Добавил:

678080Aspire Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Trofimova_Zad_reschenia

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.09.2018

Размер:

7.41 Mб

Скачать

☆

<< < 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Следующая > < Предыдущая Стр 18 из 62 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > >>

Сравнивая выражения (2) и (4), видим, что количество подведенной к газу теплоты больше в случае изобарного процесса.

Отношение

		Q2	i 2
			.
		Q1	.
		Q1	2
Ответ:	Q2	4.
Ответ:	Q1	4.
	Q1

2.62. Азот массой m 56 г, находящийся при нормальных условиях, расширя ется адиабатно, причем объем газа увеличивается в два раза. Определите: 1) из менение внутренней энергии U газа; 2) работу расширения A газа.

Дано: M	·	кг/моль; m 56 г ( ·	кг); T 273 К; V2 2V1.
Найти: 1)	U; 2) A.

Решение. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния

1 в состояние 2
		U m CV (T2 T1),	(1)
		M
где CV	i	R — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; M — моляр
где CV	2
	2

ная масса газа; T1 и T2 — соответственно температуры, соответствующие началь ному (1) и конечному (2) состояниям газа; i — число степеней свободы (для двух атомного газа (азота) i 5).

Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона)

T1V1 T2V2 , (2)

где показатель адиабаты	Cp i		2		. Из уравнения (2) найдем
			1, 4
			1, 4
	CV		i
			V1		1
			V1			(3)
		T2	T1	V	.	(3)
			2

Подставив выражение (3) в формулу (1), получим искомое изменение внут ренней энергии

	m i			V1	1

U	M		RT1		1 .
		2		V
				2

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии U и на работу расшире ния A, совершаемую газом:

Q U A.

В случае адиабатного процесса Q 0, поэтому

AU.

Ответ: 1) U

кДж; 2) A

кДж.

151

2.63. Определите число i степеней свободы газа, если он расширяется адиа батно и при этом его объем увеличивается в четыре раза, а термодинамическая

температура уменьшается в				раза.
Дано: V2 4V1; T2		T1	.
	1,74
Найти: i.

Решение. Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) для двух

состояний газа можно записать в виде
	T1V1		T2V2		,	(1)
откуда, найдя показатель адиабаты			i 2 , можно определить число степеней
свободы молекул газа.			i
свободы молекул газа.
Подставим в уравнение (1) данные условия задачи:
	T1V1		T1	(4V1) ,
	T1V1	1,74		(4V1) ,
		1,74
	T1V1		T1 · 4		V1
или
		4 ,
откуда получим	. Подставив это значение в формулу для показателя адиа
баты
	i	2
		1, 4,
		i
получим искомое число степеней свободы i					5.
Ответ: i 5 (газ двухатомный).

2.64. Газ расширяется от объема V1 до объема V2 один раз при постоянном давлении, второй — при постоянной температуре, третий — без теплообмена с окружающей средой. Начертив графики процессов, сравните для этих процессов работу расширения газа A1, A2, A3 и количество теплоты Q1, Q2, Q3, подведенной к газу.

Дано: p const; T const; Q 0.

Найти: A1, A2, A3; Q1, Q2, Q3.

Решение. На диаграмме p—V (см. рисунок): 1 — изобара (p const); 2 — изо терма (T const); 3 — адиабата (Q 0).

Работа в рассматриваемых процессах численно равна площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми V1 и V2 и соответственно изобарой 1 (изобарный про цесс), изотермой 2 (изотермический процесс) и адиаба той 3 (адиабатный процесс). Из рисунка следует, что ра

бота в случае изобарного процесса максимальна, а в слу чае адиабатного — минимальна. Из сравнения площадей

находим, что
A1	A2	A3.	(1)
Согласно первому началу термодинамики,
Q	U	A,	(2)

152

где изменение внутренней энергии газа
U m CV	T.
M
В случае изобарного расширения газа U	0 (газ нагревается), в случае изо

термического расширения — U 0 (температура газа постоянна). Учитывая эти выводы, первое начало термодинамики (2) и выражение (1), можно записать

Q1	Q2 Q3 (Q3 0).
Ответ: A1 A2 A3; Q1 Q2	Q3.
2.65. Двухатомный газ необходимо сжать от объема V1 5 л до объема V2		л.

