- •Тема 1 Основы теории множеств и комбинаторики. К практическим занятиям 1, 2 «Операции над множествами»
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 3 «Декартово произведение множеств. Отображения множеств»
- •Самостоятельная работа.
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 4 «Основы комбинаторики»
- •Самостоятельная работа.
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 5 «Мощность множеств»
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 6 «Отношения на множестве»
- •Самостоятельная работа.
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 7 Итоговое повторение раздела 1. Контрольная работа № 1.
- •Основные вопросы.
- •Контрольная работа.
- •Тема 2. Основы теории графов к практическому занятию 8. «Основные понятия теории графов».
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 9. «Поиск путей в графе».
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 10. «Эйлерова цепь (цикл). Формула Эйлера. Плоские и планарные графы»
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 11 Итоговое повторение раздела 2. Контрольная работа № 2.
- •Основные вопросы.
- •Контрольная работа.
- •Тема 3. Приложения теории графов
- •К практическому занятию 12.
- •«Матрицы смежности и инциндентности.
- •Код Харари».
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •К практическому занятию 13. «Понятия «дерева» и «ордерева».Деревья и списки. Код Шеннона-Фано».
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •Нарисовать все деревья и ордеревья с 5-ю вершинами.
- •К практическому занятию 14. «Префиксный код. Код Прюфера Обход бинарного ордерева.»
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •Необходимые определения и формулировки теорем.
- •Задачи для усвоения материала.
- •Основные вопросы.
- •Контрольная работа.
- •К практическому занятию 17 Итоговое повторение материала семестра. Анализ наиболее типичных ошибок контрольных работ 1, 2, 3.
- •Анализ контрольной работы.
- •Основные вопросы.
-
Необходимые определения и формулировки теорем.
-
Что изучает комбинаторика?
-
Сформулируйте правило произведения.
-
Что такое перестановки?
-
Что Вы знаете о числе перестановок?
-
Что такое сочетания?
-
Что Вы знаете о числе сочетаний?
-
Что такое размещения?
-
Что Вы знаете о числе размещений?
-
Что такое перестановки с повторениями?
-
Что Вы знаете о числе перестановок с повторениями?
-
Задачи для усвоения материала.
а) Правило произведения.
1. Дама имеет 8 платьев, 5 пар туфель и 7 шляпок, причем она считает, что всё это сочетается одно с другим. Сколькими способами дама может одеться?
2. Известно, что в троичной системе только три цифры: 0,1,2.
Сколько всего существует четырехзначных троичных чисел?
3. Мобильный номер Билайн – это десятизначное число, начинающееся с девятки, а вторая цифра 0 или 6. Сколько всего существует мобильных номеров Билайн? Хватит ли их для всего населения России?
б) Перестановки.
4. Мама приготовила на обед салат, суп, второе и компот. Капризная дочь любит менять порядок этих блюд. Сколькими способами дочь может пообедать, если все блюда она обязана съесть? А если она может съесть лишь часть блюд?
5. Требуется составить пятибуквенное слово русского языка из букв
А,Д,К,С,О. Студент перебирает всевозможные варианты (ОКАДС, АКОДС
и т.д). Сколько всего вариантов ему предстоит перебрать?
в) Размещения.
6. В финальном заплыве стартуют 8 пловцов, им приготовлены золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколько вариантов распределения медалей теоретически существует?
7. Вася помнит, что номер домашнего телефона у Маши шестизначный, начинается он на 56, и что все шесть цифр различны. Сколько телефонных звонков надо сделать Васе, чтобы гарантированно найти Машу?
г) Сочетания
8. Турист решил взять из своей библиотеки (в которой 30 книг) три книги с собой в отпуск. Сколькими способами он может это сделать? А если он решил взять не более трех книг?
9. У Тани 8 подруг, но на свадьбу она может пригласить только трех из них из-за недостатка мест. Сколькими способами Таня может это сделать? А сколько станет способов, если подруги Юля и Аня несовместимы в любой компании?
10. Тираж лотереи Спортлото 5 из 36 состоит в случайном выборе пяти номеров из 1,2,…,36. Сколько различных итогов тиража может быть?
Во сколько раз больше исходов в лотерее Спортлото 6 из 49, чем в 5 из 36?
11. В студенческой группе 10 юношей и 8 девушек. Требуется отобрать команду на спартакиаду по шахматам, в которой должно быть 3 юношей и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
д) Перестановки с повторениями.
12. У ребенка имеются таблички с цифрами 2,2,3,3,3,3,7,7,7. Он пытается сложить из них 9-значное число. Сколькими способами он может это сделать?
13. Во время длинных новогодних праздников Сережа дважды посмотрел фильм «Ирония судьбы», трижды «Терминатор» и один раз «Матрицу», но уже не помнит, в каком порядке это было. Сколько существует вариантов распределения фильмов по порядку?
е) Разные задачи повышенной трудности
14. а) Число 10 разбивают на сумму трех натуральных чисел, например, 3+3+4 или 5+2+3. Сколькими способами это можно сделать (перестановка слагаемых считается как разные способы, т.е. 3+3+4 и 3+4+3 мы различаем)?
б) То же, но слагаемые могут быть и нулевые: 6+0+4 (по-прежнему мы отличаем это от 4+6+0).
15. Какова мощность множества всех пятизначных чисел, у которых НЕ все цифры различны?
16. В городе М существуют всевозможные семизначные телефонные номера (начинающиеся с 1,2,3,...,9). Номер называется счастливым, если в нем содержатся три (но не четыре!) семерки подряд, например, 1777277.
Сколько всего существует счастливых номеров?
17. Мобильный телефонный номер (МТН) – это любое семизначное число (не может начинаться с нуля!), например, 8076917 (код оператора связи мы не включаем сюда). МТН мы назовём золотым, если в нем употребляется не более двух различных цифр (например 8878787). Какова мощность множества всех золотых МТН?
18. Автобусный билет – это число a1 a2 a3 a4 a5 a6 , где все цифры ak от 0 до 9. Билет называется строго возрастающим, если a1 <a2< a3< a4< a5< a6 . Какова мощность множества всех строго возрастающих билетов?