5. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

№ темы

п/п

Тема, контрольные вопросы

1 семестр

1.

Тема: Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа

1.1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, вещественные числа. 1.2. Определение комплексного числа. Вещественная и мнимая части комплексного числа. 1.3. Действия над комплексными числами. 1.4. Модуль и аргумент комплексного числа.

2.

Тема: Формулы Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

2.1. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. 2.2. Формулы Муавра. 2.3. Извлечение корня -ой степени из комплексного числа.

3.

Тема: Матрицы и определители

3.1. Определение матрицы. Виды матриц. 3.2. Действия над матрицами. 3.3. Вычисление определителей второго и третьего порядка. 3.4. Свойства определителей. 3.5. Миноры и алгебраические дополнения. 3.6. Определители высших порядков. 3.7. Теоремы Лапласа. 3.8. Обратная матрица. 3.9. Собственные значения и собственные векторы. 3.10. Ранг матрицы 1.5. Обратная матрица.

4.

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений

4.1. Система линейных алгебраических уравнений СЛАУ. 4.2. Определение решения СЛАУ. Совместная, несовместная, определенная, неопределенная СЛАУ. 4.3. Решение СЛАУ методом. 4.4. Решение СЛАУ методом Крамера. 4.5. Решение СЛАУ методом обратной матрицы. 4.6. Однородная СЛАУ. Общее решение однородной СЛАУ. 4.7. Исследование на совместность и нахождение общего решения СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

5.

Тема: Векторная алгебра

5.1. Определение вектора. 5.2. Действия над векторами. 5.3. Представление векторов в координатной форме. 5.4. Действия над векторами через их координаты. 5.5. Направляющие косинусы вектора. 5.6.Скалярное произведение векторов и его геометрический смысл. 5.7.Векторное произведение векторов и его геометрический смысл. 5.8. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.

6.

Тема: Прямая на плоскости

6.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. 6.2. Декартовая и полярная системы координат и их связь. 6.3. Различные виды уравнения прямой на плоскости. 6.4. Неполные уравнения прямой и их геометрический смысл. 6.5. Направляющий вектор прямой. 6.6. Признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых. 6.7. Угол между прямыми. 6.8. Расстояние от точки до прямой. 6.9. Пучок прямых. 6.10. Стандартные задачи и их решения.

7.

Тема: Линии второго порядка

7.1. Определение окружности и вывод ее канонического уравнения. 7.2. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения. 7.3. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения. 7.4. Определение параболы и вывод ее канонического уравнения. 7.5. Основные элементы линий второго порядка. 7.5. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение к каноническому виду линий второго порядка с помощью поворота координатных осей и перенос начала координат. 7.6. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение к каноническому виду линий второго порядка с помощью инвариантов. 7.7. Уравнения линий второго порядка в полярной системе координат.

8.

Тема: Плоскость в пространстве

8.1. Аналитическая геометрия в пространстве. 8.2. Общее уравнение плоскости. 8.3. Неполные уравнения плоскости и их геометрический смысл. 8.4. Нормальный вектор плоскости. 8.5. Признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 8.6. Угол между плоскостями. 8.7. Расстояние от точки до плоскости.

9.

Тема: Прямая в пространстве. Поверхности второго порядка

9.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой. 9.2. Направляющий вектор прямой. 9.3. Признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых. 9.4. Угол между прямыми. 9.5. Скрещивающие прямые. 9.6. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве. 9.7. Угол между плоскостью и прямой. 9.8. Цилиндрическая и сферическая системы координат. 9.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

10.

Тема: Понятие функций одной переменной

10.1. Определение функции. Примеры.

10.2. Формы задания функции: явная, неявная, табличная, параметрическая.

10.3. Четные, нечетные, периодические функции.

10.4. Асимптоты. График функции.

11.

Тема: Предел последовательности

11.1. Определение числовой последовательности. Действия над последовательностями.

11.2. Ограниченные и монотонные последовательности.

11.3. Определение предела последовательности.

11.4. Сходящиеся и фундаментальные последовательности.

11.5. Теорема Коши.

12.

Тема: Основные теоремы о пределах последовательностей и функций

12.1. Основные теоремы о сходящихся последовательностей.

12.2. Теоремы существования предела последовательности.

12.3. Переход к пределам в неравенствах для последовательностей.

