- •Предисловие
- •Введение
- •Часть первая глава 1 теоретические основы информатики
- •Введение
- •§ 1. Информатика как наука и как вид практической деятельности
- •1.1. История развития информатики
- •1.2. Информатика как единство науки и технологии
- •1.3. Структура современной информатики
- •1.4. Место информатики в системе наук
- •1.5. Социальные аспекты информатики
- •1.6. Правовые аспекты информатики
- •1.7. Этические аспекты информатики
- •Контрольные вопросы
- •§ 2. Информация, ее виды и свойства
- •2.1. Различные уровни представлений об информации
- •2.2. Непрерывная и дискретная информация
- •2.3. Единицы количества информации: вероятностный и объемный подходы
- •Вероятностный подход
- •Объемный подход
- •2.4. Информация: более широкий взгляд
- •2.5. Информация и физический мир
- •§ 3. Системы счисления
- •3.1. Позиционные системы счисления
- •3.2. Двоичная система счисления
- •3.3. Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления
- •§ 4. Кодирование информации.
- •4.1. Абстрактный алфавит
- •4.2. Кодирование и декодирование
- •4.3. Понятие о теоремах шеннона
- •4.4. Международные системы байтового кодирования
- •§ 5. Элементы теории графов
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Представление графов
- •§ 6. Алгоритм и его свойства
- •6.1. Различные подходы к понятию «алгоритм»
- •6.2. Понятие исполнителя алгоритма
- •6.3. Графическое представление алгоритмов
- •6.4. Свойства алгоритмов
- •6.5. Понятие алгоритмического языка
- •Контрольные вопросы
- •§7. Формализация понятия «алгоритм»
- •7.1. Постановка проблемы
- •7.2. Машина поста
- •73. Машина тьюринга
- •7.4. Нормальные алгоритмы маркова
- •7.5. Рекурсивные функции
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 8. Принципы разработки алгоритмов и программ для решения прикладных задач
- •8.1. Операциональный подход
- •8.2. Структурный подход
- •8.3. Новейшие методологии разработки программ для эвм
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 9. Структуры данных
- •9.1. Данные и их обработка
- •9.2. Простые (неструктурированные) типы данных
- •9.3. Структурированные типы данных
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 10. Понятие об информационном моделировании
- •10.1. Моделирование как метод решения прикладных задач
- •10.2. Основные понятия информационного моделирования
- •10.3. Связи между объектами
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 11. Некоторые кибернетические аспекты информатики
- •11.1. Предмет кибернетики
- •11.2. Управляемые системы
- •11.3. Функции человека и машины в системах управления
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 12. Понятие искусственного интеллекта
- •12.1. Направления исследований и разработок в области систем искусственного интеллекта
- •12.2. Представление знаний в системах искусственного интеллекта
- •12.3. Моделирование рассуждений
- •12.4. Интеллектуальный интерфейс информационной системы
- •12.5. Структура современной системы решения прикладных задач
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительная литература к главе 1
- •Глава 2 программное обеспечение эвм
- •Введение
- •§ 1. Операционные системы
- •1.1. Назначение и основные функции операционных систем
- •1.2. Понятие файловой системы
- •1.3. Операционные системы для компьютеров типа ibm pc
- •1.4. Оболочки операционных систем
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 2. Понятие о системе программирования
- •2.1. Основные функции и компоненты
- •2.2. Трансляция программ и сопутствующие процессы
- •Контрольные вопросы
- •§3. Прикладное программное обеспечение общего назначения
- •3.1. Классификация
- •3.2. Инструментальные программные средства общего назначения
- •3.3. Инструментальные программные средства специального назначения
- •3.4. Программные средства профессионального уровня
- •3.5. Организация «меню» в программных системах
- •Контрольные вопросы ч задания
- •§ 4. Системы обработки текстов
- •4.1. Элементы издательского дела
- •4.2. Текстовые редакторы
- •4.3. Издательские системы Общая характеристика
- •Настольная издательская система ТеХ
- •§ 5. Системы компьютерной графики
- •5.1. Принципы формирования изображений на экране
- •5.2. Изобразительная графика
- •5.3. Графические редакторы
- •5.4. Деловая графика
- •5.5. Инженерная графика
- •5.6. Научная графика
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •§ 6. Базы данных и системы управления базами данных
- •6.1. Понятие информационной системы
- •6.2. Виды структур данных
- •6.3. Виды баз данных
- •6.4. Состав и функции систем управления базами данных
- •6.5. Примеры систем управления базами данных
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 7. Электронные таблицы
- •7.1. Назначение и основные функции табличных процессоров
- •7.2. Электронные таблицы supercalc
- •7.3. Электронные таблицы excel
- •§8. Интегрированные программные средства
- •8.1. Принципы построения интегрированных программных систем
- •8.2. Интегрированный пакет ms-works
- •§ 9. Экспертные системы
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 10. Инструментальные программные средства для решения прикладных математических задач
- •10.1. Назначение программ
- •10.2. Пакет mathcad
- •10.3. Система аналитических преобразований reduce
- •§ 11. Компьютерное тестирование
- •11.1. Технология проектирования компьютерных тестов предметной области
- •Оценка соответствия
- •11.2. Типы компьютерных тестов
- •11.3. Инструментальные тестовые оболочки
- •11.4. Пример теста по школьному курсу информатики
- •§12. Компьютерные вирусы
- •12.1. Что такое компьютерный вирус
- •12.2. Разновидности компьютерных вирусов
- •12.3. Антивирусные средства
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 13. Компьютерные игры
- •13.1. Виды и назначение компьютерных игр
- •13.2. Обзор компьютерных игр
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3 языки и методы программирования
- •Введение
- •§ 1. История развития языков программирования
- •§2. Языки программирования высокого уровня
- •2.1. Понятие о языках программирования высокого уровня
- •2.2. Метаязыки описания языков программирования
- •23. Грамматика языков программирования
- •§3. Паскаль как язык структурно-ориентированного программирования
- •3.1. Введение
- •Контрольные вопросы
- •3.2. Основные конструкции языка
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Структуры данных
- •3.4. Процедуры и функции
- •3.5. Работа с файлами
- •3.6. Динамические информационные структуры
- •Контрольные вопросы
- •3.7. Работа с графикой
- •Var gd, gm: integer; {переменные gd и gm определяют драйвер и режим}
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.8. Турбо-оболочки. Версии паскаля
- •Контрольные вопросы
- •3.9. Руководство пользователю турбо-паскаля
- •§4. Методы и искусство программирования
- •4.1. Проектирование программ
- •Контрольные вопросы и задания
- •4.2. Основные принципы разработки и анализа алгоритмов
- •Задания
- •4.3. Методы построения алгоритмов, ориентированные на структуры данных
- •Контрольные задания
- •4.4. Рекурсивные алгоритмы
- •Контрольные задания
- •4.5. Важнейшие невычислительные алгоритмы (поиск и сортировка)
- •If f then write('найден элемент на ',m, ' месте') else write('такого элемента в массиве нет ');
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 5. Бейсик как язык операционально-проблемно-ориентированного программирования
- •5.1. Введение в бейсик
- •Контрольные вопросы
- •5.2. Базовые операторы
- •Контрольные вопросы ч задания
- •5.3. Музыкальные возможности
- •Контрольные вопросы и задания
- •5.4. Графические возможности
- •Контрольные вопросы и задания
- •5.5. Обработка символьной информации
- •Контрольные вопросы и задания
- •5.6. Подпрограммы
- •Контрольные вопросы
- •5.7. Работа с файлами
- •5.8. Средства и методы организации диалога
- •Контрольные задания
- •5.9. Версии бейсика
- •5.10. Бейсик и паскаль
- •§ 6. Введение в язык программирования си
- •6.1. Общая характеристика языка и пример программы на си
- •6.2. Элементы си: алфавит, идентификаторы, литералы, служебные слова
- •6.3. Типы данных и операции в языке си. Выражения
- •6.4. Операторы. Управляющие конструкции языка
- •6.5. Структура программы на си. Понятие о функциях
- •6.6. Классы памяти
- •6.7. Функции вводa-вывода
- •6.8. Директивы препроцессора
- •6.9. Си и паскаль
- •§ 7. Основы логического программирования на языке пролог
