Структурная схема сау
Рисунок 3. Структурная схема САУ копировального фрезерного станка
Определение устойчивости заданной сау
Общая передаточная функция разомкнутой САУ
Подставив цифровые значения получим:
Выполнив алгебраические преобразования, получим:
Раскрыв скобки, получим выражение передаточной функции в виде отношения полиномов:
Найдем частотную передаточную функцию разомкнутой системы
,
где
.
Умножив на сопряженное число получим:
Расчитаем
полиномы частотной передаточной функчии.
Данные сведены в таблицу 1
Таблица 1. Расчёт полинома частотной передаточной функции.
|
ω |
Re числитель |
Jm числитель |
знаменатель |
U(ω) |
V(ω) |
|
0 |
40000000000 |
0 |
4,9E+11 |
0,081633 |
0 |
|
5 |
-1,246E+13 |
-4,1006E+12 |
1,9566E+16 |
-0,00064 |
-0,00021 |
|
10 |
-4,996E+13 |
-8,2048E+12 |
3,13463E+17 |
-0,00016 |
-2,6E-05 |
|
15 |
-1,1246E+14 |
-1,23162E+13 |
1,58729E+18 |
-7,1E-05 |
-7,8E-06 |
|
20 |
-1,9996E+14 |
-1,64384E+13 |
5,01707E+18 |
-4E-05 |
-3,3E-06 |
|
30 |
-4,4996E+14 |
-2,47296E+13 |
2,54007E+19 |
-1,8E-05 |
-9,7E-07 |
|
40 |
-7,9996E+14 |
-3,31072E+13 |
8,0281E+19 |
-1E-05 |
-4,1E-07 |
|
50 |
-1,24996E+15 |
-4,16E+13 |
1,96003E+20 |
-6,4E-06 |
-2,1E-07 |
|
75 |
-2,81246E+15 |
-6,3525E+13 |
9,92313E+20 |
-2,8E-06 |
-6,4E-08 |
|
100 |
-4,99996E+15 |
-8,68E+13 |
3,13639E+21 |
-1,6E-06 |
-2,8E-08 |
|
150 |
-1,125E+16 |
-1,392E+14 |
1,58805E+22 |
-7,1E-07 |
-8,8E-09 |
|
200 |
-2E+16 |
-2,024E+14 |
5,02015E+22 |
-4E-07 |
-4E-09 |
|
250 |
-3,125E+16 |
-2,8E+14 |
1,22598E+23 |
-2,5E-07 |
-2,3E-09 |
|
300 |
-4,5E+16 |
-3,756E+14 |
2,54307E+23 |
-1,8E-07 |
-1,5E-09 |
|
350 |
-6,125E+16 |
-4,928E+14 |
4,71331E+23 |
-1,3E-07 |
-1E-09 |
|
400 |
-8E+16 |
-6,352E+14 |
8,04454E+23 |
-9,9E-08 |
-7,9E-10 |
|
500 |
-1,25E+17 |
-1,01E+15 |
1,96625E+24 |
-6,4E-08 |
-5,1E-10 |
|
750 |
-2,8125E+17 |
-2,64E+15 |
9,99369E+24 |
-2,8E-08 |
-2,6E-10 |
|
1000 |
-5E+17 |
-5,62E+15 |
3,176E+25 |
-1,6E-08 |
-1,8E-10 |
По данным значениям построим график АФЧХ
Рисунок 4 - АФЧХ разомкнутой передаточной функции САУ
График не охватывает точку (-1;j0), отсюда следует что система устойчива.
Определение передаточной функции замкнутой системы
Передаточная функция замкнутой САУ определяется:
Подставив цифровые значения получим:
Произведя арифметические преобразования получим:
Найдем частотную передаточную функцию замкнутой системы
,
где
.
Умножив числитель и знаменатель полученного выражения на число, сопряженное знаменателю, используя правило перемножения комплексных чисел, получим окончательное выражение частотной передаточной функции замкнутой системы
Результаты расчетов сводим в таблицу 2.
Таблица
2. Расчёт
полинома ВЧХ
|
ω |
числитель |
знаменатель |
P (ω) |
|
0 |
30000000 |
6E+11 |
0,00005 |
|
1 |
27800000 |
3,13602E+17 |
8,86474E-11 |
|
2 |
21200000 |
5,01761E+18 |
4,22512E-12 |
|
3 |
10200000 |
2,54016E+19 |
4,01549E-13 |
|
4 |
-5200000 |
8,02816E+19 |
-6,4772E-14 |
|
5 |
-25000000 |
1,96E+20 |
-1,27551E-13 |
|
6 |
-49200000 |
4,06426E+20 |
-1,21055E-13 |
|
7 |
-77800000 |
7,52954E+20 |
-1,03326E-13 |
|
8 |
-110800000 |
1,28451E+21 |
-8,62589E-14 |
|
9 |
-148200000 |
2,05753E+21 |
-7,20281E-14 |
|
10 |
-190000000 |
3,136E+21 |
-6,05867E-14 |
|
11 |
-236200000 |
4,59142E+21 |
-5,14438E-14 |
|
12 |
-286800000 |
6,50281E+21 |
-4,4104E-14 |
|
13 |
-341800000 |
8,95673E+21 |
-3,81612E-14 |
|
14 |
-401200000 |
1,20473E+22 |
-3,33022E-14 |
|
15 |
-465000000 |
1,5876E+22 |
-2,92895E-14 |
|
16 |
-533200000 |
2,05521E+22 |
-2,59438E-14 |
|
17 |
-605800000 |
2,61922E+22 |
-2,3129E-14 |
|
18 |
-682800000 |
3,29205E+22 |
-2,07409E-14 |
|
19 |
-764200000 |
4,08687E+22 |
-1,86989E-14 |
По данным таблицы построим график ВЧХ:
Рисунок 5 - ВЧХ замкнутой САУ
Построение
вещественных трапеций и графиков
h-функций
Полученную ВЧХ следует заменить прямыми и составить из них трапеции таким образом, чтобы при сложении ординат всех трапеций получился исходный график. В результате получаем в данном случае четыре трапеции, показанные
Рис. 6 – вещественные трапеции
По графикам вещественных трапеций определим: ωср, ωн, Н, χ
|
трапеция |
ωср |
ωн |
Н |
χ |
|
1 |
1 |
0 |
0,000051 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
0,000001 |
0,5 |
По параметрам вещественных трапеций рассчитываем значения h-функций
Таблица 3
|
|
t1 |
х(0) |
x1 |
t2 |
х(0,5) |
x2 |
|
0 |
0,000 |
0 |
0,000 |
0,000 |
0 |
0,000 |
|
0,5 |
0,333 |
0,138 |
-0,003 |
0,071 |
0,24 |
0,120 |
|
1 |
0,667 |
0,31 |
-0,008 |
0,143 |
0,461 |
0,231 |
|
1,5 |
1,000 |
0,449 |
-0,011 |
0,214 |
0,665 |
0,333 |
|
2 |
1,333 |
0,572 |
-0,014 |
0,286 |
0,883 |
0,442 |
|
2,5 |
1,667 |
0,674 |
-0,017 |
0,357 |
0,967 |
0,484 |
|
3 |
2,000 |
0,755 |
-0,019 |
0,429 |
1,061 |
0,531 |
|
3,5 |
2,333 |
0,783 |
-0,020 |
0,500 |
1,115 |
0,558 |
|
4 |
2,667 |
0,857 |
-0,021 |
0,571 |
1,142 |
0,571 |
|
4,5 |
3,000 |
0,883 |
-0,022 |
0,643 |
1,134 |
0,567 |
|
5 |
3,333 |
0,896 |
-0,022 |
0,714 |
1,118 |
0,559 |
|
5,5 |
3,667 |
0,9 |
-0,023 |
0,786 |
1,092 |
0,546 |
|
6 |
4,000 |
0,904 |
-0,023 |
0,857 |
1,051 |
0,526 |
|
6,5 |
4,333 |
0,904 |
-0,023 |
0,929 |
1,018 |
0,509 |
|
7 |
4,667 |
0,904 |
-0,023 |
1,000 |
0,993 |
0,497 |
|
7,5 |
5,000 |
0,907 |
-0,023 |
1,071 |
0,974 |
0,487 |
|
8 |
5,333 |
0,91 |
-0,023 |
1,143 |
0,966 |
0,483 |
|
8,5 |
5,667 |
0,918 |
-0,023 |
1,214 |
0,966 |
0,483 |
|
9 |
6,000 |
0,942 |
-0,024 |
1,286 |
0,97 |
0,485 |
|
9,5 |
6,333 |
0,932 |
-0,023 |
1,357 |
0,975 |
0,488 |
По значениям h-функций строим их графики. Просуммировав ординаты этих графиков получаем искомую кривую переходного процесса.
По Таблица 4. значение h-функций
Таблица По значениям h-функций строим их графики. Просуммировав ординаты этих графиков получаем искомую кривую переходного процесса.
Рисунок 7 – Искомая кривая переходного процесса