Определите, как и во сколько раз выгоднее газ сжимать: адиабатно или изотерми чески.

Дано: i 5; V1 5 л ( · м ); V2 л ( · м ); Q 0; T const.

Найти: A1 .

Решение. Диаграммы обоих процессов — адиабата (кривая 1) и изотерма (кри вая 2) в координатах p, V представляют собой гиперболы, но адиабата (pV const) более крута, чем изотерма (pV const).

Поскольку работа в обоих процессах численно равна площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми V1 и V2 и соответственно адиабатой и изотермой, из ри сунка следует, что газ изотермически сжимать выгоднее (заметим, что при сжа тии газа работа совершается внешними силами).

Подтвердим данный вывод вычислениями. Работа при адиабатном сжатии

m RT1

(1)

где

i 2

— показатель адиабаты (учли, что молярные теплоемкости при

2 R, CV

постоянном давлении и постоянном объеме Cp

R; i — число сте

пеней свободы: для двухатомного газа i

5); T1 — начальная температура газа;

V1 и V2 — начальный и конечный объемы газа соответственно.

Работа газа при изотермическом сжатии

m RT ln

(2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что

(

)ln

(учли, что T

T1).

Ответ:

— изотермически сжимать газ выгоднее.

153

2.66. Кислород (M	·	кг/моль), находящий
ся под давлением p1	МПа при температуре T1
350 К, подвергли сначала адиабатному расширению
от объема V1 1 л до объема V2		2 л, а затем изобарно
му расширению, в результате которого объем газа уве
личился от объема V2 до объема V3 3 л. Определите
для каждого из этих процессов: 1) работу A, совершен
ную газом; 2) изменение его внутренней энергии U;
3) количество подведенной к газу теплоты Q.

	Дано: p1	МПа (	· Па); T1 350 К; V1 1 л (	м ); V2 2 л
( ·	м ); V3	3 л ( ·	м ).
	Найти: 1) A; 2) U; 3) Q.
	Решение. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q,

сообщенное газу, расходуется на изменение внутренней энергии газа (		U ) и со
вершение газом работы (A) против внешних сил:
Q	U A.	(1)

Адиабатный процесс 1 — 2 (см. рисунок) происходит без теплообмена с окру

жающей средой, поэтому
			Q12		0.			(2)
Работа, совершаемая газом в адиабатном процессе,
		A12	p1V1	1	V1		,	(3)

					V2
					V2
где	i	2						5).
где		1, 4 (кислород — двухатомный газ, число степеней свободы i						5).
		i
Согласно уравнению (1), в адиабатном процессе
			U12		A12.			(4)
Изобарный процесс 2 — 3: работа изобарного расширения
		A23	p2(V3			V2),		(5)

где давление p2 найдем, воспользовавшись уравнением Пуассона для адиабаты

1 — 2:

	p2	p1	V1
				.
			V	.
			2
Подставив это выражение в формулу (5), получим
	A23 p1(V3		V2 )		V1		(6)
						.
					V	.
			2
Изменение внутренней энергии газа
U23	m CV	T	m CV (T3 T2 ),				(7)
	M		M

154

где m — масса газа; CV — его молярная теплоемкость при постоянном объеме.
Массу m газа находим из уравнения Клапейрона — Менделеева p1V1						m RT1, от
	Mp1V1					M
куда m	Mp1V1	. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме CV					i	R.
куда m		. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме CV						R.
	RT1						2
Подставив эти выражения в уравнение (7), получим
		U23	i	p1V1	(T3 T2 ).		(8)
		U23			(T3 T2 ).		(8)
			2 T1

Температуры T3 и T2 найдем, воспользовавшись уравнением Пуассона для ади абатного процесса 1 — 2 и законом Гей Люссака для изобарного процесса 2 — 3:

	1			V3
	V1		265 Ê è T3			397 Ê.
	T2 T1			T2
		V			V
	2			2
Количество теплоты Q23, подведенное к газу в изобарном процессе, опреде
лим, согласно (1),
			Q23 A23 U23.			(9)
Ответ: 1) A12	303 Дж; A23		189 Дж; 2)	U12		303 Дж; U23 471 Дж;
3) Q12 0; Q23	660 Дж.

2.67. Двухатомный идеальный газ совершает процесс, в ходе которого моляр ная теплоемкость C газа остается постоянной и равной 7 R. Определите показа

тель политропы n этого процесса.			2

Дано: i 5; C	7	R const.

Найти: n.

Решение. Если молярная теплоемкость C в ходе процесса остается постоян ной, то имеем дело с политропным процессом. Показатель политропы

n	C Cp	,	(1)

CCV

где Cp и CV — соответственно молярные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме:

Cp	i 2 R è CV	i	R,

	2	2

где i — число степеней свободы; R — молярная газовая постоянная. Учитывая,

что в задаче рассматривается двухатомный газ (i 5), имеемCp	7	R è CV		5	R .
	2		2

Подставив эти значения в формулу (1), найдем показатель политропы: n			0.

Ответ: n 0.

2.68. Некоторый двухатомный газ подвергают политропному сжатию, в ре зультате чего давление газа возросло от p1 10 кПа до p2 30 кПа, а объем газа

уменьшился от V1 2,5 л до V2	1 л. Определите: 1) показатель политропы n;
2) изменение внутренней энергии	U газа.

155

Дано: i	5; p1	10 кПа (104 Па); p2 30 кПа ( · Па); V1 2,5 л (2,5 ·	м );
V2 1 л (	м ).
Найти: 1) n; 2)		U.

Решение. Уравнение политропного процесса для двух состояний газа (началь ного 1 и конечного 2) можно записать в виде

p1V1n p2V2n,

где n — показатель политропы. Возможна другая форма записи

		p	2			V		n
			2				1
		p1				V2
или, учитывая условие задачи	p2	3		è	V1			2, 5, получим

	p1				V2
	p1				V2
								n,
откуда искомый показатель политропы n								1,2.

Внутренняя энергия газа — однозначная функция состояния, при всех про

цессах изменение внутренней энергии одинаково и равно
	U			CV(T2	T1),		(1)
где — количество вещества; CV			i	R — молярная теплоемкость при постоян
где — количество вещества; CV		2		R — молярная теплоемкость при постоян
ном объеме.		2
ном объеме.
Записав уравнение Клапейрона — Менделеева для двух состояний газа: p1V1
RT1 и p2V2	RT2, найдем температуры T1 и T2:
	T1	p1V1		è T2	p2V2	.	(2)
	T1			è T2		.	(2)
		R			R

Подставив выражения (2) в формулу (1), получим искомое изменение внут ренней энергии

(p V p V )

(3p

2, 5V p V )

p V

20p V .

Ответ: 1) n

1,2; 2)

12,5 Дж.

2.69. В сосуде, теплоемкость* которого

кДж/К, находится

л воды и 300 г

льда при 0 °С. Определите, какая установится температура

после впуска в воду


100 г водяного пара при температуре 100 °С. Удельная теплота парообразования
МДж/кг, удельная теплота плавления льда					·	Дж/кг, плотность воды
1 г/см , удельная теплоемкость воды			·	Дж/(кг · К).
Дано: C1	кДж/К ( ·	Дж/К); V2			л (	·	м ); m3 300 г

(	кг); m4	100	г (	кг); t3пл 0 °С (T3пл	273 К); t3к	100 °С (T3к 373 К); r4
	МДж/кг (			· Дж/кг);	· Дж/кг;	2 1 г/см3 (1000 кг/м );
c2	·	Дж/(кг · К).