- •7.1. Общие сведения
- •7.2. Алгоритм выполнения программ на прологе
- •7.3. Рекурсия
- •7.4. Предикат отсечения и управление логическим выводом в программах
- •7.5. Обработка списков
- •7.6. Решение логических задач на прологе
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 8. Введение в функциональное программирование на языке лисп
- •8.1. Назначение и общая характеристика языка
- •8.2. Основные элементы программы на лиспе. Списки
- •8.3. Функции
- •8.4. Формы. Управляющие конструкции в лисп-программе
- •8.5. Рекурсия и цикл в программах на лиспе
- •8.6. Ввод-вывод данных
- •8.7. Пример программирования на лиспе
- •8.8. Свойства символов
- •Контрольные вопросы и задания
- •§9. Введение в объектно-ориентированное программирование
- •9.1. Основные положения
- •9.2. Основы объектного программирования в системе турбо-паскаль
- •9.3. Оболочка turbo-vision
- •9.4.* Среда объектного визуального программирования delphi
- •9.8. Система объектного программирования smalltalk
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительная литература к главе 3
- •Часть вторая глава 4 вычислительная техника
- •Введение
- •§ 1. История развития вычислительной техники
- •Начальный этап развития вычислительной техники
- •Начало современной истории электронной вычислительной техники
- •Поколения эвм
- •1.4. Персональные компьютеры
- •1.5. И не только персональные компьютеры...
- •1.6. Что впереди?
- •Контрольные вопросы
- •§2. Архитектура эвм
- •2.1. О понятии «архитектура эвм»
- •1.2. Классическая архитектура эвм II принципы фон неймана
- •2.3. Совершенствование и развитие внутренней структуры эвм
- •2.4. Основной цикл работы эвм
- •2.5. Система команд эвм и способы обращения к данным
- •Контрольные вопросы
- •§3. Архитектура микропроцессоров
- •3.1. История развития микропроцессоров
- •3.3. Внутренняя организация микропроцессора
- •3.3. Работа микропроцессора с памятью. Методы адресации
- •3.4. Форматы данных
- •3.5. Обработка прерываний
- •3.6. Работа микропроцессора с внешними устройствами
- •3.7. Пример: система команд процессоров семейства pdp
- •Контрольные вопросы и задания
- •§4. Учебная модель микрокомпьютера
- •4.1. Структура учебного микрокомпьютера
- •4.2. Система команд
- •4.3. Адресация данных
- •4.4. Работа с внешними устройствами
- •4.5. Примеры программ
- •4.6. Некоторые справочные данные по е-97
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 5. Внешние устройства эвм: физические принципы и характеристики
- •5.1. Внешние запоминающие устройства
- •5.2. Устройства ввода информации
- •5.3. Устройства вывода информации
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 6. Логические основы функционирования эвм
- •6.1. Логика высказываний. Элементарные логические функции
- •6.2. Схемная реализация элементарных логических операций. Типовые логические узлы
- •63. Пример электронной реализации логического элемента
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительная литература к главе 4
- •Глава 5 компьютерные сети и телекоммуникации введение
- •§ 1. Локальные сети
- •1.1. Аппаратные средства
- •1.2. Конфигурации локальных сетей и организация обмена информацией
- •1.3. Локальные сети учебного назначения
- •Контрольные вопросы
- •§2. Операционные системы локальных сетей
- •Контрольные вопросы ч задания
- •§3. Глобальные сети
- •3.1. Общие принципы организации
- •3.2. Аппаратные средства и протоколы обмена информацией
- •3.3. Электронная почта
- •3.4.1. Адресация и виды информации в Internet
- •3.4.2. Доступ к информации в Internet
- •3.4.3. Язык разметки гипертекстов html
- •3.4.4. Программа-оболочка Internet Explorer
- •3.4.5. Другие информационные системы в Internet
- •§ 4. Представление об операционной системе unix
- •§ 5. Использование компьютерных сетей в образовании
- •5.1. Телекоммуникации как средство образовательных информационных технологий
- •5.2. Персональный обмен сообщениями
- •5.3. Информационное обеспечение
- •5.4. Совместное решение задач
- •Глава 6 информационные системы введение
- •§ 1. Банки информации
- •1.1. Банки данных
- •1.2. Банки документов
- •1.3. Банк педагогической информации
- •§ 2. Базы данных в структуре информационных систем
