Физика 3 семестр / новая папка / Помощь к экзамену / Шпоргалки / 15-16

15. Поток магнитной индукции. Теорема о циркуляции

магнитной индукции

Назовем элементарным потоком индукции магнитного поля (магнитным потоком) через малый участок поверхности S величину

, (5.18)

где – вектор площади элемента поверхности, – вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента (рис.5.10). Справедливы соотношения: ; . Малый элемент поверхности выбирается таких размеров, чтобы его можно было считать плоским, а магнитное поле в его пределах можно было считать однородным. Магнитный поток через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

. (5.19)

При вычислении (5.19) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S в дальнейшем будем считать векторы внешними нормалями, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью. По своему физическому смыслу магнитный поток аналогичен потоку вектора напряженности электрического поля: магнитный поток через поверхность пропорционален числу линий магнитной индукции, пересекающих эту поверхность.

Единица измерения магнитного потока в СИ называется вебер (обозначение Вб в честь немецкого физика В.Э. Вебера, предложившего вместе с К.Ф. Гауссом систему единиц для электрических величин): 1 вебер – это поток однородного магнитного поля с индукцией 1 тесла через поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно линиям магнитной индукции; 1Вб = = 1 Тл1 м².

Поскольку линии магнитной индукции всегда замкнуты сами на себя, то при вычислении магнитного потока через любую замкнутую поверхность необходимо учитывать, что число линий индукции, пересекающих поверхность в одну сторону (“входящих в нее”), всегда равно числу линий индукции, пересекающих поверхность в другую сторону (“выходящих в нее”). Поэтому суммарный магнитный поток через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю:

. (5.20)

Соотношение (5.20) выражает теорему Остроградского–Гаусса для магнитного поля. Сравнение этой формулы с (1.26) показывает, что в природе нет магнитных зарядов, т.е. источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной индукции. Опыты показали, что, разрезая постоянный магнит на части, нельзя разделить его полюсы, т.е. нельзя получить магнит либо с одним северным, либо с одним южным полюсом. Для сравнения вспомним, что, разрезав проводник, помещенный в электростатическое поле, в котором произошла электростатическая индукция (см. рис. 3.1), на две части, мы получим два разноименно заряженных тела. Следовательно, в отличие от электрических зарядов, магнитных зарядов действительно не существует.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называют потокосцеплением этого контура. Например, потокосцепление рамки или катушки, состоящей из N витков, магнитные потоки через которые одинаковы и равны , будет выражаться как .

Вспомним, что для электростатического поля было получено условие его потенциальности (1.11). Рассчитаем циркуляцию индукции магнитного поля вдоль произвольного контура.

Сначала рассмотрим магнитное поле, созданное одиночным проводником с током. Линии магнитной индукции поля такого проводника представляют собой окружности, центры которых расположены на проводнике. На рис. 5.11 одна из них показана штриховой линией, а сам проводник с током перпендикулярен плоскости рисунка. Модуль магнитной индукции в каждой точке окружности радиуса r определяется по (5.12): . Направление при выбранном направлении тока в проводнике указано на рис. 5.11 в соответствии с правилом буравчика. Выберем нарисованную окружность радиуса r в качестве произвольного контура для расчета циркуляции магнитной индукции, причем направление обхода контура согласуем с направлением линии магнитной индукции по правилу правого винта. Тогда элемент окружности – вектор – совпадает в каждой точке по направлению с вектором . Тогда

,

где – угол, под которым элемент виден из центра окружности. Циркуляция по всему замкнутому контуру будет определяться так:

. (5.21)

Таким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Если в качестве замкнутого контура интегрирования выбрана не окружность, совпадающая с линией магнитной индукции, а произвольная кривая (рис. 5.12), то

.

Таким образом, все равно циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру отлична от нуля:

.

Отметим, что в случаях, изображенных на рис.5.11 и 5.12, контуры интегрирования “охватывали” проводник с током, т.е. проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L. Такой проводник (или ток) называют проводником (током), сцепленным с контуром. Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток. В этом случае (рис.5.13) весь контур L разбивается на две части и .На части контура угол между векторами и острый (), а на части контура угол между векторами и тупой (). Тогда

. (5.22)

Итак, если ток не сцеплен с контуром интегрирования, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то применим принцип суперпозиции магнитных полей. Однако необходимо учитывать согласование направления обхода контура интегрирования и направления токов. В примере, изображенном на рис. 5.14, мы получим

, , , , ,

где – магнитная индукция поля, созданного проводником с током силой . Тогда

. (5.23)

Объединяя все выводы (5.21)–(5.23) в один, можно сформулировать общее правило: циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром, причем направление обхода контура и направление тока связаны правилом буравчика. Этот вывод называется теоремой о циркуляции магнитной индукции:

. (5.24)

Еще раз подчеркнем, что, поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные “магнитные заряды”, создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Очень часто теорему о циркуляции магнитной индукции называют законом полного тока, поскольку в правой части выражения (5.24) записана алгебраическая сумма токов (полный ток), сцепленных с контуром L. Рассмотрим применение закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Оно особенно удобно для расчета магнитных полей симметричных систем токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля вдоль него легко выражается через искомое значение модуля вектора . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1. Исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве необходимо построить линии магнитной индукции поля, т.е. определить направление вектора в любой точке пространства.

2. Выбрать “удобный” замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

а) он должен проходить через исследуемую точку;

б) длина контура должна быть известна;

в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

г) угол между и касательной к контуру должен быть известен в любой точке контура (это обеспечивается выполнением п. 1).

3. Определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру. Если выполнено условие п.2в, то

,

где – постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контура .

4. Определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром L.

5. Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в пп.3 и 4 с учетом коэффициента пропорциональности.

Пример. Определим магнитную индукцию поля бесконечно длинного соленоида. Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими друг к другу витками (рис.5.15), причем длина катушки существенно больше ее диаметра. В этом случае суперпозиция полей каждого витка (см. рис. 5.8) приводит к образованию внутри соленоида однородного магнитного поля, кривизной линий индукции которого вблизи центра соленоида можно пренебречь. Линии магнитной индукции такого поля параллельны друг другу, а модуль индукции одинаков во всех точках вблизи центра соленоида. Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, направление обхода которого указано на рис. 5.16. Короткая сторона контура параллельна оси системы, длина ее равна . Длинная сторона контура имеет длину . Поскольку соленоид бесконечно длинный, линии магнитной индукции вне соленоида, замыкаясь сами на себя, остаются параллельными его оси, а поэтому циркуляция вдоль боковых сторон контура L равна нулю:

.

Если , то модуль магнитной индукции в точках дальней от соленоида стороны контура стремится к нулю, поэтому

. (5.25)

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L, определится числом витков соленоида, расположенных на длине отрезка :

. (5.26)

Применим закон полного тока, приравняв выражения (5.25) и (5.26) с учетом коэффициента:

.

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида (на его оси) выражается так:

. (5.27)

Модуль на краю бесконечно длинного соленоида (на его оси) можно найти следующим образом. Поскольку любой бесконечно длинный соленоид можно представить в виде последовательно соединенных двух бесконечно длинных соленоидов (рис. 5.17), то , где . Тогда

. (5.28)

16. Движение зарядов в магнитном и электрическом полях.

Эффект Холла

Экспериментально обнаружен факт, что магнитное поле действует на движущиеся в нем частицы, имеющие электрические заряд (см. п.5.1). В соответствии с (5.1), магнитная индукция численно равна максимальной силе, действующей со стороны магнитного поля на заряженную частицу, движущуюся в поле с единичной скоростью, отнесенной к величине заряда частицы. Если заряженная частица влетает в магнитное поле со скоростью (рис.5.18), то действующая со стороны поля сила оказывается перпендикулярной и скорости частицы, и магнитной индукции. Направление вектора таково, что выполняется соотношение

(5.29)

Таким образом, при и при . Оба этих случая изображены на рис. 5.18. Поскольку сила, действующая на частицу, перпендикулярна ее скорости, то ускорение, сообщаемое этой силой, тоже перпендикулярно скорости частицы, т.е. оно является нормальным ускорением. Следовательно, прямолинейная траектория полета частицы будет искривляться при ее попадании в магнитное поле.

Так как , то при , т.е. магнитное поле не действует на электрически заряженную частицу, влетающую в поле вдоль линий магнитной индукции.

Если же частица влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то из (5.29) следует, что . Тогда можно записать второй закон Ньютона:

, или ,

где m – масса частицы, а R – радиус кривизны траектории. Получаем, что в однородном поле () частица будет двигаться по окружности радиуса

. (5.30)

Период обращения частицы по этой окружности не зависит от скорости частицы. Действительно,

.

Следует отметить, что при любом попадании частицы в магнитное поле, частица не будет менять свою кинетическую энергию. Т.к. , то сила перпендикулярна перемещению частицы в любой точке траектории, а, следовательно, сила со стороны магнитного поля не совершает работы по перемещению свободно двигающейся частицы.

Направление силы , согласно (5.29), можно определить по правилу “левой руки”: если расположить ладонь левой руки так, чтобы четыре пальца показывали направление скорости частицы, а линии магнитной индукции входили в раскрытую ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на положительно заряженную частицу. Если заряд частицы отрицателен, то направление силы будет противоположным.

