vnf(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,
∞
0
∞
0
∞
0
<v> = ∫vf(v)dv , подставив f(v), получим:
∞
0
<v> = 4/√π (m/2kT)3/2∫ v3e dv = 4/√π (m/2kT)3/2∫ v2e vdv
vdv = d(v2)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)3/2½∫ v2e d(v2)
Введем новую переменную Z=mv2/2kT : ½∫ v2e d(v2) = ½ (2kT/m)2∫Ze-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze-ZdZ =1, получим:
<v> = 4/√π (m/2kT)3/22(kT/m)2 = √8kT/πm
Б-14
-
Мощность.
-
Волновое уравнение.
-
Число ударов молекул о стенку и давление газа на стенку.
1. Мощность по определению это работа, выполненная за единицу времени. Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени т.е. скалярное произведение и .
— скорость движения точки приложения силы.
— как и работа величина алгебраическая.
Зная можно найти работу, которая совершает сила за время
.
3. Число ударов молекул о стенку
Рассмотрим находящийся в равновесии газ, заключенный в некотором сосуде. Допустим, что молекулы газа движутся только вдоль трех взаимно ┴ направлений. Это можно допустить из-за хаотичности движения молекул. Если в сосуде находится N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул и половина из них - N/6 вдоль данного направления в одну сторону, а вторая половина - в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении по нормали к данному элементу ΔS стенки сосуда движется N/6 молекул, а для единицы объема - , n – концентрация молекул.
Пусть все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью <v>. За время Δt элемента стенки ΔS достигают все молекулы, находящиеся в параллелипипеде с площадью основания ΔS и длиной <v>Δt. Их число Δν = (n/6)ΔS<v>Δt, следовательно, число ударов о единичную площадку в единицу времени
Δν/ΔSΔt = (n/6)<v>.
Если отказаться от допущения, что все молекулы движутся с одинаковой скоростью v = <v>, то необходимо выделить в единице объема молекулы, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv. Их число -. Количество ударов таких молекул, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно dνv = (1/6)(dnvΔSvΔt). Полное число ударов:
vmax
0
vmax
0
Δν = dνv = 1/6ΔSΔt vdnv = Выражение vdnv по определению является средней скоростью молекулы, тогда Δν = 1/6ΔSΔtn<v> , т.е., получили то же самое значение числа ударов.
Давление газа на стенку сосуда
Давление по определению можно записать: , а поскольку, из второго закона Ньютона: , то . Значит, необходимо вычислить импульс , передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями единице площади за единицу времени.
Число молекул со скоростью v из общего количества n, долетающих до площадки ΔS за время Δt равно:
dνv = (1/6)(dnvΔSvΔt)
Далее, умножив это число на импульс, сообщаемый каждой молекулой при ударе равный – 2mv, получим импульс, сообщаемый площадке ΔS за время Δt этими молекулами. Изменение импульса одной молекулы равно K2-K1= -2mv, значит, импульс передаваемый молекулой стенке равен +2mv. Импульс, передаваемый молекулами со скоростями, лежащими в интервале от v до v +dv
vmax
0
vmax
0
равен v.
Импульс, передаваемый всеми молекулами со всеми скоростями:
K = (1/6)(dnvΔSvΔt)2mv = 1/3 m ΔSΔt v2dnv (*)
Выражение v2dnv представляет собой среднее значение квадрата скорости молекул, тогда, заменив в (*) интеграл и, разделив это выражение на ΔS и Δt, получим давление газа на стенку сосуда:
р = 1/3mn<v2>
т.к. m<v2>/2 = <εпост> по определению, получим:
р =2/3n<εпост>
- основное уравнение молекулярно- кинетической теории. Это уравнение раскрывает физический смысл макропараметра р: давление определяется средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул.
Б-15
-
Консервативные силы.
-
Энергия волны. Объемная плотность энергии волны.
