Уравнение Шредингера
Вступление
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Частица в потенциальной яме
Туннельный эффект
Линейный гармонический осциллятор
Заключение
|
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА |
|||
i |
|
2 |
U(x, y, z) |
|
2m |
||||
|
t |
|
||
Если U x , y,z f t |
|
x, y,z ,t t x, y,z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i t |
2m U |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
U |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t e |
iE |
|
||||||||
i |
1 |
E |
|
|
|
t |
|
|||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
2 U E
2m
2m E U(x, y, z) 02
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
U x , y,z - потенциальная энергия частицы в силовом поле
x , y,z ,t e |
|
iE t |
x , y,z |
|
|
Особенности решений уравнения Шредингера
Уравнение имеет решения при дискретных значениях полной энергии E
E1 , E2 , En |
- собственные значения |
1 , 2 , n |
- собственные функции |
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
|
2 |
|
m ,U x , y,z |
|
i t |
2m U(x, y, z) |
|||
|
||||
x , y,z |
t |
|
|
2 |
плотность вероятности |
|
|
||||
x , |
px |
- средние значения координат и проекций импульсов |
||
Операторы квантовой механики
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
E |
|
i |
|
E |
||||
t |
|
t |
|
||||||
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
||||
E |
i |
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
E E |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pˆ x i |
|
pˆ x px |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Определение средних значений
x
*x dx
px 
* ˆpx dx
Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной глубины
U
U 0
U |
E |
U |
I |
0 |
II |
l |
III |
x |
|
I , III 0 |
e x |
|
|
|||
II |
0 x l |
0 |
U 0 |
|
||
2 2m |
|
|
|
|
||
E |
U 0 |
|
Краевые условия: |
|
||
x2 |
2 |
|
0 0 |
|
||
|
|
|
|
|
l 0 |
|
Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной глубины
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2m |
E |
0 |
02 0 |
||||
x2 |
2 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
2 2mE
0 2
Решение уравнения:
x C1sin 0 x C2cos 0 x
x 0 : |
0 C2cos 0 0 0, |
C2 0 |
x l : |
l C2sin 0l 0, |
sin 0 x 0 |
Частица в одномерной потенциальной "яме" бесконечной глубины
|
sin 0 x 0 |
|
|
0l n |
n 1, 2, |
|
|
|||||||||||||
|
0 n |
|
|
|
|
|
02 n2 2 |
02 2m E |
|
|
||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
En |
2 2 |
n2 |
|
|
- условие квантования энергии |
|||||||||||||
|
|
|
|
2ml 2 |
|
|
|
|
|
n - главное квантовое число |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x C1sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
2 n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
2 / l |
||||||||
|
|
|
С1 |
sin |
|
|
|
|
x |
dx 1 |
|
|||||||||
|
|
l |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 / l sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
l |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 
0
2 / l
0
2
0
|
|
|
|
|
n 3 |
En |
|
2 2 |
n2 |
|
n 1, 2, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 2 |
2ml 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
pn |
|
|
n 1, 2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
x |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
n |
|
l n |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n 2 |
|
|
|
|
l |
x |
|
En |
n 1 |
2 |
n |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
En |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
x |
|
0 |
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Частица в потенциальной "яме" конечной глубины
U
U0
U 0
E
0 |
l |
x |
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 e |
2m U0 |
E |
x |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
l |
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||