Если же заряженная частица попадает в область совместного действия электрического и магнитного полей, то, в соответствии с (1.5) и (5.29), на нее действует сила

. (5.31)

Сила, определяемая соотношением (5.31), называется силой Лоренца (в честь голландского физика Х.-А. Лоренца, получившего в 1902 г. Нобелевскую премию за описание поведения заряженных частиц в электромагнитном поле). Первое слагаемое (5.31) определяет электрическую компоненту силы Лоренца, а второе – магнитную.

Рассмотрим некоторые примеры практического использования воздействия магнитного и электрического полей на заряженные частицы. На рис. 5.19 показана схема работы селектора частиц, т.е. устройства, разделяющего пучок частиц по их скоростям или энергиям. В таком устройстве существует область, в которой созданы однородные электрическое и магнитное поля. Векторы напряженности и индукции этих полей взаимно перпендикулярны. На рисунке вектор магнитной индукции направлен “на нас”, а вектор напряженности электрического поля вправо. Пусть в селектор влетает пучок одинаковых положительно заряженных частиц, имеющих разные скорости. Тогда, если частицы движутся так, что и , то электрическая и магнитная компоненты силы Лоренца направлены в противоположные стороны. При определенном значении модуля скорости эти компоненты равны:

, т.е. .

Это означает, что все частицы пучка, модули скоростей которых равны , пролетят селектор, в соответствии с первым законом Ньютона, не отклоняясь от своего первоначального направления. Частицы пучка, модули скоростей которых больше, чем , отклонятся влево. Для них , т.е. магнитная компонента силы Лоренца превосходит электрическую. Остальные частицы отклонятся вправо, т.к. для них . Таким образом, на выходе из селектора будет получен моноэнергетический пучок частиц, т.е. пучок частиц, обладающих одинаковой кинетической энергией.

Если пучок образован частицами разных масс, то дальнейшее воздействие магнитного поля на него способно разделить частицы по массе. На этом основано действие масс-спектрометра (рис.5.20). Пусть пучок частиц, прошедших селектор, попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна скорости частиц. Тогда частицы пучка, масса которых равна , будут, согласно (5.30), в дальнейшем двигаться по окружности радиусом . Соответственно, чем больше удельный заряд частицы (отношение ее заряда к массе), тем меньше радиус траектории ее движения. Экспериментально выяснено, что в природе нет различных элементарных частиц с одинаковым удельным зарядом. Таким образом, масс-спектрометр позволяет установить состав исследуемого пучка частиц.

Воздействие магнитного поля на пучки движущихся частиц приводит иногда к неожиданным экспериментальным результатам. В 1879 г. американский физик Э.Г. Холл обнаружил эффект, названный впоследствии его именем. Эффект Холла заключается в возникновении в проводнике с током, помещен-ном в магнитное поле, разности потенциалов в направлении, перпендикулярном плотности тока и магнитной индукции.

Р ассмотрим фрагмент плоского металлического проводника толщиной b, в котором электрическим полем с напряженностью создан электрический ток плотностью (рис. 5.21, а). В отсутствие магнитного поля свободные электроны металла упорядоченно движутся со скоростью , направленной противоположно вектору . Если проводник поместить в магнитное поле так, что , то на электроны будет действовать магнитная компонента силы Лоренца , направление которой показано на рисунке. Ее действие приведет к поперечному смещению электронов, в результате чего между верхней и нижней поверхностями проводника появится электрическое поле разделенных зарядов. Если проводник достаточно тонкий, то напряженность этого поля можно считать постоянной. Процесс смещения электронов прекратится, когда скомпенсируются силы, действующие на них со стороны магнитного и электрического полей: . В проводнике установится суммарное электрическое поле с напряженностью (рис.5.21, б). Изменение направления суммарного электрического поля в проводнике приведет к изменению положения эквипотенциальных плоскостей, т.к. они должны быть перпендикулярны . Раньше такая плоскость проходила через точки M и N проводника (рис.5.21, в). Теперь она пройдет через точки и N. Поэтому между точками M и N возникнет разность потенциалов. Для однородного электрического поля будет справедливо (см.(1.19)) соотношение . Поскольку , где п – концентрация свободных электронов в металле, то

.

Полученное выражение называется “холловской разностью потенциалов”, ее экспериментальное измерение при заданных размерах проводника и силе тока в нем позволяет определить магнитную индукцию поля, в которое помещен холловский датчик. Это – один из основных методов измерения магнитной индукции постоянных магнитных полей.