шпоргалка / шпоры фото / 16-22

16. Случайные процессы. Уравнение Колмогорова

S₁- неработоспособное состояние S₀ – работоспособное

μ- восстановление

Поток отказов – среднее число отказов, которое может произойти в системе единицу времени. Для описания этих процессов, создана теория Колмогорова

Поток характеризуется интенсивностью λ - средним количеством событий, приходящихся на единицу времени.

1. если λ=const и не зависит от времени, то такой поток называется стационарным

2. для любых i,j таких что t_i не равно t_j : если два события не могут произойти одновременно, то такой поток называется ординарным

3. - интервал времени между событиями. Если для любых двух интервалов времени число событий, попадающих на n1 и n2 является независимыми случайными величинами, то такой поток называется потоком без последствий (Марковским)

Поток, для которого выполняются все три свойства, называется простейшим

Найдем число (λ=const)_сред событий за Δt

1)

2)

Из условия ординарности можно преобразовать

Рассмотрим два случая:

1. 

2. 

1)Первая ситуация более важна

- уравнение Колмогорова

Вероятность того, что не появится событие

Вероятность того, что событие появится:

2)

Функция распределения интервалов времени в простейшем потоке. Простейший поток имеет показательное распределение

Правило состояния диф. уравнения Колмогорова

Р₀ – вероятность безотказной работы

17. Процессы гибели-размножения

н

S₀ – нижняя граница

S_n – верхняя граница

λ – интенсивность потока рождения

μ– интенсивность потока гибели

Этот процесс описывается уравнением Колмогорова

Стационарный процесс:

По умолчанию предположим, что все потоки приняли простейшими

Решаем эту систему уравнений:

,

Ф-ла Эрланга

Средняя численность это мат. ожидание:

- среднее число популяций

18. n-канальные СМО

n- канальная система массового обслуживания. Имеется СО, содержащая n каналов, ко входам поступает поток заявок с интенсивностью заявок в единицу времени, а производительность каждого канала такова, что он может обслужить заявок в единицу времени. Каждая поступившая заявка занимает любой свободный канал. Если к моменту прихода очередной заявки все каналы заняты, то заявка получает отказ или теряется. Найти характеристики эффективности системы:

1.вероятность того, что система находится в режиме ожидания P₀

2.вероятность отказа, вероятность того, что любая пришедшая в систему заявка получит отказ,.

3.относительную пропускную способность -долю обслуженных заявок от числа пришедших.

4.абсолютную пропускную способность, т.е количество заявок обслуживаемых системой в единицу времени, .

5.среднее число занятых каналов ,.

-Система в режиме ожидания

- Занят 1 канал

………………..

- Заняты n каналов

Классической теорией массового обслуживания рассчитаны на простейшие потоки.

- приведенная интенсивность

- среднее время обслуживания 1 заявки

- среднее количество заявок, приходящих в систему за среднее время обслуживания 1 заявки.

- первая формула Эрланга

- показывает вероятность того, что система находится в режиме ожидания.

2-ая формула Эрланга.

А

- 3я формула Эрланга

Входной поток:

1.стационарен

2.одинарность

3.маркновское свойство

Вероятностное правило рассеяния сохраняет свойства потока

Детермен. правило

- четвертая формула

- пятая

19. Одноканальная система с неограниченной очередью.

Имеется 1 обслуживающий орган. На вход поступает поток заявок с интенсивностью . Если к моменту прихода очереди заявки канал занят, заявка встает в очередь. Очередь неограниченна.

тогда существует стационарное решение.

-среднее число

- среднее число заявок

-формулы Литтла

20. Единичные ступенчатые воздействия, δ-функция, свойства

переходная ф-ия распределения системы.

- интеграл Дюамеля.

Единичный импульс обладает фильтрующим свойством.

- функция отфильтровывает, получается одно значение f(τ)

Преобразуем по Лапласу:

Реакция системы на идеальный импульс – весовая функция.

p эквивалентно дифференцированию.

21

Преобразование Лапласа функции действительного переменного f(x), называется функция F(x) комплексного переменного , такая что:

Левая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Основные свойства преобразования Лапласа

• оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;

• если F (p) и G (p) - изображения соответственно для f (x) и g (x), то изображением для af (x) + bg (x) является aF (p) + bG (p) - линейность преобразования Лапласа;

• изображением для производной f ⁽ⁿ⁾(x) является функция pⁿF(p) - p^n-1f (0) - p^n-2f '(0) -...-  pf ^(n-2)(0) - f ^(n-1)(0) - изображение производных;

• если F (p) изображения для f (x), то для любого a>0 изображением для f (x-a) является  - теорема запаздывания.

• 22

. потоковые модели в виде цепей Маркова. Эргодические конечные цепи

S₁- неработоспособное состояние. μ- интенсивность ремонтов. Отказавший элемент не ремонтируется. Поток отказов с интенс-ью А – сред число отказов, к-ое м/т произойти в системе за ед-цу времени. Для опис-я этих процессов создана теория Колмогорова.

Послед-ость случ-ых моментов времени. Интервал м/у событиями – это случ величина. Поток хар-ся величиной λ (интенсивность) – сколько событий приход на ед-цу времени. Стационарный поток – если λ=const, не зависит от t τ– это интервал времени между событиями если для двух любых интервалов времени числа событий попадают в эти интервалы, являющиеся независ-ми случ велич-ами(некореллированными),то такой поток наз марковским(поток без последствия) Если поток образует сразу 3свойства, то такой поток называется простейшим. Цепи Маркова: эргодические,поглощающие,управляемые.. Эргодическая цепь-цепь,не имеющая невозвратных состояний.В такой цепи возможны любые переходы между состояниями. Э.Ц. могут быть регулярными и циклическими.Переходные вероятности не должны равняться нулю. Свойсва: 1. Степени стремятся к стохастической матрице. 2.Каждая строка матрицы представляет один и тот же вероятностный вектор,все компоненты которого положительны. 3.Важная х-ка продолжительность времени.

эргодическая цепь маркова

Стационарный процесс: