7.2 Параллельное соединение элементов. Резервирование систем.

Для повышения надежности работы сложных систем применяют резервирование их элементов. Примерами таких систем, например, является насосная станция, состоящая из 4-х насосов, из которых только 2 являются рабочими, а остальные находятся в резерве. Или система, состоящая из 3-х параллельно включенных ниток водоводов, причем для подачи расчетного количества воды достаточно работы 2-х, а третья находится в резерве. Задача определения вероятности безотказной работы таких систем при параллельном соединении элементов решается несколько сложнее. Считаем, например, что для безотказной работы всей системы достаточно работы хотя бы одного из ее элементов. Остальные, таким образом, являются фактически резервными.

Путь решения упрощается, если использовать противоположный показатель - вероятность отказа. Вероятность отказа системы из n параллельно работающих элементов, когда они все выходят из строя ( логика «и» ), равна произведению вероятностей :

Q_c(t) = Q₁ Q₂ Q₃ .. Q_n = (1-P₁) (1-P₂)….(1-P_n) (48)

Тогда вероятность безотказной работы той же системы равна :

Р_c(t) = 1 - Q_c = 1 – (1-P₁) (1-P₂)….(1-P_n) (49)

Например, для системы из двух параллельно соединенных элементов структурная схема для расчета надежности изображена на рис.4.

рис.4

В случае экспоненциального закона распределения вероятностей в этом случае будем иметь :

Р_c(t) = 1 – (1- e ^–λ₁^t) (1- e ^–λ₂^t )

Если оба элемента одинаковы, т.е. λ₁ = λ₂ = λ , тогда

Р_c(t) = 2 e ^{–λ t} - e ^{–2 λ t} (50)

Вероятное ( среднее ) время безотказной работы такой системы

Т _{ср. с} = - = (51)

Очевидно, что при параллельном соединении элементов общая надежность системы повышается. Она выше, чем надежность одного элемента. Такой способ повышения надежности называют резервированием. Если элемент системы не нагружен, то он называется «холодным» резервом. Резервный элемент может быть также включен в работу, как основной элемент, в этом случае он называется «горячим» резервом. В системах водоснабжения широко используется резервирование для обеспечения требуемой надежности водоподачи. Резервируются водопроводные сооружения в целом или их элементы (насосы, фильтры, отстойники, емкости и т.д.).

Основным параметром резервирования является его кратность. Пусть n - общее число элементов в системе, а m - число элементов, необходимых для нормальной работы системы. Под кратностью резервирования r понимается отношение числа резервных элементов к числу основных :

r = (n - m) / m (52)

Бывает резервирование с целой кратностью, когда величина r есть целое число (в этом случае всегда m = 1), и резервирование с дробной кратностью, когда r есть дробное несокращаемое число. Например

r = 2/2 есть резервирование с дробной кратностью.

1). При резервировании с постоянно включенным резервом и с целой кратностью вероятность безотказной работы системы определяется по формуле :

Р_сист (t) = 1 -  1 - Р₁(t) ^. Р₂(t) ^......... Р_m ^r+1 , (53)

где Р_i(t) - вероятность безотказной работы отдельного i-го элемента системы.

Если все элементы системы одинаковы, то при экспоненциальном законе надежности получаем

Р_сист(t) = 1 -  1 - e ^m  ^r+1 , (54)

а для среднего времени наработки системы на отказ

Т_{ср сист} = (1/) ^. 1/(1+i) (55)

Здесь  - интенсивность отказа отдельного элемента. Например, при n=3 и m=1 получаем ( r =( n-m)/m=(3-1)/1=2):

Р_сист= 1- 1-Р^m ^r+1 =1- 1-P³ = 1 - (1-3^.P+3^.P²-P³) = 3P-3P²+P³ =

= 3^.е^t - 3^.е^{t}+e^

а Т_{ср сист} = 1/ ( 1+1/2+1/3 ) = 11/6

2). При резервировании с постоянно включенным резервом и дробной кратностью получаем следующие формулы :

Р_сист(t)=  C ^. Р_о^n-i(t) ^. (-1)^{j .} C_i^{j .} Р_о^j(t) (56)

T_{ср сист}= 1/ ^. 1/( m+i) (57)

где Р_о(t) - вероятность безотказной работы отдельного элемента системы, С_i^j - число сочетаний из i элементов по j . Например, при n =4 и m =2 (r=n-m/m=2/2) получаем :

Р_сист(t)= C₄^{ .} Р_^ + С_^{ .} Р_^{ .} (1-С_^{ .} Р₀) +С₄^{2 .} Р₀^{2 .} (1-С₂^{1 .} Р₀+С₂^{2 .} Р₀²)=

=С₄^{i .} Р₀^{4-i .}(-1)^{j .} С_i^{j .} Р₀^j = P₀⁴+4P₀^3.(1-Р₀)+6^.Р₀^2.(1-2Р₀+Р₀²) =

=6^.Р₀²-8Р₀³+3Р₀⁴

Т_{ср сист}= 1/ ^. 1/(2+i) = 1/ ^. (1/2+1/3+1/4) =

3). В случае отсутствия резервирования (r=0) , когда к отказу системы приводит отказ любого из ее элементов, получаем :

Р_сист(t)=Р₁(t) ^. Р₂(t) ^. Р₃(t) ^............Р_n(t) (58)

Для одинаковых элементов и при экспоненциальном законе надежности :

Р_сист (t)= P₀ⁿ(t) = e ^{ nt} (59)

Т_{ср сист}= (60)

Для всех указанных случаев можно составить таблицу, например, для системы, состоящей не более чем n = 5 однотипных элементов, при любых требованиях, накладываемых на возможные состояния их работы (работа m элементов из n ), где каждая клетка таблицы дает формулу для вычисления вероятности безотказной работы соответствующей системы.

Таблица 1

m-число эле ментов для нормальн.	Значения Рсист при общем числе n элементов в системе
Работы	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5
1	Р0	2Р0-Р02	3Р0-3Р02+Р03	4Р0-6Р02+4Р03- -Р04	5Р0-10Р02+10Р03- -5Р04+Р05
2	-	Р02	3Р02-2Р03	6Р02-8Р03+3Р04	10Р02-20Р03+ +15Р04-4Р05
3	-	-	Р03	4Р03-3Р04	10Р03-15Р04+6Р05
4	-	-	-	Р04	5Р04-4Р05
5	-	-	-	-	Р05