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Проектирование баз данных
- •2.3. Представление об языках управления реляционными базами данных типа dBase
- •2.3.1. Основные элементы субд типа dBase
- •2.3.2. Создание структуры файлов базы данных
- •2.3.3. Командный язык субд
- •2.3.4. Ввод данных в базу и редактирование
- •2.3.5. Дополнительные операции
- •2.3.6. Организация системы меню
- •2.3.7. Пример создания информационной системы с помощью субд типа dBase
- •§ 3. Автоматизированные информационные системы
- •3.1. Автоматизированные системы управления
- •3.2. Информационные системы управления
- •3.2.1. Общие принципы
- •3.2.2. Информационные системы управления в образовании
- •3.3. Автоматизированные системы научных исследований
- •3.4. Системы автоматизированного проектирования
- •3.5. Геоинформационные системы
- •Контрольные вопросы
- •§4. Экспертные системы
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 5. Компьютерные обучающие системы
- •5.1. Основные принципы новых информационных технологий обучения
- •5.2. Типы обучающих программ
- •5.3. Компьютерное тестирование
- •5.4. Перспективные исследования в области компьютерного обучения
- •Глава 7 компьютерное математическое моделирование введение
- •§ 1. О разновидностях моделирования
- •§2. Понятие о компьютерном математическом моделировании
- •2.1. Математическое моделирование и компьютеры
- •2.2. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
- •2.3. Классификация математических моделей
- •2.4. Некоторые приемы программирования
- •§3. Моделирование физических процессов
- •3.1. Физика и моделирование
- •3.2. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды
- •3.3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Законы подобия
- •3.4. Движение тела с переменной массой: взлет ракеты
- •3.5. Движение небесных тел
- •3.6. Движение заряженных частиц
- •3.7. Колебания математического маятника
- •3.8. Моделирование явлений и процессов в приближении сплошной среды
- •3.9. Моделирование процесса теплопроводности
- •Контрольные вопросы и задания
- •§ 4. Компьютерное моделирование в экологии
- •4.1. Экология и моделирование
- •4.2. Модели внутривидовой конкуренции
- •4.3. Логистическая модель межвидовой конкуренции
- •4.4. Динамика численности популяций хищника и жертвы
- •4.5. Имитационное моделирование динамики популяций
- •Контрольные вопросы и задания
- •§5. Глобальные модели развития человечества
- •§ 6. Моделирование случайных процессов
- •6.1. Техника стохастического моделирования
- •6.2. Моделирование случайных процессов в системах массового обслуживания
- •6.3. Различные примеры моделирования случайных процессов
- •Контрольные вопросы и задания
- •§7. Компьютерное математическое моделирование в экономике
- •7.1. Постановка зaдaчи линейного программирования
- •7.2. Симплекс-метод
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительная литература к главе 7
- •Содержание
- •§4. Методы и искусство программирования 261
- •§ 5. Бейсик как язык операционально-проблемно-ориентированного программирования 290
- •§ 6. Введение в язык программирования си 306
73. Машина тьюринга
Машина Тьюринга подобна машине Поста, но функционирует несколько иначе.
Машина Тьюринга (МТ) состоит из счетной ленты (разделенной на ячейки и ограниченной слева, но не справа), читающей и пишущей головки, лентопротяжного механизма и операционного исполнительного устройства, которое может находиться в одном из дискретных состояний qo, q1, ..., qs, принадлежащих некоторой конечной совокупности (алфавиту внутренних состояний). При этом qо называется начальным состоянием.
Читающая и пишущая головка может читать буквы рабочего алфавита А = [а0, a1, ..., аt}, стирать их и печатать. Каждая ячейка ленты в каждый момент времени занята буквой из множества А. Чаще всего встречается буква a0 - «пробел». Головка находится в каждый момент времени над некоторой ячейкой ленты -текущей рабочей ячейкой. Лентопротяжный механизм может перемещать ленту так, что головка оказывается над соседней ячейкой ленты. При этом возможна ситуация выхода за левый край ленты (ЛК), которая является аварийной (недопустимой), или машинного останова (МО), когда машина выполняет предписание об остановке.
Порядок работы МТ (с рабочим алфавитом a0, a1,..., аt и состояниями q0, q1,..., qs) описывается таблицей машины Тьюринга. Эта таблица является матрицей с четырьмя столбцами и (s + 1) (t + 1) строками. Каждая строка имеет вид
Здесь через vij обозначен элемент объединения алфавита {а0, а1,..., аt} и множества предписаний для лентопротяжного механизма: l - переместить ленту влево, r -переместить ленту вправо, s - остановить машину; vij - действие МТ, состоящее либо в занесении в ячейку ленты символа алфавита a0, а1, ..., аt, либо в движении головки, либо в останове машины; qij является последующим состоянием.
МТ работает согласно следующим правилам: если МТ находится в состоянии qi, головка прочитывает символ 0 в рабочей ячейке. Пусть строка qi аj vij qij, начинающаяся с символов qi, aj, встречается только один раз в таблице. Если vij - буква рабочего алфавита, то головка стирает содержимое рабочей ячейки и заносит туда эту букву. Если vij - команда r или l для лентопротяжного механизма, то лента сдвигается на одну ячейку вправо или влево (если не происходит выход за левый край ленты) соответственно. Если vij =s, то происходит машинный останов.
Машина Тьюринга начинает работу из некоторой начальной конфигурации, включающей в себя начальное состояние (обычно q0) и положение считывающе-записывающей головки над определенной ячейкой ленты, содержащей один из символов рабочего алфавита A.
Отметим, что наличие разнообразных символов в рабочем алфавите МТ позволяет представлять на ленте произвольную текстовую и числовую информацию, а переходы управляющего центра МТ в различные состояния моделируют запоминание машиной Тьюринга промежуточных результатов работы. Таблица, определяющая порядок работы МТ, не является в прямом смысле слова программой (ее предписания выполняются не последовательно, одно за другим, а описывают преобразования символов некоторого текста, находящегося на ленте). Таблицу МТ часто называют схемой машины Тьюринга или попросту отождествляют с самой машиной Тьюринга, коль скоро ее устройство и принцип функционирования известны.
Рассмотрим примеры нескольких схем машины Тьюринга.
1. Алгоритм прибавления единицы к числу п в десятичной системе счисления. Дана десятичная запись числа п (т.е. представление натурального числа п в десятичной системе счисления); требуется получить десятичную запись числа п + 1.
Очевидно, что внешний алфавит МТ должен состоять из десяти цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и символа пробела _. Эти цифры записывают по одной в ячейке (подряд, без пропусков).
Оказывается достаточным иметь два внутренних состояния машины: q1 и q2.
Предположим, что в начальный момент головка находится над одной из цифр числа, а машина находится в состоянии q1. Тогда задача может быть решена в два этапа: движения головки к цифре единиц числа (во внутреннем состоянии q1) и замене этой цифры на единицу большую (с учетом переноса 1 в следующий разряд, если это 9, во внутреннем состоянии q2. Соответствующая схема МТ может иметь вид
аi |
qi |
|
q1 |
q2 |
|
0 |
0Пq1 |
1Cq2 |
1 |
1Пq1 |
2Cq2 |
2 |
2Пq1 |
3Cq2 |
3 |
3Пq1 |
4Cq2 |
4 |
4Пq1 |
5Cq2 |
5 |
5Пq1 |
6Cq2 |
6 |
6Пq1 |
7Cq2 |
7 |
7Пq1 |
8Cq2 |
8 |
8Пq1 |
9Cq2 |
9 |
9Пq1 |
0Cq2 |
- |
-Лq1 |
1Cq2 |
2. Алгоритм записи числа в десятичной системе счисления.
Дана конечная последовательность меток, записанных в клетки ленты подряд, без пропусков. Требуется записать в десятичной системе число этих меток пересчитать метки).
Суть алгоритма может состоять в том, что к числу 0, записанному на ленте в начале работы машины, машина добавляет 1, стирая метку за меткой, так что вместо нуля возникает число 0 + k.
Легко могут быть построены алгоритмы сложения чисел, их перемножения, нападения наибольшего общего делителя и т.д. Однако, главная цель введения машин Поста и Тьюринга не программирование для них, а изучение свойств алгоритмов и проблемы алгоритмической разрешимости задач.
В зависимости от числа используемых лент, их назначения и числа состояний устройства управления можно рассматривать различные модификации машин Тьюринга.
Предположим, мы расширили определение МТ, добавив определенное состояние q. устройства управления машины. Будем говорить, что если устройство управления переходит в состояние q0 для заданного входного слова х, то машина допускает х; если устройство переходит в состояние qx, то машина запрещает х. Такую машину будем называть машиной Тьюринга с двумя выходами. Могут быть рассмотрены многочисленные варианты машины Тьюринга, имеющие некоторое конечное число лент. В каждой клетке этих лент может находиться один из символов внешнего алфавита А = {a0, a1, ..., аn}. Устройство управления машиной в каждый момент времени находится в одном из конечного множества состояний Q = {q0, q1, ..., qm}. Для K-ленточной машины конфигурация ее в i-й момент времени описывается системой k-слов вида:
ail1 … aillqi aill+1 … si1t;
aik1 … aiklqi aikl+1 …aikv;
первый индекс соответствует моменту времени, второй - номеру ленты, третий -номеру клетки, считая слева направо. Говорят, что машина выполняет команду
qiaa1 … aak → qj ab1 k1 … abk kk,
К = {Л, С, П}.
Если, находясь в состоянии qi и обозревая ячейки с символами aa1 — aаk, машина переходит в состояние qj, заменяя содержимое ячеек соответственно символами аb1 — аbк, то после этого ленты соответственно сдвигаются в направлениях k1 ... kk.
До сих пор принималось, что различные алгоритмы осуществляются на различных машинах Тьюринга, отличающихся набором команд, внутренним и внешним алфавитами. Однако, можно построить универсальную машину Тьюринга, способную выполнять любой алгоритм любой машины Тьюринга. Это достигается путем кодирования конфигурации и программы любой данной машины Тьюринга в символах внешнего алфавита универсальной машины. Само кодирование должно выполняться следующим образом:
1) различные символы должны заменяться различными кодовыми группами, но один и тот же символ должен заменяться всюду, где бы он не встретился, одной и той же кодовой группой;
2) строки кодовых записей должны однозначно разбиваться на отдельные кодовые группы;
3) должна иметься возможность распознать кодовые группы, соответствующие командам Л, П, С, различать кодовые группы, соответствующие символам внешнего алфавита и внутренним состояниям.
Для сравнения структур различных машин и оценки их сложности необходимо иметь соответствующую меру сложности машин. К.Шеннон предложил рассматривать в качестве такой меры произведение числа символов внешнего алфавита и числа внутренних состояний. Большой интерес вызывает задача построения универсальной машин Тьюринга наименьшей сложности.
Может быть рассмотрено еще одно обобщение машин Тьюринга: их композиции. Операции композиции, выполняемые над алгоритмами, позволяют образовывать новые, более сложные алгоритмы из ранее известных простых алгоритмов. Поскольку машина Тьюринга - алгоритм, то операции композиции применимы и к машинам Тьюринга. Рассмотрим основные из них: произведение, возведение в степень, итерацию.
Пусть заданы машины Тьюринга T1 и T2, имеющие общий внешний алфавит А = {a0, a1, ..., am} и внутренние состояния Q1 = {q0, q1,… qn} и Q2 = {q0, q1, ..., qt} соответственно. Композицией или произведением машины T1 и машины T2 будем называть машину Т с тем же внешним алфавитом А = {a0, а1, ..., am} и набором внутренних состояний Q = {q0, q1,..., q2,, qn+1,..., qn+1} и программой, эквивалентной последовательному выполнению программ машин Т1 и Т2:
Т = T1 * T2..
Таким же образом определяется операция возведения в степень: n-й степенью машины Т называется произведение T...Т c n сомножителями.
Операция итерации применима к одной машине и определяется следующим образом. Пусть машина T1 имеет несколько заключительных состояний. Выберем ее r-е заключительное состояние и отождествим его в схеме машины с ее начальным состоянием. Полученная машина T является результатом итерации машины Т1 : Т = T1.
Прежде чем остановиться на проблеме алгоритмической разрешимости задач обратимся к другим способам формализации понятия алгоритма.