5.Частотные характеристики

5.1.Афчх

Т.к. Y(s) = G(s)* - M_H(s)*

то, передаточная функция САУ по задающему воздействию:

W(s) = =

Подставим s=j*ω, тогда получим частотную характеристику :

W(j*ω) = = =

= ==

= - j*

Таким образом получили АФЧХ системы:

W(j*ω) = - j*

где

U(ω) = ReW(j*ω) = - действительная частотная характеристика

V(ω) = ImW(j*ω) = – мнимая частотная характеристика

ω	U(ω)	V(ω)
0	1	0
1	1.022	-0.115
2	1.093	-0.258
3	1.24	-0.484
4	1.51	-0.978
5	1.588	-2.647
∞	→ 0	→ 0

График АФЧХ

5.2.АЧХ

Амплитудно – частотная характеристика :

А(ω) =

A(ω) = =

= =

A(ω) =

ω	A(ω)
0	1
1	1.028
5	3.087
10	0.387
20	0.05
	→ 0

График АЧХ

5.3.ФЧХ

ФЧХ системы определяется за формулой:

φ(ω) = arctg ()

φ(ω) = arctg() = -arctg()

φ(ω) = -arctg()

ω	φ(ω), град
0	89.363
1	83.573
5	44.986
10	-20.652
20	-48.381
	→ -90

График ФЧХ

5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(9) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	2.359*10-5
0.1	2.36*10-3
1	0.24
10	-8.247
100	-66.989
1000	-126.936

График ЛАЧХ

6.Произвести анализ устойчивости сау:

6.1.Критерий Вышнеградского

Передаточная функция замкнутой системы равна:

W(s) = , тогда характеристическое уравнение

= 0 <=> , где

а₀=0,02 ; а₁=0,3 ; а₂=1 ; а₃=9

1. а₀ , а₁ , а₂ , а₃ > 0 - выполняется

2. а₂*а₁ > а₃*а₀ т.е. 0,3 > 0,18

Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что выполняется в данном случае.

Поэтому, за данным критерием система устойчива.

6.2.Критерий Рауса-Гурвица

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения

b₀*x^m+b₁*x^m-1+b₂*x^m-2+…+b_m-1*x+b_m = 0

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ₁, Δ₂, … Δ_m :

= 0

b₀=0,02 ; b₁=0,3 ; b₂=1 ; b₃=9

Δ₃ = = 1,08

Δ₂ = == 0,3 + 9*0,02 = 0,48

Δ₂ = 0,3

Т.к. условие устойчивости b₀, b₁, b₂, b₃ > 0 выполняется и Δ₁, Δ₂, Δ₃ > 0 , то система устойчива

6.3.Критерий Михайлова

Характеристический полином замкнутой САУ :

D(s) =

Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :

D(j*ω) = ==

= ,тогда

U(ω) = Re D(j*ω) =

V(ω) = Im D(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	9	0
1	8.7	0.98
2	7.8	1.84
5	1.5	2.5
15	-58.5	-52.5
∞	-∞	-∞

Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.

В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива