Размерности и показатели степени при конвективном теплообмене

№ п/п	Наименование величины	Показатель степени	Размерности
			кг	м	с	К	Дж
1	l	il		1	0	0	0
2	u	iu	1	2	1	0	0
3		i	1	1	1	0	0
4		i	1	3	0	0	0
5		i	0	1	1	1	1
6	С	ic	1	0	0	1	1
7		1	0	2	1	1	1

Исключаем размерности:

1 — (кг) i_u + i_ + i_  i_c = 0

2 — (м) i_l  2i_u  i_  3i_  i_+ 2 = 0

3 — (c)  i_l i_  i_+ 1 = 0

4 — (К)  i_  i_c + 1 = 0

5 — (Дж) i_ + i_c  1 = 0.

Как видно из последних двух уравнений, полученных исключением размерности, они тождественны, т. к. определяются из теплоемкости воды. Таким образом, имеем 4 независимых уравнения связи при шести независимых переменных. Следовательно, в исходной системе уравнений только два неизвестных показателя подлежат экспериментальному определению, а остальные определяются по полученной системе уравнений в зависимости от этих двух основных. Например, в опыте определены показатели и они соответственно равны: i_u= n; i_c = m (n, m — число); тогда, используя систему уравнений, получим:

из 4 — i_= 1  i_c= 1  m

из 3 — i_ =  i_u  i_  1 = n + 1 + m  1 = m  n

из 1 — i_ = i_c  i_u  i_ = m  n  m + n = 0

из 2 — i_l = 2i_u + i_ + i_ + 3i_  2 = 2n + m  n +1  m  2 = n  1.

Подставив полученные значения показателей в (4.48), получим

(4.49)

Преобразуем полученные уравнения, сгруппировав величины с одинаковыми показателями

(4.50)

или

, (4.51)

где ul/μ = ωl/ν = Re — критерий Рейнольдса — критерий гидродина-мического подобия;

μС/λ = ν/a = Pr — критерий Прандтля — критерий теплофизического подобия;

αl/λ = Nu — критерий Нуссельта — критерий теплового подобия.

Таким образом, на основании теории размерностей получено уравнение связи безразмерных параметров, характеризующих теплообмен в условиях вынужденной конвекции и число независимых переменных снижено с 6 до 2, что обеспечивает возможность их экспериментального определения, и тогда N=Aⁿ=100.

Правильность использования теории размерностей подтверждается π-теоремой, исходя из чего физическое уравнение, содержащее n2 размерных величин, из которых m1 имеют независимые размерности, после приведения их к безразмерному виду должно содержать  безразмерных параметров  = n – m. В нашем случае  = n – m = 6 – 4 = 2. Численные значения постоянных, входящих в уравнение (4.51) С₀, n, m, определяются экспериментально и в зависимости от вида теплообмена приводятся в справочной литературе, некоторые даны в табл. 4.3.