1.2. Тепловое излучение

Тепловое излучение - это электромагнитное излучение тела, возникающее за счет убыли внутренне энергии этого тела.

Основными характеристиками теплового излучения являются: энергетическая светимость (интегральная энергетическая светимость); испускательная способность (спектральная плотность энергетической светимости) и поглощательная способность (спектральная поглощательная способность).

Поглащательная способность () характеризует способность тела поглощать падающее на него электромагнитное излучение:

, (1.9)

где - энергия, приносимая на поверхность тела электромагнитным излучением в диапазоне длин волн от  до +d; - энергия электромагнитного излучения, поглощенная телом. Тело, у которого  = 1 во всем диапазоне длин волн, называется абсолютно черным.

Энергетическая светимость (R) - энергия теплового излучения, испускаемого с единицы площади поверхности тела за единицу времени во всех направлениях (в пределах телесного угла 2π) и во всем диапазоне длин волн.

Величина энергетической светимости абсолютно черного тела определяется законом Стефана-Больцмана:

R = Т⁴, (1.10)

где  - постоянная Стефана-Больцмана; Т - абсолютная температура тела.

Испускательная способность характеризует распределение энергии теплового излучения по длинам волн.

Для абсолютно черного тела зависимость испускательной способности от длины волны излучения и температуры тела описывается формулой Планка:

(1.11)

График зависимости испускательной способности от длины волны показан на рисунке 2.

Рис. 2

n = 5

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

Длину волны излучения, при которой испускательная способность максимальна, обозначают _max. Зависимость _max от температуры тела описывается законом смещения Вина:

Т_max = b, (1.12)

где b - постоянная.

Пример 2. Вычислить энергию, излучаемую за 1 мин. с 1 см² абсолютно черного тела, если максимум его испускательной способности приходится на длину волны 0,8 мин.

Искомую энергию теплового излучения находят по формуле:

W = RS t, (1.13)

где R - энергетическая светимость; S - площадь тела; t - время излучения.

Согласно закона Стефана-Больцмана (1.10): R = Т⁴.

Температуру находят с помощью закона смещения Вина (1.12)

Т_max = b.

Следовательно:

.

Используя формулы (1.10) и (1.13) получают: W = T⁴St, и проводят вычисления:

1.3. Упругое рассеяние фотонов на свободных электронах (эффект Комптона)

Эффект Комптона - рассеяние электромагнитной волны на свободном электроне, сопровождающееся уменьшением ее частоты (увеличением длины волны). Эффект Комптона - результат упругого столкновения фотона со свободным электроном. В процессе этого столкновения фотон передает электрону часть своих импульса и энергии в соответствии с законами их сохранения. В результате энергия фотона уменьшается, а длина волны соответственно увеличивается. Электрон, который приобрел кинетическую энергию в результате эффекта Комптона, называют электроном отдачи. Направления движения исходного и рассеянного фотонов и электрона отдачи определяет закон сохранения импульса (рис.3):

, (1.14)

где - импульс исходного фотона, - импульс рассеянного фотона, - импульс электрона отдачи (рис.3).

Изменение длины волны фотона описывается формулой:

, (1.15)

где  и λ΄ - длина волны электромагнитного излучения до и после рассеяния соответственно; m - масса покоя электрона;  - угол рассеяния.

P^΄_f

Рис.3

Рис. 2

n = 5

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

Кинетическая энергия электрона отдачи в соответствии с законом сохранения энергии равно разности энергий фотона до и после рассеяния:

, (1.16)

где  и ‘ - частота фотона до и после рассеяния.

Пример 3. Фотон с энергией 100 кэВ рассеялся на свободном электроне на угол  = 60⁰. Найти кинетическую энергию электрона отдачи и направление его движения.

Используя закон сохранения импульса:

,

необходимо построить схему рассеяния фотона на электроне, отражающую условие задачи (Рис.4):

Рис.4

На схеме показаны угол рассеяния  и угол  между направлением распространения фотона до рассеяния и направлением движения электрона отдачи, который необходимо найти.

Кинетическая энергия электрона отдачи равна разности энергий до и после рассеяния:

E_e = E_f - E_f’

Энергия фотона до рассеяния дана E_f = 100 кэВ, а энергию фотона после рассеяния следует найти, используя связь между энергией фотона и длиной волны излучения:

E_f’ = hc/‘.

Согласно формулы (1.15):

следовательно:

Подставив это выражение в формулу для E_f’, получают:

.

Для того, чтобы ввести в эту формулу значение энергии E_f, необходимо разделить числитель и знаменатель на h · c:

Отношение:

,

следовательно:

.

Кинетическая энергия электрона отдачи: .

E₀ = m₀ c² – энергия покоя электрона; Е₀ = 9,11·10^-31 кг · 9 · 10¹⁶ м²/с² =

= 8,199 ·10^-14 Дж = 0,512 МэВ = 512 кэВ, так как 1эВ = 1,6·10^-19 Дж.

В формулу (1.17) входит отношение энергий m₀c²/E_f. Поэтому в данном случае энергию фотона Е_f и энергию покоя электрона можно не переводить в джоули, а оставить в кэВ:

Угол  можно найти следующим образом. Из формулы закона сохранения импульса (1.14) следует, что

Если возвести в квадрат это уравнение, получают:

.

Скалярное произведение

.

Следовательно,

(1.18)

Импульс фотона равен (1.2):

.

Используя связь между энергией фотона и длиной волны, получают:

.

Найденное значение энергии электрона отдачи (Е_е = 8,9 кэВ). Много меньше энергии покоя электрона (Е₀ = 512 кэВ), поэтому можно использовать классическое выражение для кинетической энергии:

,

из которого получают: Р_е² = 2mЕ_е и .

Подставив полученные выражения в формулу (1.18), получают:

.

Разность квадратов энергий E_f и E_f^' можно представить:

E_f² - E_f^'2 = (E_f – E_f^') (E_f + E_f^') = E_e (2E_f – E_e).

С учетом этого уравнение (1.18) принимает вид:

В полученное уравнение следует подставить численные значения и выполнить расчет:

arccos 0,566 = 5531'