4.4.3. Законы теплового излучения

Законы теплового излучения получены применительно к идеальному абсолютно черному телу и к условиям термического равновесия.

4.4.3.1. Закон Планка

Разрабатывая квантовую теорию излучения, М. Планк (1900 г.) теоретически установил зависимость спектральной плотности потока излучения абсолютно черного тела от абсолютной температуры и длины волны:

, (4.91)

где  — длина волны, м;

е — основание натурального логарифма;

с₁=3,7410^16, Вт/м² — первая постоянная Планка;

с ₂=1,4410^2, мК — вторая постоянная Планка.

Рис. 4.8. Графическое представление закона Планка

На рис. 4.8 дано графическое представление закона Планка. Из приведенных на графике изотерм видно, что интенсивность излучения вначале, на участке у коротких волн, быстро возрастает до максимума, а затем медленно убывает. При одной и той же длине волны интенсивность излучения тем больше, чем больше температура тела.

4.4.3.2. Закон смещения (Вина)

На основе термодинамического рассмотрения черного равновесного излучения В. Вин в 1893 г. установил следующую связь между абсолютной температурой Т и длиной волны λ_макс, которой соответствует максимальная интенсивность излучения:

λ_максТ=в=const. (4.92)

Уравнение (4.93) является математической формулировкой закона смещения (Вина), из которого следует, что при увеличении температуры равновесной системы максимум спектральной объемной плотности энергии равновесного излучения (интенсивности излучения) — J_0λ смещается в сторону более коротких длин волн. Например, для солнечного излучения (Т6000 К) максимум интенсивности падает на видимый участок спектра (_макс=0,5 мкм). Для температур, встречающихся в технических устройствах (ниже 2000 К), максимум интенсивности приходится на тепловые (инфракрасные) лучи.

Для того, чтобы определить конкретные значения _макс при задании различных температур Т, необходимо знать величину «в», называемую постоянной Вина; теоретические исследования Планка позволили произвести независимое определение «в», и, в соответствии с современными данными, ее значение равно: в=2,897810^3 мК.

Подставляя значение произведения _максТ из (4.92) в формулу Планка (4.91), получим для максимума интенсивности (J_0)_макс следующее уравнение:

(J_0)_макс=с₃Т⁵ Вт/м³,

где с₃=1,30910^5 Вт/(м³К⁵).

Таким образом, максимальная интенсивность излучения пропорциональна пятой степени температуры абсолютно черного тела.

4.4.3.3. Закон И. Стефана — Л. Больцмана

Закон Стефана — Больцмана устанавливает зависимость плотности потока интегрального полусферического излучения от температуры. Эта зависимость задолго до появления квантовой теории Планка впервые экспериментально (путем измерений собственного излучения модели черного тела) была установлена Стефаном (1879 г.). Позднее (1884 г.) она теоретически (исходя из законов термодинамики) была получена Больцманом. Поэтому закон получил объединенное название Стефана — Больцмана. Закон Стефана — Больцмана для поверхностной плотности потока интегрального излучения Е₀, Вт/м² можно выразить следующим образом:

В результате интегрирования получаем

Е₀=₀Т⁴, Вт/м², (4.93)

где ₀=5,6710^8, Вт/(м²К) — константа излучения абсолютно черного тела.

В технических расчетах для удобства пользования константу ₀ увеличивают в 10⁸ раз, а для компенсации в формуле (2.93) температуру делят на 100. Тогда закон Стефана — Больцмана приобретает вид

, (4.94)

где с₀=5,67 Вт/(м²К⁴) — коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Закон Стефана — Больцмана может быть применен и к серым телам. В этом случае используется положение о том, что у серых тел, так же, как и у черных, собственное излучение пропорционально абсолютной температуре в четвертой степени, но энергия излучения меньше, чем энергия излучения черного тела при той же температуре.

Для серых тел этот закон имеет вид

, (4.95)

где ε=Е/Е₀=с/с₀1 — интегральная степень черноты серого тела представляет собой относительную излучательную способность серого тела.

Таким образом, степень черноты представляет собой отношение излучательной способности реального серого тела к излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре. Степень черноты (относительный коэффициент излучения) серого тела зависит от природы тела, температуры, состояния поверхности и в большинстве случаев определяется экспериментальным путем.

4.4.3.4. Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностями тела. В 1860 г. немецким физиком Г. Кирхгофом, исходившим из второго начала териодинамики, теоретически было установлено, что отношение излучательной способности абсолютно черного тела к его поглощательной способности является функцией только длины волны и абсолютной температуры. Эта функция является универсальной для всех тел, находящихся при одинаковой температуре. Исследованиями Кирхгофа было положено начало количественной теории теплового излучения.

Уравнение, выражающее закон Кирхгофа, можно записать в общем виде:

. (4.96)

На основании этого уравнения можно сделать вывод, что для любого тела отношение его излучательной способности к поглощательной способности равно излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре и зависит только от температуры.

Подставляя в уравнение (4.96) вместо значений

, и т.д.

и сокращая обе части равенства на (Т/100)⁴, получим

. (4.97)

Если сравнить уравнения (4.97) и ε=Е/Е₀=с/с₀, то окажется, что А=ε, т. е. поглощательная способность тела и степень черноты численно равны друг другу.

Из уравнения (4.96) вытекает, что излучательная способность всех тел меньше излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре.