Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Finmat.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
21.11.2018
Размер:
3.34 Mб
Скачать

3. Эффективная ставка при начислении сложных процентов m раз в году

Эффективная ставка j – это годовая ставка сложных процентов, которую необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m - разовом начислении процентов в году по ставке j /m.

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны:

P(1 + iэф )n = P(1 + j /m)mn ,

откуда

iэф = (1 + j /m)m - 1.

Пример 3.1. Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 8% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4).

Р е ш е н и е. Эффективная ставка сложных процентов равна

iэф = (1 + 0,08 /4)4 - 1  0,0824 (8,24%).

Рассмотрим наращение на основе сложной учетной ставки. Здесь также возникает понятие эффективной ставки, под которой будем понимать сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной учетной ставке при заданном значении m.

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны

.

Следовательно, эффективная учетная ставка равна

.

4. Эквивалентность процентных ставок

Ставки, обеспечивающие равноценность последствий финансовых операций, называются эквивалентными.

Формулы для расчета наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке имеют вид

S1 = P1(1 + in); S2 = P2 (1/(1-dn)).

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2 . Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

1 + in = 1 /(1-dn).

Отсюда следует, что

.

Последние формулы верны, когда временные базы К равны.

Если же начисление процентов по ставке i производится при К = 365 дн., а по ставке d при К = 360 дн., то легко доказать, что формулы эквивалентности принимают вид:

,

Пример 4.1. Вексель учтен в банке по учетной ставке 8% в день окончания срока его обращения, равного 200 дням (К = 360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (К = 365).

Р е ш е н и е. Эквивалентная ставка простых процентов, которая даст тот же финансовый результат, что и учетная ставка, составит:

.

При расчете эквивалентности ставок следует иметь в виду, что для каждого периода наращения необходимо рассчитать свою эквивалентную ставку.

Рассмотрим эквивалентность простой и сложной процентных ставок при начислении процентов один раз в год.

Приравняем коэффициенты наращения

.

Отсюда следует, что

.

Самостоятельно разобрать эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки при начислении процентов m раз в году, эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в году и простой учетной ставки, эквивалентность сложных ставок и т.д.

5.Средние процентные ставки

Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена с помощью равенства средних значений ставок.

Начнем с простой ставки. Пусть за периоды n1, n2, ..., nm начисляются простые проценты по ставкам i1, i2, ..., im на один и тот же капитал P. Тогда на основе равенства коэффициентов наращения:

,

получим искомую среднюю

,

где - общий срок наращения.

Найденная характеристика представляет собой арифметическую среднюю взвешенную. Аналогичным способом получим среднюю учетную ставку

.

Рассмотрим сложные ставки. Из равенства коэффициентов наращения

следует

.

В этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

Пример 5.1. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка 8%, для следующих трех лет она составляет 10%. Найдите среднюю ставку за весь срок ссуды.

Р е ш е н и е. Средняя ставка за пять лет ссуды составит:

.

Рассмотрим случай, когда одновременно идет несколько однородных операций с разными ставками it и разными начальными суммами Pt , все суммы выданы на один и тот же срок n под простые проценты. Под какую ставку надо поместить чтобы получить тот же результат?

Составим уравнение эквивалентности:

откуда

.

Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, в качестве весов берутся размеры ссуд.

Если проценты сложные, то уравнение эквивалентности будет выглядеть так:

,

отсюда средняя ставка сложных процентов

.

Пример 5.2. Выданы две ссуды P1 = 1 тыс. руб., P2 = 2 тыс. руб. Первая выдана под 10% годовых, вторая - под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны 2 годам.

Р е ш е н и е. Найдем среднюю процентную ставку, если ставки простые:

.

Средняя процентная ставка для сложных ставок

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]