- •6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •1.7. Примеры использования теоремы Остроградского–Гаусса
- •Диполь в поле
- •2.2. Поляризация диэлектриков. Типы диэлектриков
- •2.3. Количественные характеристики поляризации. Поляризованность
- •8. Связанные заряды на поверхности диэлектрика
- •9.Теорема Гаусса для диэлектриков
6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме
Основная теорема электростатики была выведена в 1829 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1830г. применил ее к расчету электростатических полей.
Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15). Назовем элементарным потоком напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности S величину
, (1.20)
где – вектор площади элемента поверхности, – вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента . Справедливы соотношения: ; . Малый элемент поверхности выбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.
. (1.21)
При вычислении (1.21) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S в дальнейшем будем считать векторы внешними нормалями, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.
.
Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м2. Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна , то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равен ср.
Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17). Выделим на этой поверхности элемент площадью , “вырезаемый” из нее телесным углом с вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент , согласно (1.20), в СИ равен
.
Тогда полный поток вектора напряженности через всю замкнутую поверхность можно найти как
. (1.22)
Кружок на значке интеграла означает, что суммирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:
где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения системы, получим
. (1.23)
Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален сумме этих зарядов.
Рассмотрим теперь точечный заряд , расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис.1.18). В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхность S на две части: и . Полный поток напряженности через всю поверхность S равен алгебраической сумме потоков через эти части:
.
Однако если для всех элементов поверхности углы между векторами и внешними нормалями тупые (при , то для всех элементов поверхности эти углы острые. Следовательно,
Поскольку поверхности и видны из точки расположения заряда Q под одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),
.
Отсюда, с учетом (1.24), получаем
. (1.25)
Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:
. (1.26)
Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определяется выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен (см. 1.2). В других системах единиц он может быть другим.