* Теплоемкость C тела определяется количеством теплоты, которое необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус.

156

Найти: .

Решение. Поскольку результат теплообмена не известен, поэтому предполо жим, что температура всех тел после окончания теплообмена будет , причем она больше температуры плавления льда, но меньше температуры кипения воды. Сосуд и вода нагрелись, получив соответственно количество теплоты

Q1	C1	T3пл ,			(1)
Q2	c2m2	T3пл c2	2V2	T3пл ,	(2)
где m2 2V2.
Лед расплавился, а вода нагрелась, получив количество теплоты
	Q3	m3 c2m3	T3пл .		(3)

При конденсации пара образовавшаяся вода охладилась, отдав количество теп

лоты
								Q4		r m4			c2m4							T3к .								(4)
	Уравнение теплового баланса:
									Q1	Q2			Q3				Q4			0.								(5)
	Подставив в формулу (5) выражения (1), (2), (3) и (4), получим
C	T пл	c	2	V		2		T	пл	m	3		c	m			3			T пл	r m	4	c	m		4	T к	0.
1	3		2	2		2		3			3		2				3			3		4	2			4	3
	Откуда искомая установившаяся температура
					r m		4	C T ïë		m		3	c		2	[m T			ê	( V m			)T ïë	]
					4		4	1	3	3		3			2		4	3		2		3	3		.

									C1	c2( V2							m3			m4 )
									C1	c2( V2							m3			m4 )
	Ответ:	311 К.

2.70. В идеальной тепловой машине Карно, работающей по обратному циклу (холодильной машине), в качестве холодильника используется вода при 0 °С, а в качестве нагревателя — вода при 100 °С. Сколько воды m2 следует заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 100 г воды в нагревателе? Удельная теп лота плавления льда · Дж/кг, удельная теплота парообразования воды

r	МДж/кг.
Дано: t1 100		°С (T1	373 К); t2	0 °С (T2 273 К); m1 100 г ( кг);
·	Дж/кг; r		МДж/кг (	· Дж/кг).

Найти: m2.

Решение. Для испарения воды массой m1 следует затратить количество теп лоты

Q1	rm1,	(1)
где r — удельная теплота парообразования воды.
При замерзании воды массой m2 выделяется количество теплоты
Q2	m2,	(2)

где — удельная теплота плавления воды.

157

Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины
		Q1	Q2		T1	T2 ,					(3)
			Q1		T1
где Q1 — количество теплоты, полученное от нагревателя; Q2 — количество тепло
ты, отданное холодильнику; T1 — температура нагревателя; T2 — температура хо
лодильника.
Из выражения (3) находим
		Q2		Q1	T2 .						(4)
					T
					1
Подставив выражения (1) и (2) в формулу (4), получим									m2	m1rT2 , откуда
искомое значение										T1
искомое значение
		m	2	m1rT2 .
			2	T1
				T1
Ответ: m2	кг.
2.71. Идеальный газ количеством вещества						2 моль совершает цикл, состо
ящий из двух изохор и двух изобар (см. рисунок). Определите работу A, совер
		шенную газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на од
		ной изотерме, начальная температура T1 газа равна
		300 К, а температура T3 газа в результате изобарного
		расширения достигла 500 К.
		Дано:		2 моль; T2			T4; T1		300 К; T3		500 К.
		Найти: A.
		Решение. На рисунке представлены характерные
		точки цикла (1, 2, 3, 4) и в скобках — параметры каж
		дого из состояний (давление, объем и температура).
		Работа за цикл численно равна площади заштри
хованного прямоугольника, т. е., согласно рисунку,
A	(p2	p1 )(V3	V1 )	p2V3 1		p1	1	V1	.		(1)
						p2		V3
Точки 2 и 4 лежат на изотерме (T2				T4), поэтому для этих состояний по зако
ну Бойля — Мариотта

p2V1 p1V3.

(2)

Уравнения Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газа для со стояний 1 и 3 можно записать в виде

p1V1 RT1 и p2V3 RT3,					(3)
откуда
	p1V1		T1	.	(4)

	p2V3	T3

158

Из уравнения (2) следует, что

V1 .

Подставив последнее выражение в формулу (4), получаем

T1 .

(5)

Искомую работу найдем, если подставим в формулу (1) выражения (3) и (5):

A p V 1

p1 1

T1 .

Ответ: A

кДж.

2.72. Идеальный трехатомный газ количеством вещества

2 моль занимает

объем V1

10 л и находится под давлением p1

250 кПа. Сначала газ подвергли

изохорному нагреванию до температуры T2

500 К, за

тем — изотермическому расширению до начального дав

ления, а после этого в результате изобарного сжатия воз

вратили в первоначальное состояние. Постройте график

цикла и определите термический КПД

цикла.

Дано: i

2 моль; V1

10 л (

м3); p1

250 кПа

(

Па); T2

500 К.

Найти: .

Решение. Термический КПД любого цикла определя

ется выражением

				Q1 Q2		,	(1)
						,	(1)
				Q1
где Q1 — количество теплоты, полученное газом за цикл; Q2 — количество тепло
ты, отданное газом за цикл.
Количество теплоты Q1 газ получает в двух процессах: изохорном 1							2 и изо
термическом 2 3, т. е.
		Q1	Q12		Q23.
Количество теплоты Q2 газ отдает в изобарном процессе 3 1, т. е.
			Q2 Q31 .
В случае изохорного процесса 1			2
		Q12	CV (T2			T1),
где CV	i	R — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме (i — число
где CV	2
	2
степеней свободы молекулы; для трехатомного газа i 6).

159

Записав уравнение Клапейрона — Менделеева для состояния 1, p1V1

RT1,

найдем температуру

p1V1

150 Ê.

В случае изотермического процесса 2

RT ln

(учли, что V2

V1). В полученном выражении отношение

, согласно закону

Гей Люссака, заменим отношением температур

, т. е.

RT ln

В случае изобарного процесса 3

1 газ отдает количество теплоты

Cp(T2

T1),

где Cp

i 2 R — молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Подставив найденные значения Q1 и Q2 в формулу (1), получаем термический

КПД цикла:

Cp(T2

T1)

2)(T

T )

CV (T2

T1)

i(T2

RT2 ln

T1 ) 2T2 ln

Ответ:

15,2 %.

2.73. Температура пара, поступающего в паровую машину, T1

400 К, темпе

ратура в конденсаторе T2

320 К. Какова теоретически возможная максималь

ная работа A машины при затрате количества теплоты 5 кДж?

Дано: T1

400 К; T2

320 К; Q1

5 кДж ( ·

Дж).

Найти: A.

Решение. Максимальная работа, совершаемая тепловым двигателем, возможна лишь при обратимом цикле Карно (состоит из двух изотерм и двух адиабат). Тер

мический КПД цикла Карно
	T1 T2			,	(1)

	T1
где T1 и T2 — термодинамические температуры нагревателя и холодильника со
ответственно.
КПД любой тепловой машины
		A	,		(2)

	Q1

где A — работа, совершаемая тепловой машиной; Q1 — количество теплоты, полу ченное рабочим телом от нагревателя.

160

<< < 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Следующая > < Предыдущая Стр 18 из 62 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > >>

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Решебники

#
30.09.20185.05 Mб5antivolk1.djvu
#
30.09.20184.5 Mб5antivolk2.djvu
#
30.09.2018972.23 Кб14Fizika._Praktikum._Chast_1.pdf
#
30.09.20187.41 Mб20Trofimova_Zad_reschenia.pdf
#
30.09.2018862.26 Кб16волновая и квантовая оптика.pdf
#
30.09.201811.97 Mб4Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики (2001).djvu
#
30.09.20182.15 Mб5электричество irodov2.djvu