Презентация / Записка

2 Валентные электроны в металле могут довольно свободно перемещаться в пределах объема металлического образца. Потенциальная энергия электрона в пределах образца металла приблизительно постоянна, но для выхода электрона из металла надо совершить работу против сил электростатического притяжения отрицательного электрона к ионному остатку.

Таким образом, валентные электроны металла находятся в потенциальной яме. Глубина этой ямы – работа выхода электронов из металла A – составляет несколько электрон-вольт. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электрон из металла, потенциальную яму можно считать бесконечно глубокой. Рассмотрим поведения свободных (валентных) электронов в металле с самой простой модели: модели одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы при T = 0.

Уровень энергии, отвечающий различным квантовым состояниям, называется вырожденным. В одномерной потенциальной яме все уровни двукратно вырождены.

На рис. 1 изображена одномерная, бесконечно глубокая потенциальная яма, в которой размещены шесть электронов (N = 6) при T = 0. Первые три энергетических уровня заняты, все остальные, начиная с четвертого (n = 4), – свободны.

Энергия Ферми E F (0) – это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при T = 0.

3

Как мы видим, энергия Ферми при T = 0, E F(0) зависит от числа занятых электронами состояний. В одномерной яме число занятых состояний N (одно состояние – один электрон) равно удвоенному значению квантового числа n.

4

для трехмерной ямы

Где - постоянная Планка, m – масса электрона, n – концентрация электронов

5

Любой разрешенный уровень энергии может быть занят электроном или оставаться свободным (свободный уровень в валентной зоне - это дырка). Если при данный условиях уровень обязательно заполнен, то говорят, что вероятность заполнения данного уровня равна единице, если он пуст - нулю.

Вероятность заполнения уровня зависит от его энергии, температуры, а, для примесного полупроводника, также от концентрации примеси. На рис. 12 показан график функции F(E), описывающей зависимость вероятности заполнения уровня от соответствующей ему энергии. Обратите внимание, что F(E)< 1/2 соответствует уровням слабо заполненным или пустым, а F(E) > 1/2 сильно заполненным уровням. Величину энергии, соответствующую F(E)= 1/2, можно использовать в качестве критерия при оценке вероятности заполнения уровней. Условно можно принять существование уровня с такой энергией, для которой F(E) = 1/2, называемого уровнем Ферми E_f.

Заполнение уровней с энергией, большей E_f, спадает в 0 с ростом энергии, а заполнение уровней ниже E_f постепенно приближается к 1 

Ферми поверхность (ФП) - изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульсов р, отделяющая область занятых электронных состоянии металла от области, в которой при Т = 0 К электронов нет. За большинство свойств металлов ответственны электроны, расположенные на Ф. п. и в узкой области пространства квазиимпульсов (векторная величина, характеризующая состояние квазичастицы (например, подвижного электрона в периодическом поле кристаллической решётки)) вблизи неё.

Если Ф. п. непрерывно проходит через всё пространство квазиимпульсов, она называется открытой. Если Ф. п. распадается на полости, каждая из которых помещается в одной элементарной ячейке пространства квазиимпульсов, она называется замкнутой, например у Li, Au, Си, Ag – открытые Ф. п., у К, Na, Rb, Cs, In, Bi, Sb, Al – замкнутые. Иногда Ф. п. состоит из открытых и замкнутых полостей. Скорости электронов, расположенных на Ф. п.:

F ≈ 10⁸ см/с, вектор (направлен по нормали к Ф. п.

7-12

Примеры поверхности Ферми

• Топология поверхности Ферми для меди, серебра и золота приблизительно одинаковая и представляет собой гофрированный сфероид, который через узкие трубки соединяется со сфероидами соседних ЗБ. На рис. а показан сфероид меди; на рис. б изображено соединение двух сфероидов в плоскости гексагональной грани, а на рис. в дана общая картина соединения нескольких ферми-сфероидов.

15

Основные допущения: газ подчиняется распределению Ферми-Дирака, по принципу Паули каждое состояние занято одним электроном: число электронов в нижней энергетической зоне меньше половины числа уровней (обиталей), (для каждого уровня с главным квантовым числом n может быть две орбитали с разной ориентацией спина), изотропная модель, т.е. энергия частицы считается равной p2/ 2m, где m - масса электрона, она в металле равна истинной массе электрона вблизи нуля.

Рассмотрим поведение электронного газа при . В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно запрету Паули в каждом состоянии может находится не более одного электрона, но т.к. электроны могут различаться проекцией спина , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов. Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням показано на рис.

     Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбужденном энергетическом уровне, следующая пара электронов - на втором возбужденном уровне и т.д. Если число электронов в металле равно , то при  будут заполнены первые  уровней с энергией . Все остальные уровни с энергией будут свободны. Сравнивая полученный результат с распределением Ферми-Дирака при , приходим к выводу, что максимальная энергия электронов  совпадает с энергией Ферми 

График зависимости функции распределения от энергии при  приведен на рис. 6.11. Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой , численно равна концентрации свободных электронов в металле  

16  

Рассмотрим теперь случай ненулевых температур. Схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при  показано на рис. 6.12 Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~  вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Отметим, что хотя ширина этой области, как правило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль. Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

Вид зависимости функции распределения  от энергии электронов при  представлен на рис. 6.13. Поскольку, как и в случае , площадь под кривой  численно равна концентрации свободных электронов в металле, то площади участков  и  оказываются равными друг другу. Площадь каждого из этих участков определяет число электронов в единице объема металла, перешедших при нагревании образца с заполненных уровней на незаполненные.

17

А теперь хотелось бы рассказать про ученого благодаря которому были сделаны все эти открытия.

Энри́ко Фе́рми (итал. Enrico Fermi; 29 сентября 1901, Рим — 28 ноября 1954, Чикаго) — итальянский физик, наиболее известный благодаря созданию первого в мире ядерного реактора, внёсший большой вклад в развитие ядерной физики, физики элементарных частиц, квантовой и статистической механики. Считается одним из «отцов атомной бомбы»^[4]. За свою жизнь он получил несколько патентов, связанных с использованием атомной энергии. Лауреат Нобелевской премии по физике 1938 года «за доказательство существования новых радиоактивных элементов, полученных при облучении нейтронами, и связанное с этим открытие ядерных реакций, вызываемых медленными нейтронами»^[5]. Ферми был одним из немногих физиков, преуспевших как в теоретической физике, так и вэкспериментальной.

18

Член Национальной академии деи Линчеи (1935), иностранный член-корреспондент АН СССР (1929). Он создал теориибета-распада, замедления нейтронов^[⇨]. В 1939 году ввёл понятие цепной реакции и позже принял участие в атомном проекте

В 1950 году Энрико был избран иностранным членом Лондонского Королевского, а в 1953 году — президентом Американского физического общества. Год спустя вышла его последняя книга «Лекции о пи-мезонах и нуклонах». Ферми был членом многих иностранных академий и научных обществ, в его честь названы распределение Ферми — Дирака, модель Томаса — Ферми, сотый элемент таблицы Менделеева — фермий, его имя после его кончины осталось в названиях ряда научных центров, в его трудах и в памяти многих людей.