12.4. Число е.

12.5. Определение предела функции.

12.6. Основные теоремы о пределах функции.

12.7. Теоремы существования предела функции.

12.8. Переход к пределам в неравенствах для функций.

13.

Тема: Основные теоремы о непрерывных функциях. Замечательные пределы.

13.1. Замечательные пределы.

13.2. Таблица пределов.

13.3. Определение непрерывности функции. Точки разрыва и их квалификация.

13.4. Нестандартные примеры функций, с заданными множествами точек разрыва.

13.5. Основные теоремы о непрерывных функциях.

13.6. Непрерывные функции на отрезке и их свойства.

13.7. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

14.

Тема: Производная и дифференциал функций одной переменной.

14.1. Определение производной функции.

14.2. Определение дифференциала функции.

14.3. Вычисление производной функции.

14.4. Вычисление дифференциала функции.

14.5. Задачи, приводящие к понятию производной.

14.6. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала.

14.7. Правила дифференцирования.

14.8. Производная сложной функции.

14.9 Производная обратной функции.

14.10. Таблица производных.

15.

Тема: Производные и дифференциалы высших порядков

15.1. Логарифмическая производная.

15.2. Производная параметрической функции.

15.3. Основные свойства дифференцируемых функций.

15.4. Приближенное вычисление с помощью дифференциала.

15.5. Производные высших порядков.

15.6. Дифференциалы высших порядков.

15.7. Производные – го порядка для некоторого класса функций.

16.

Тема: Формула Тейлора. Правила Лопиталая

16.1. Формула Тейлора.

16.2. Формулы Маклорена для основных элементарных функций и оценки их остаточных членов.

16.3. Вычисление пределов функций с помощью правил Лопиталя.

16.4. Вычисление пределов функций с помощью формул Маклорена.

16.5. Полное исследование функции и построение ее графика.

№ темы

п/п

Тема, контрольные вопросы

2 семестр

17.

Тема: Первообразная функция. Неопределенный интеграл

17.1. Определения первообразной. Примеры.

17.2. Определения неопределенного интеграла.

17.3. Правила интегрирования.

17.4. Методы замены переменной интегрирования.

17.5. Методы з интегрирования по частям.

17.6. Техника интегрирования.

17.7. Рациональные дроби и их разложение в сумму простейших рациональных дробей.

17.8. Интегрирование простейших рациональных дробей.

17.9. Интегрирование рациональных дробей.

18.

Тема: Интегрирование некоторых классов функций

18.1. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.

18.2. Интегрирование иррациональных функций подстановками Эйлера.

18.3. Интеграл от дифференциальных биномов.

18.4. Интегрирование тригонометрических функций.

18.5. Универсальная подстановка.

18.6. Неберущиеся интегралы.

19.

Тема: Определенный интеграл и его свойства. Приложения определенного интеграла

19.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

19.2. Определенный интеграл и его свойства.

19.3. Теорема о существовании определенного интеграла.

19.4. Формула Ньютона – Лейбница.

19.5. Замена переменной в определенном интеграле.

19.6. Интегрирование по частям определенного интеграла.

19.7. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница.

19.8. Площадь плоских фигур.

19.9. Приближенное вычисление методами прямоугольников, трапеций, Симпсона; с помощью формулы Маклорена.

19.10. Понятие о несобственных интегралах.

20.

Тема: Ряды. Положительные числовые ряды

20.1. Числовые ряды: частичная сумма, сумма, сходимость, расходимость.

20.2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

20.3. Необходимый признак сходимости ряда.

20.4. Гармонический ряд.

20.5. Обобщенный гармонический ряд.

20.6. Признаки сравнения для исследования положительных рядов.

20.7. Признак Даламбера.

20.8. Радикальный признак Коши..

20.9. Интегральный признак Коши.

21.

Тема: Знакопеременные ряды. Функциональные ряды

21.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

21.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

21.3. Теоремы Дирихле и Римана.

21.4. Функциональные ряды.

21.5. Область сходимости.

22.

Тема: Степенные ряды. Ряды Маклорена

22.1. Равномерная сходимость.

22.2. Теорема Вейерштрасса.

22.3. Мажорантные ряды.

22.4. Степенные ряды.

22.5. Теорема Абеля.

22.6. Радиус сходимости.

22.7. Ряды Маклорена для основных элементарных функций.

23.

Тема: Дифференциальные уравнения. Основные классы дифференциальных уравнений первого порядка

23.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях.

23.2. Простейшие задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям.

23.3. Задача Коши.

23.4. Частное и общее решения.

23.5. Уравнения с разделяющимися переменными.

23.6. Однородные уравнения.

23.7. Линейные уравнения.

23.8. Уравнения Бернулли.

23.9. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

24.

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

24.1. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

24.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

24.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

24.4. Характеристическое уравнение. Характеристические корни.

24.5. Полное исследование однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

25.

Тема: Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

25.1. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

25.2. Метод подбора частного решения.

25.3. Метод вариации произвольных постоянных.

25.4. Формула Дюамеля.

25.5. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

25.6. Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

26.

Тема: Функции многих переменных: Дифференциальное исчисление

26.1. Функции многих переменных:

26.2. Предел функции многих переменных.

26.3. Непрерывность функции многих переменных . Точки разрыва.

26.4. Частные производные функций многих переменных.

26.5. Частные дифференциалы функции многих переменных .Полный дифференциал.

26.6. Дифференцирование функций, заданных неявно.

26.7. Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала.

26.8. Формулы Тейлора и Маклорена.

26.9. Экстремумы функции многих переменных.

26.10. Метод наименьших квадратов и его применение при обработке опытных данных.

27.

Тема: Интегральное исчисление функций многих переменных. Двойные интегралы

27.1. Двойной интеграл и его свойства.

27.2. Сведение двойного интеграла к повторным интегралам.

27.3. Вычисление площади плоских фигур с помощью двойного интеграла.

27.4. Вычисление площади поверхности.

27.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла.

27.6. Двойной интеграл в полярных координатах.

27.7. Замена переменных в двойном интеграле.

28.

Тема: Тройные интегралы

28.1. Тройной интеграл и его свойства.

28.2. Сведение тройного интеграла к повторным интегралам.

28.3. Замена переменных в в тройном интеграле.

28.4. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

28.5. Тройной интеграл в сферических координатах.

29.

Тема: Уравнения математической физики. Основные понятия

29.1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными .

29.2. Классификация уравнений с двумя независимыми переменными.

29.3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

30.

Тема: Простейшие задачи, приводящиеся к уравнениям математической физики. Метод разделения переменных

30.1. Простейшие задачи, приводящиеся к уравнениям с частными производными.

30.2. Уравнение гиперболического типа.

30.3. Уравнение параболического типа.

30.4. Уравнение эллиптического типа.

30.5. Метод разделения переменных.

30.6. Задачи с начальными условиями.

30.7. Постановка краевых задач.

31.

Тема: Элементы теории функций комплексной переменной. Аналитические функции

31.1. Определение функции комплексной переменной.

31.2. Предел функции комплексной переменной.

31.3. Непрерывность функции комплексной переменной..

31.4. Основные элементарные функции комплексной переменной.

31.5. Производные и дифференциал от функции комплексной переменной.

31.6. Интеграл от функции комплексной переменной.

31.7. Конформное отображение.

31.8. Формулы Коши-Римана.

31.9. Аналитические функции.

32.

Тема: Интеграл от функций комплексной переменной. Интегральная формула Коши

32.1. Интеграл от функций комплексной переменной.

32.2. Теорема Коши.

32.3. Интегральная формула Коши.

32.4. Ряд Тейлора.

32.5. Ряд Лорана.

32.6. Вычеты.

33.

Тема: Ряды Фурье. Интеграл и преобразование Фурье

33.1. Определение ряда Фурье.

33.2. Сходимость рядов Фурье.

33.3. Теорема Дирихле.

33.4. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье.

33.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

33.6. Свойства преобразования Фурье.

34.

Тема: Преобразование Лапласа. Элементы операционного исчисления

34.1. Преобразование Лапласа и его свойства.

34.2. Оригиналы и изображения.

34.3. Основные теоремы об оригиналах и изображений.

34.4. Таблица оригиналов и изображений.

34.5. Нахождение изображений по оригиналам с помощью таблицы оригиналов-изображений.

34.6. Нахождение оригиналов по изображениям с помощью таблицы оригиналов-изображений.

34.7. Свертка двух функций.

34.8. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

34.9. Операционный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.