II. Трещины

О МЕХАНИКЕ ТРЕЩИН. Как известно из сопротивления мате­риалов, в зависимости от механических свойств металлов и усло­вий их обработки давлением разрушению тела могут предшество­вать значительные пластические деформации (вязкое, или пласти­ческое разрушение) или же разрушение может быть малодефор­мационным — хрупким. Важную роль в механизме разрушения играют различные дефекты структуры — микропоры, микротре­щины, резко снижающие уровень прочности материала.

Критерий начала распространения трещины, составляющей основу механики трещин, не следует непосред­ственно из уравнений равновесия и движения сплошной среды, а представляет собой дополнительное краевое условие при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. В рассмотрен­ной выше задаче Гриффитc предполагал, что величина П есть поверхностная энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что и для жидкости. Однако исследования Орована и Ирвина показали, что затраты энергии на создание новых поверх­ностей при развитии трещины связаны главным образом с работой пластической деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины. Для большинства реальных материалов в малой области конца разреза из-за больших напряжений возни­кает область пластического течения, в которой распределение напряжений и смещений отлично от упругого. В современной теории трещин этому вопросу уделяется большое внимание.

III. Накопление повреждений

«СПЛОШНОСТЬ» И «ПОВРЕЖДЕННОСТЬ». Несмотря на большие успехи, достигнутые механикой трещин, практическое применение ее результатов существенно затрудняется случайным характером распределения микродефектов в реальных материалах, влиянием пластических зон в концевой зоне трещины. Анализ экспериментальных данных свидетельствует о большом разбросе при испытаниях «одинаковых» образцов. Это оправдывает примене­ние упрощенного, феноменологического подхода к проблеме раз­рушения. Примером такого подхода может служить теория на­копления повреждений. В этой теории рассматриваются процессы разрушения различной природы. К ним относятся, в частности, внезапные квазихрупкие разрушения элементов конструкций, испытывающих ползучесть, при сравнительно малых деформациях (порядка 1% и менее) после длительного периода нормальной работы. Теория накопления повреждений используется также при описании усталостных разрушений, вызванных действием пере­менных нагрузок, разрушений, возникающих при развитой пла­стической деформации в процессах обработки металлов давлением.

Для описания развития разрушения во времени в механике раз­рушения предлагается использовать некоторую скалярную функ­цию ψ, изменяющуюся в пределах от нуля до единицы — так называемую сплошность тела. В начальном состоянии, при отсутствии поврежденности ψ =1; с течением времени функция ψ убывает. При ψ = 0 происходит разрушение. Ю. Н. Работнов ввел функ­цию = 1 - ψ поврежденность, равную нулю в начальном состоя­нии и единице в момент разрушения Эту функцию также использо­вал В. Л. Колмогоров, назвав ее степенью использования ресурса пластичности при анализе условий разрушения в процессах обработки металлов давлением.

В теории накопления повреждений для функций ψ или из физических соображений составляется кинетическое уравнение вида

(1)

связывающее скорость изменения сплошности или поврежденности с основными параметрами процесса. Решение этого уравнения поз­воляет найти область, в которой ψ = 0 ( = 1), и тем самым опи­сать распространение по телу фронта разрушения.

Более общим является подход А. А. Ильюшина, который пред­ложил описывать процесс накопления повреждений с помощью тензора повреждений — в простейшем случае симметричного тензора второй валентности, компоненты которого определяются кинетическими уравнениями типа (1) и связаны с процессом нагружения (деформации) материальной частицы.

ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОГО СУММИРОВАНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ. Откажемся теперь от условия постоянства напря­жения σ = const, принятого в рассмотрен­ной выше задаче, и исследуем разруше­ние стержня в условиях переменного во времени растягивающего напряжения σ(r). Пусть нагрузка изменяется ступенчато.

В течение промежутка времени действует постоянное напряжение σ_к, при этом из формулы (1) следует, что

(2) (1.17)

где^-1 — время разрушения при постоян­ном напряжении σ_k.

Преобразуем функцию следующим образом:.

Легко видеть, что в начальный момент = = 0, в момент разрушения * = = 1, т. е. функция * также характеризует уровень поврежденности.

Уравнение (2) запишется в виде

(3) (1.18)

Суммируя соотношения (2) по k, получаем условие разрушения в виде

Устремляя интервалы к нулю, а число их — к бесконеч­ности, запишем условие разрушения в виде интеграла Бейли: (4) (1.19)

Эта формула, полученная для степенной зависимости (1.15), следует непосредственно из принципа линейного суммирования напряжений. Согласно последнему, для произвольного t прираще­ние поврежденности определяется выражением (1.18), т. е. равно отношению приращения времени к времени разрушения t_p (σ_k) при растяжении стержня постоянным напряжением, рав­ным σ_k.

Запишем эту формулу в дифференциальном виде: (5)

и просуммируем по времени при переменном напряжении σ (t). В результате получаем

. (6)

Условие разрушения ( = 1) приводит к уравнению (4).

РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛА ПРИ ОБРАБОТКЕ ДАВЛЕНИЕМ. Очевидно, феноменологический подход, использующий понятие накопления повреждений, может быть принят и при ана­лизе разрушения в процессах обработки металлов давлением. В этом случае скалярная функция характеризует поврежденность материального элемента объема dW, достаточно малого, чтобы в его пределах напряженное и деформированное состояния, равно как и температурное поле, можно было считать однородным.

Рассмотрим движение элемента dW вдоль некоторой траекто­рии как функцию переменной . Роль такой переменной может играть время t или накопленная при движении степень деформации сдвига. Пусть состояние элемента характеризуется конечным числом параметров. В качестве последних можно взять температуру, инварианты тензора напряжений или некоторые функции от них. Наиболее часто используются параметры — коэффициент жесткости напряженного состояния и— параметр Лоде, связанный с углом вида напряженного состояния формулой.

Используя принцип линейного суммирования повреждений, запишем кинетическое уравнение для поврежденности в виде

Здесь значение параметра , соответствующее разруше­нию элемента dW при постоянных значениях

Интегрируя, получаем (7)

причем условие разрушения имеет вид

(8)

ДИАГРАММА ПЛАСТИЧНОСТИ. Опыты, проведенные рядом ученых по растяжению, сжатию и кручению цилиндрических образцов, в том числе в условиях всестороннего сжатия гидроста­тическим давлением, свидетельствуют о том, что при заданной температуре и скорости деформации в условиях монотонной де­формации имеется близкая к однозначной зависимость между пластичностью металла, характеризуемой предельной степенью деформации сдвига _р, соответствующей моменту разрушения, и коэффициентом жесткости напряженного состояния k = ₀/Т. Эту зависимость можно представить в виде диаграммы пластич­ности (рис. 1, а, б, в). Из анализа диаграммы следует, что пла­стичность наиболее высока в условиях всестороннего гидростати­ческого сжатия и резко падает с ростом коэффициента k.

Рис.1.Диаграммы пластичности:

а - сталь 20; б,в – титановые сплавы ВТ14 и ВТ1

УСЛОВИЕ РАЗРУШЕНИЯ В. Л. КОЛМОГОРОВА. Впервые теорию накопления повреждений при анализе разрушения метал­лов в условиях немонотонной деформации применил В. Л. Колмо­горов. Приняв в качестве параметра . степень деформации сдвига и ограничившись одним параметром, В. Л. Кол­могоров записал кинетическое уравнение для поврежденности в виде

Поскольку , где Н — интенсивность скоростей дефор­мации сдвига, получаем

(9)

Условие разрушения запишется в виде

(10)

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ. Металлические материалы, при первоначальном рассмотрении представляющиеся однородными, всегда содержат случайно распределенные дефекты различного происхождения и самых различных размеров. Это приводит к неизбежному разбросу в эксперимен­тальных данных как при построении диаграммы пластичности, так и при исследовании разрушения металла в процессах обработки металлов давлением. Отсюда вытекает необходимость построения вероятностной модели разрушения. Следует отметить, что эта проблема связана с большими трудностями и до сих пор далека от решения. Остановимся в связи с этим лишь на основных понятиях вероятностного подхода.

Рассмотрим испытания на пластичность, проводимые при фик­сированной температуре , скорости деформации Н, показателе напряженного состояния k. Пусть в данном эксперименте образец разрушился при степени деформации сдвига. В общем случае — случайная величина с законом распределения, где P— вероятность. Таким образом, функция Q () есть вероятность разрушения образца до деформации. Будем предполагать, что функция Q () непрерывна и существует непрерывная плотность вероятности разрушения q () = Q' ().

Наряду с функцией Q () будем употреблять и другую функцию R () = 1 — Q () = P{} — функцию надеж­ности.

Рассмотрим некоторые числовые величины, характеризующие функции Q и R. Важнейшей из них является математическое ожидание пластичности M, совпадающее с пластичностью металла при детерминированном подходе к проблеме разруше­ния.

При вероятностном подходе

Другой важной характеристикой распределения вероятности разрушения является дисперсия пластичности: