Вычисление среднего и дисперсии.

Вычисление среднего и дисперсии. Введя значение n из диапазона (0<n<=100) и значения n первых элементов массива х[0], х[1],...,х[n-1], вычислить среднее и оценку дисперсии значений введенных элементов массива. Задачу решает следующая программа:

В программе определен (строка 6) массив х со 100 элементами, хотя в каждом конкретном случае используются только первые n из них. Ввод значения n сопровождается проверкой допустимости вводимого значения (строки 713). В качестве условия после while записано заведомо истинное выражение 1, поэтому выход из цикла (оператор break) возможен только при вводе правильного значения n, удовлетворяющего неравенству 0<n<101. Следующий цикл (строки 1520) обеспечивает ввод n элементов массива и получение их суммы (b). Затем в цикле (строки 2226) вычисляется сумма d квадратов отклонений элементов от среднего значения. Возможен следующий результат работы программы:

Вложенные циклы. В теле цикла разрешены любые исполнимые операторы, в том числе и циклы, т.е. можно конструировать вложенные циклы. В математике вложенным циклам соответствуют, например, кратные суммы или произведения.

В качестве примера рассмотрим фрагмент программы для получения суммы такого вида:

Введем следующие обозначения: а - двумерный массив, содержащий значения элементов матрицы; р - произведение элементов строки матрицы; с - сумма их значений; s - искомая сумма (результат). Опустив определения переменных и операторы ввода-вывода, запишем текст на языке Си:

При работе с вложенными циклами следует обратить внимание на правила выполнения операторов break и continue. Каждый из них действует только в том операторе, в теле которого он непосредственно использован. Оператор break прекращает выполнение ближайшего внешнего для него оператора цикла. Оператор continue передает управление на ближайшую внешнюю проверку условия продолжения цикла.

Для иллюстрации рассмотрим фрагмент другой программы для вычисления суммы произведений элементов строк той же матрицы:

.

Внутренний цикл по i прерывается, если (строка 6) обнаруживается нулевой элемент матрицы. В этом случае произведение элементов столбца заведомо равно нулю, и его не нужно вычислять. Во внешнем цикле (строка 9) проверяется значение i. Если i<5, т.е. элемент a[j][i] оказался нулевым, то оператор continue передает управление на ближайший оператор цикла (строка 4), и, таким образом, не происходит увеличение s (строка 10) на величину "недосчитанного" значения р. Если внутренний цикл завершен естественно, то i равно 5, и оператор continue не может выполняться.

Упорядочение в одномерных массивах.

Упорядочение в одномерных массивах. Задаче упорядочения или сортировке посвящены многочисленные работы математиков и программистов. Для демонстрации некоторых особенностей вложения циклов и работы с массивами рассмотрим простейшие алгоритмы сортировки. Необходимо, введя значение переменной 1<n<=100 и значения n первых элементов массива а[0],а[1 ],...,а[n-1], упорядочить эти первые элементы массива по возрастанию их значений. Текст первого варианта программы:

Результаты выполнения программы:

Обратите внимание, что при заполнении массива и при печати результатов его упорядочения индексация элементов выполнена от 1 до n, как это обычно принято в математике. В программе на Си это соответствует изменению индекса от 0 до (n-1).

В программе реализован алгоритм прямого упорядочения - каждый элемент a[i], начиная с а[0] и кончая а[n-2], сравнивается со всеми последующими, и на место a[i] выбирается минимальный. Таким образом, а[0] принимает минимальное значение, а[l] - минимальное из оставшихся и т.д. Недостаток этого алгоритма состоит в том, что в нем фиксированное число сравнений, не зависимое от исходного расположения значений элементов. Даже для уже упорядоченного массива придется выполнить то же самое количество итераций (n-1)*n/2, так как условия окончания циклов не связаны со свойствами, т.е. с размещением элементов массива.

Алгоритм попарного сравнения соседних элементов позволяет в ряде случаев уменьшить количество итераций при упорядочении. В цикле от 0 до n-2 каждый элемент a[i] массива сравнивается с последующим a[i+l] (0<i<n-l). Если a[i]>a[i+l], то значения этих элементов меняются местами. Упорядочение заканчивается, если оказалось, что a[i] не больше a[i+l] для всех i. Пусть k - количество перестановок при очередном просмотре. Тогда упорядочение можно осуществить с помощью такой последовательности операторов:

Здесь количество повторений внешнего цикла зависит от исходного расположения значений элементов массива. После первого завершения внутреннего цикла элемент а[n-1] становится максимальным. После второго окончания внутреннего цикла на место а[n-2] выбирается максимальный из оставшихся элементов и т.д. Таким образом, после j-гo выполнения внутреннего цикла элементы a[n-j],...,a[n-l] уже упорядочены, и следующий внутренний цикл достаточно выполнить только для 0<i<(n-j-l). Именно поэтому после каждого окончания внутреннего цикла значение n уменьшается на 1.

В случае упорядоченности исходного массива внешний цикл повторяется только один раз, при этом выполняется (п-1) сравнений, k остается равным 0. Для случая, когда исходный массив упорядочен по убыванию, количество итераций внешнего цикла равно (n-1), а внутренний цикл последовательно выполняется (n-1)*n/2 раз.

Имеется возможность улучшить и данный вариант алгоритма упорядочения (см., например, Кнут Д. "Искусство программирования. Т3. Сортировка и поиск". М.: Мир, 1980), однако рассмотренных примеров вполне достаточно для знакомства с особенностями применения массивов и индексированных переменных.