Определение статических моделей сложных технологических процессов

При решении разнообразных задач анализа и синтеза систем управления возникает необходимость в описании (моделировании) свойств объектов управления. Если при описании опираться на свойства составляющих элементов, то часто получаются сложные модели. Больших успехов можно добиться, если, не вникая во внутреннюю структуру управляемого объекта, характеризовать его как единое целое и моделировать связь между его входными и выходными процессами. Такая модель не вскрывает особенностей процессов, происходящих в объекте при функционировании. Однако получаемая с ее помощью связь между входом и выходом объекта образует совокупность тех соотношений, которые достаточны для проектирования системы управления.

Модель, описывающая эту связь, характеризует свойства объекта при некоторых предположениях либо при определенных диапазонах изменения входного и выходного процессов.

Для математического описания и получения статических характеристик сложного объекта автоматического управления, выходная переменная которого зависит от многих входных переменных, наиболее совершенными являются экспериментально-статистические методы. Аппарат корреляционного и регрессионного анализов позволяет получить математическое описание объекта в виде полинома заданного вида, связывающего входные и выходные переменные объекта в статическом режиме. Эта зависимость называется уравнением регрессии.

Для накопления исходного статистического материала используются активный и пассивный эксперименты.

Активный эксперимент основан на использовании искусственных возмущений, вводимых в объект по заранее спланированной программе. Его лучше применять в случае, когда процесс исследуется на лабораторной или полупроизводственной установке, когда экспериментатор имеет возможность активно вмешиваться в процесс.

Пассивный эксперимент основан на регистрации контролируемых параметров процесса в режиме нормальной работы объекта без внесения преднамеренных возмущений. Он экономически более оправдан и практически единственно возможен в том случае, когда испытаниям подвергается реальный промышленный объект с высокопроизводительным непрерывным производством дорогостоящего продукта. Этот способ позволяет также извлекать некоторую необходимую информацию из текущей отчетности предприятий.

Качество найденной математической модели, которое определяет возможность ее дальнейшего использования для целей управления объектом, в значительной мере зависит от организации и методики сбора экспериментальных данных.

Регрессионный анализ базируется на следующих условиях.

1. Входные переменные {x_i}могут иметь произвольную плотность распределения, но для каждого фиксированного значения этих переменных выходная случайная величина y имеет нормальную плотность распределения. Это равносильно требованию одномерного нормального распределения.

2. Дисперсии {y_m} (m=1,2, ... , N)равны. Это значит, что если проводить многократные повторные наблюдения над величиной y_mпри некотором определенном наборе значений x_1m, x_2m, ... , x_nm, то получим дисперсию{y_m}, которая не будет зависеть от математического ожидания M{y_m}, т.е. не будет отличаться от дисперсии{y_k}, полученной при повторных наблюдениях для любого другого набора значений входных переменных x_1k, x_2k, ... , x_nk. Это допущение необходимо для исследования критерия , оценивающего значимость коэффициентов уравнения регрессии.

3. Входные переменные {x_i}измеряются с малой ошибкой по сравнению с ошибкой выходной переменной.

Первое уравнение не всегда выполняется на практике, т.е. выходная случайная величина y не всегда подчинена нормальному закону распределения . В этом случае можно подобрать функцию преобразования, позволяющую прейти от y к новой случайной переменной q=f(y), распределенной приближенно морально. Например, многие асимметричные распределения часто удается аппроксимировать нормальным законом, перейдя от случайной величины y к случайной величине q=ln y. Если в условиях реального эксперимента не соблюдается второе условие - однородность дисперсии, то необходимо перейти к новой случайной переменной, характеризуемой однородностью дисперсии. Третье условие практически всегда выполнимо, так как ошибка выходной переменной помимо ошибки измерения зависит от {z_i} независимых переменных, недоступных измерению (старение агрегата, неконтролируемая неоднородность исходных материальных потоков и т.д.)

Математическое описание технологического процесса в статике можно представить в виде полинома (уравнения регрессии)

(1)

а если члены второго порядка заменить новыми переменными, то уравнение (1) станет линейным относительно новых коэффициентов оставаясь в общем случае нелинейным относительно входных переменных :

(2)

Задача построения статической модели технологического процесса сводится к экспериментальному определению оценок истинных значений коэффициентов с помощью множественного регрессионного анализа.

Статистическим материалом для получения выборочных оценок служат экспериментальные данные, полученные в режиме его нормальной эксплуатации или во время его активного эксперимента: матрица наблюдений Q формальных входных переменных qi (i=размерностью (Nk) и вектор наблюденийвыходной переменной размерностью (N1), где N - количество опытов, проведенных в процессе эксперимента (выборка размером N из всего возможного количества опытов). Тогда уравнение (2) можно представить в следующей матричной форме:

(3)

где - вектор коэффициентов ai (.

Задача состоит в том, чтобы по данным выборки N>k найти статистические оценки для неизвестных параметров a_i и их дисперсии. Если оценки в уравнении (3) в отдельных опытах некоррелированы между собой и не зависят от значений {a_i}, {q_i} (, а также имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и одинаковую дисперсию², то искомые оценки () и² можно определить методом максимального правдоподобия или методом наименьших квадратов по формулам:

вектор оценок коэффициентов регрессии

(4)

дисперсии

(5)

ковариации

(6)

и коэффициент корреляции

(7)

где Т - знак транспонирования; -1 - знак обращения матрицы; c_ij - элементы корреляционной матрицы или матрицы ошибок C=

Диагональные элементы матрицы C (при i=j) определяют дисперсии коэффициентов регрессии, недиагональные - их ковариации, являющиеся количественной мерой неопределенности, которая возникает вследствие того, что коэффициенты регрессии в общем случае не определяются независимо друг от друга. Поэтому введение дополнительной переменной в уравнение регрессии или исключение переменной связано с полным пересчетом всех найденных оценок.

Условие нормальности распределения ошибок в уравнении (3) позволяет провести полный статистический анализ оценок , найти доверительные интервалы для истинных значений a₁, a₂, ... , a_k. Если корреляционная матрица диагональна (что характерно для активного экспериментирования по ортогональным планам), то все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга и доверительные границы для каждого из коэффициентов определяются из выражения

(8)

где t_ берется из таблицы t-распределения (Стьюдента) при (N-k) степенях свободы;  - уровень значимости.

Выражение (8) показывает, что в среднем 100 (1-) % интервалов, построенных по заданным выборкам, покроют истинное неизвестное значение a_i.

Иногда в качестве величины, характеризующей вклад k коэффициентов регрессии в уравнение, содержащее k+1 членов, вводят множественный коэффициент корреляции

(9)

который может изменяться от нуля (если вклад, вносимый k коэффициентами регрессии, равен нулю) до +1, если уравнение регрессии полностью описывает результаты эксперимента [в этом случае сумма разностей между истинным и предсказанным моделью (3) значением выхода ].

О правильности выбора полинома (3) в качестве статической модели можно судить по оценке адекватности. Если разброс экспериментальных данных относительно расчетных того же порядка, что и оценка опыта, то это можно объяснить случайными ошибками и модель считается адекватной объекту. Если разброс значительно больше, полином необходимо изменить. Оценкой разброса служит остаточная дисперсия

(10)

где k – число коэффициентов регрессии.

Разброс параллельных опытов оценивают дисперсией воспроизводимости

(11)

где - среднее значение.

Для проверки адекватности рассчитывается отношение

которое сравнивают с критическим F_кр, взятым из таблиц распределения Фишера для степеней свободы (N-k) и (N-1); если F>F_кр– уравнение неадекватно, если F<F_кр– адекватно.

При построении регрессионной модели по результатам пассивного эксперимента следует помнить следующее.

1.Чем больше членов в выбранном полиноме, тем больше опытов необходимо иметь в таблице наблюдений и тем большая вероятность коррелированности входов {q_i}, что приводит к ошибочным моделям.

2.Результаты пассивного эксперимента, протекающего в условиях сильного шумового поля, при сильных ограничениях , наложенных на интервалы варьирования входных переменных, не содержат информации о математической модели процесса.

3. Применения специальных приемов приводит к ошибочным решениям.

Лучшие результаты в построении регрессионных статических моделей достигаются при проведении активного эксперимента (если имеется такая возможность).

При проведении работ по идентификации с применением регрессионных методов в случае пассивного эксперимента должны соблюдаться следующие основные требования.

Наблюдения по каждой из входных и выходных переменных должны быть стахостически независимы (случайны). Если исследуемые переменные представляют собой независимые стационарные случайные процессы, то время между соседними замерами по каждой переменной необходимо выбирать не меньше, чем время затухания ее автокорреляционной функции. Общее количество наблюдений (опытов) должно быть больше, чем число определяемых коэффициентов уравнения регрессии. Желательно, чтобы число наблюдений в 10 - 30 раз превосходило число определяемых коэффициентов. Для выполнения условий регрессионного анализа погрешность измерения каждой переменной должна быть пренебрежимо мала по сравнению с диапазоном ее изменения на интервале наблюдения.

Особое значение при определении статической модели имеет учет динамических характеристик объекта. Неучтенная динамика вносит существенную погрешность в определение математической модели. Практически наиболее целесообразна (но всегда допустима) замена реального динамического объекта объектом с чистым запаздыванием, имеющим время запаздывания . В этом случае учет динамики сводится к разделению моментов регистрации данных на выходе объекта временным интервалом. Для определенияесть несколько способов.

Влияние динамики объекта подобно действию неучтенных возмущающих переменных, а эквивалентная замена равносильна замене динамического объекта безынерционным с добавлением некоторого эквивалентного шума. Погрешность, которую вносит эквивалентный шум, характеризует величина остаточной дисперсии D_ост. Исследования показывают, что D_ост будет минимальна , когда t соответствует максимуму взаимокорреляционной функции R_Ex. Таким образом, погрешность вносимая эквивалентной заменой динамического объекта, будет минимальна в том случае, когда моменты регистрации данных на входе и выходе объекта разделены временным сдвигом

Минимальную погрешность можно определить по формуле

D_{ост min} ,

где ,- дисперсии выходной и измеряемой входной величин. Если динамика объекта такова, что отношение минимально возможной остаточной дисперсии к полной дисперсии выхода

мало отличается от единицы, то это свидетельствует о том, что статистические методы (корреляционный и регрессивный анализы) для получения статических характеристик на данном объекте нецелесообразны. Для многоканального динамического объекта со слабой взаимосвязью входных параметров это отношение записывается в следующем виде:

где m - число входов сложного объекта.

Таким образом, учет динамических свойств объекта при отыскании его математического описания в статике методом корреляционного анализа сводится к определению оптимального интервала (соответствующего максимуму взаимокорреляционной функции), которым нужно разделить моменты регистрации входных и выходных параметров объекта, и оценке относительной погрешности.

Алгоритм определения и оптимизации статической характеристики объекта из статистических данных с применением регрессионного метода.

1. Произвести предварительный технологический и экономический анализ объекта с целью выяснения целесообразности проведения экспериментов по его оптимизации:

а) если выяснено, что объект имеет устаревшее оборудование, недостаточную техническую оснащенность и так далее, то на этом исследование заканчивается;

б) если объект в техническом отношении не устарел, но в нем недостаточно механизированы и автоматизированы основные участки производства, то его оптимизацию следует отложить;

в) если априорно известно, что хорошо автоматизированный объект имеет запас по производительности или другим важным экономическим показателям, или если речь идет о новом малоизученном производстве, то перейти к п.2

2. Произвести выделение наиболее вероятных входных параметров, ответственных за изменение выходной величины. Для того чтобы применить аппарат регрессионного анализа, входные переменные должны быть, по возможности мало связаны между собой, т.е. изменяться практически независимо друг от друга.

Если производство мало изучено и нет априорных сведений по п. 2, то перейти к п.19 (отсеивающие эксперименты).

3. Произвести предварительный статистический анализ характера изменения входных переменных и выходной величины для оценки их автокорреляционных и взаимокорреляционных функций.

4. Произвести предварительное исследование динамики объекта по всем входам и оценить отношение минимально возможной остаточной дисперсии, обусловленной динамикой, к полной дисперсии выхода:

а) если отношение мало по сравнению с единицей, то принимают решение о проведении эксперимента и переходят к п.5;

б) если оно близко единице, то применение статистических методов для получения и оптимизации статических характеристик на данном объекте не целесообразно. На этом исследование заканчивается.

5. Определить интервалы между соседними замерами по входным переменным и временного интервала вход-выход с учетом динамики объекта.

6. Произвести расчет количества наблюдений и времени, необходимого для их реализации, с учетом п.5

7. Произвести экономический анализ с учетом п. 6 с целью принятия решения о проведении пассивного и активного эксперимента:

а) если принято решение о проведении пассивного эксперимента, перейти к п. 8;

б) если принято решение о проведении активного эксперимента, перейти к п. 9.

8. С учетом пп. 5 и 6 в соответствии с необходимыми условиями организации пассивного эксперимента провести эксперимент и составить матрицу X результатов наблюдений за входными переменными объекта и матрицу Е наблюдений за выходом переменной; перейти к п. 14 (статистическая обработка результатов наблюдений).

9. Провести активный эксперимент. Из технологический соображений определить наиболее походящий план активного эксперимента; определить базовые значения всех входных переменных, интервал варьирования, верхний и нижний уровни:

а) если принято решение о построении ортогонального плана эксперимента (что обеспечивает минимальную дисперсию в определении коэффициентов регрессии), то перейти к п. 10;

б) если план эксперимента строится по другому критерию, то пп. 10 - 19 алгоритма будут аналогичными, но формулы для обработки результатов эксперимента - другими.

10. Составить матрицу планирования полного факторного эксперимента для выбранного по п. 2 количества входных переменных. Если переменных много и есть сведения о малости некоторых взаимодействий, можно задаться определяющим контрастом и построить дробную реплику от полного факторного эксперимента:

а) если есть основание предполагать, что область экспериментальных значений статистической характеристики не достигнута, перейти к п. 11;

б) если эксперимент ставится в области экспериментальных значений, то перейти к п. 12.

11. В соответствии с необходимыми условиями организации активного эксперимента провести эксперимент по составленному плану и заполнить графу значений выходной переменной; перейти к п. 14.

12. Дополнить матрицу планирования полного факторного эксперимента “звездными” и центральными точками и составить матрицу рототабельного планирования эксперимента на трех уровнях.

13. Провести эксперимент по рототабельному плану и заполнить графу значений выходной переменной.

14. Провести статистическую обработку результатов наблюдений или экспериментов. Определить коэффициенты уровня регрессии:

а) для пассивного эксперимента;

?????????????????????

б) для полного (или дробного) факторного эксперимента; перейти к п. 15;

в) для рототабельного эксперимента на трех уровнях.

15. Провести статистический анализ уравнения регрессии. Определить дисперсию коэффициентов регрессии. Оценить значимость коэффициентов регрессии; перейти к п.16

16. Вычислить коэффициент множественной корреляции. Вычислить остаточную сумму квадратов и остаточную дисперсию. Проверить адекватность полученной математической модели (уравнение регрессии, полученное в результате пассивного эксперимента справедливо только для тех условий, в которых оно было получено, и для целей оптимизации имеет огромного значение)

17. Провести “крутое восхождение” в область экспериментальных значений статистической характеристики. Для реализации новых опытов вернуться к п. 10 а алгоритма и следовать далее до п. 16. Если линейное описание перестанет быть адекватным, перейти к п. 12 с нового базового уровня.

18. Провести оптимизацию. Произвести канонический анализ полученного нелинейного уравнения регрессии. Определить центральную (экстремальную) точку:

а) если все коэффициенты канонической формы одного знака, то точка экстремума является точкой оптимума. Провести дополнительную серию опытов в центральной точке для подтверждения теоретических выводов;

б) если коэффициенты канонической формы знакопеременны, то провести численную оптимизацию в ограниченной области вокруг центральной точки. В найденной точке оптимума провести серию экспериментов для подтверждения теоретических выводов. Конец.

19. Провести отсеивающие эксперименты, которые применяются для определения доминирующих эффектов среди очень большого числа потенциально возможных.