-
Средняя энергия молекул с учетом вращательных и колебательных степеней свободы.
1. Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и т.д. Поле сил может быть постоянным во времени, тогда оно называется стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета м.б. в другой. В стационарном поле сила, действующая на частицу, зависит только от её положения в пространстве.
Работа, которую совершает сила поля по перемещению частиц из т.1 в т.2 зависит, в общем случае от формы пути между этими точками, например при действии . Однако, имеются стационарные силовые поля, в которых работа над частицей силами поля не зависит от пути между т.1 и т.2. Силы обладающими такими свойствами называются консервативными. Это свойство можно сформулировать другим способом: силы поля являются консервативными, если работа в стационарном полена любом замкнутом пути равна =0.
поскольку то . А т.к. работа не зависит от пути , то .
К неконсервативным силам относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положением частицы и не равна 0 на замкнутом пути.
3. Средняя энергия молекул
Из уравнения состояния идеального газа p=nkT и выражения для давления газа на стенку сосуда р =2/3n<εпост> следует, что
<εпост> = 3/2kT (1), откуда можно заключить, что температура есть величина, прямо пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.
Поступательно движутся молекулы газа. Молекулы твердых и жидких тел совершают колебания вблизи положений равновесия.
Из выражения (1) видно, что <εпост> зависит только от Т и не зависит от массы молекулы.
Т.к., <εпост> = <mv2/2> = m<v2>/2, то из сравнения с выражением (1), получим: <v2> = 3kT/m а средняя квадратичная скорость:
vср.кв. = √<v2> = √3kT/m .
Можно представить <v2> = <v2x>+<v2y>+<v2z> = 3<v2x>, поскольку, все направления движения молекул равноправны, т.е., <v2x> = <v2y> = <v2z>, тогда:
<v2x> = 1/3<v2> = kT/m
Формула (1) определяет энергию поступательного движения молекул. Наряду с этим движением возможны также вращение молекул и колебания атомов, входящих в состав молекул. Например, для двухатомной жесткой молекулы это вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы. Эти виды движения также связаны с запасом энергии молекулы. Ее полную энергию позволяет определить, устанавливаемое статистической физикой, положение о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы. Такую гипотезу впервые высказал Больцман.
Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано ее положение. Положение материальной точки определяется в пространстве значением трех координат, она имеет три степени свободы. Одноатомной молекуле следует приписывать три степени свободы, двухатомной: в зависимости от характера связи между атомами – либо три поступательных и две вращательных (жесткая связь), т.е. всего пять степеней; либо n = 3+2+1=6 с учетом колебательной степени свободы для нежесткой молекулы.
Поскольку ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед остальными, на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия 1/2kT. Согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/2kT. Согласно закону среднее значение энергии одной молекулы <ε> будет тем больше, (при одинаковой Т), чем сложнее молекула и чем больше у нее степеней свободы. При определении <ε> необходимо учесть, что колебательная степень свободы обладает вдвое большей «энергетической емкостью» по сравнению с поступательной или вращательной. Это объясняется тем, что колебательное движение связано с наличием кинетической и потенциальной энергии, поэтому на колебательную степень приходится (1/2kT+1/2kT) = kT, т.е., одна половинка в виде εкин , а вторая - εпост.
Т.о. средняя энергия молекулы: <ε> = (i/2)(kT),
Где i- сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекул.
i = nпост+nвращ+2nкол , здесь n – число степеней свободы.
Для молекул с жесткой связью i совпадает с числом степеней свободы.
Б-16
-
Центральные силы.
-
Пространство и время в ньютоновской механике.
-
Внутренняя энергия и теплоемкость Cv и Cp идеального газа.
1. . Центральные силы.
Всякое силовое поле вызвано действием определенных тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами. Силы, которые зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей называются центральными (гравитационные, кулоновские, упругие). Центральные силы можно записать как зависит только от , — орт частицы относительно О. докажем что центральная сила является консервативной. Для частицы ; . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от и т.е. от пределов интегрирования. Если на частицу действует несколько центральных сил, то работа , а т.к. работа каждой из них не зависит от пути, то и не зависит.
3. Внутренняя энергия и теплоемкость идеальных газов
В идеальном газе молекулы не взаимодействуют между собой, внутренняя энергия одного моля газа:
Uм = NA<ε> = i/2 NAkT = i/2 RT . Uм = i/2RT.
Если вспомнить, что по определению: Cv = δQ/dT = dU/dT, поскольку, δQ = dU+pdV, а для изохорного процесса dV = 0.
Тогда Cv = (i/2) R , а, учитывая, что Cр = Cv+R, получим:
Cр = (i+2)/2 R
Следовательно, коэффициент Пуассона γ = Cp/Cv = (i+2)/i , таким образом, γ определяется числом и характером степеней свободы молекулы.
Согласно этой ф-лы для одноатомной молекулы i = 3 и γ = 1,67; жесткой двухатомной i =5 и γ = 1,4; упругой двухатомной i = 7, а γ = 1,29. В области температур, близких к комнатной, это хорошо согласуется с опытом. Однако, в широком температурном интервале это не так. Оказывается, что вращательная и колебательная энергии молекулы квантованы. При низких Т вращательные и колебательные степени свободы не возбуждены. Молекула Н2 , например, ведет себя как одноатомная в этой области температур, i = 3. В области Т ≈ 500К вращательные степени «разморожены» <ε> > εвращ и молекула Н2 ведет себя как жесткая двухатомная с = 3+2 = 5. При Т>1000К энергии <ε> достаточно для возбуждения колебательной степени свободы, «включены» все степени свободы, i = 7.
Б-17
-
Потенциальная энергия частицы в поле.
-
Опыт Майкельсона и Морли.
-
Барометрическая формула.
1. Потенциальная энергия частицы в силовом поле.
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциальной энергии (функции состояния). Возьмем стационарное поле консервативных сил, например электростатическое поле в котором мы перемещаем частицу (заряд) из разных точек в некоторой фиксированной точке О (точка отсчета). Найдем работу сил поля. Поскольку работа сил поля не зависит от пути, то остаётся зависимость её только от положения т. (О— фиксировано) т.е. от предела интегрирования
(*).
Это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора точки . Функцию называют потенциальной энергией частицы в поле сил. Теперь найдем работу при перемещении частицы из т.1 в т.2. Т.к. она не зависит от формы пути: то или с учетом (*)
;
;
(**)
Правая часть представляет убыль потенциальной энергии, т.е. разность начальную и конечную значений потенциальной энергии. ( — приращение); (— убыль). Т.о. работа сил Оля на пути 1—2 равна убыли потенциальной энергии. Так как работа сил поля определяется лишь разностью энергий в двух точек, а не их абсолютного значения, то частица в т.О можно приписать любое, наперед выбранное значение потенциальной энергии.
Однако, как только зафиксирована потенциальная энергия в одной, какой-либо точке, значения её во всех остальных точках поля определяется однозначно выражением (**). Эта формула позволяет найти вид для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу совершаемую силами поля между двумя любыми точками и представить её в виде убыли некоторой функции , которая и есть потенциальной энергией. Так и было ране сделано при вычислении работы гравитационной, упругой и силы тяжести. Отсюда видно, что потенциальная энергия частицы в данных полях имеет вид
— гравитационная, кулоновская +С – постоянная.
— упругой +С
— в поле тяжести.
Отметим еще раз, что потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой постоянной величины, что несущественно, т.к. во всех формулах входит разность её значения в двух положениях частицы, поэтому постоянная выпадает, и её опускают. Кроме этого важно заметить, что потенциальную энергию следует относить не к частице в поле а к системе взаимодействующих частиц и тела, создающего поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия зависит только от положения частицы относительно этого тела.