Институт электронной техники
Кафедра ИПОВС
Лабораторная работа 3
«Моделирование поверхности 3D-объекта. Сплайновые кривые и сплайновые поверхности»
Содержание
11. Регулярная поверхность в параметрическом виде __________________ стр. 32
12.Сплайновые поверхности _______________ _______________ стр. 34
13. Бикубическая поверхность Безье__________________ стр. 35
14.Бикубическая B-сплайновая поверхность____________________ стр. 43
15. __________________________________ стр. 27
16. _________________ стр. 29
17. ______________________ стр.34
Регулярная поверхность в параметрическом виде.
Регулярной поверхностью называется множество точек M(x,y,z) 3-х мерного пространства, координатыx,y,zкоторых определяются из следующих соотношений:
(61)
Здесь x(u,v),y(u,v),z(u,v), – гладкие функции своих аргументов, причем выполняется соотношение:
(62)
Область D– это некоторая область на плоскости параметровu,v.
Уравнения (61) называются параметрическими уравнениями поверхности. Их часто записывают в векторной форме:
(63)
В этом случае точка Mна поверхности будет определяться двумя параметрамиM(u,v).
Для примера рассмотрим поверхность сферы с радиусом R. Уравнение сферы имеет вид:
(63)
В качестве параметров удобно выбрать сферические координаты u=,v=. Тогда параметрические уравнения (61) примут следующий вид:
(64)
Пусть областью изменения параметров u,vбудет следующая областьD:
(65)
На Рис.33 изображена эта область Dна плоскости параметровu,v.
На Рис.34 изображена часть сферической поверхности, на которую параметрические уравнения (64) отображают точки области D.
В области Dизображены также две линииu=constиv=const. При помощи этих линий можно построить координатную сетку в областиD. Затем эту сетку можно отобразить на элементе сферической поверхности с помощью уравнений (64).
На Рис.34 показана такая координатная сетка, нарисованная желтыми линиями. Благодаря этой координатной сетке, элемент сферической поверхности выглядит как 3-х мерный объект.
Если вычислить частные производные по параметрам (u,v) от радиуса-вектораr(u,v) (63), то можно найти касательные векторы к рассматриваемой поверхности.
(66)
На Рис.34 изображены два касательных вектора, построенных с помощью формул (66). Причем вектор ruявляется касательным вектором к координатной линииv=const, а векторrvявляется касательным вектором к координатной линииu=const.
Рис.33 Область Dизменения параметров (u,v). |
Рис.34 Элемент сферической поверхности. Касательная плоскость. Касательные векторы ru,rvи нормальный векторN. |
(Изображение на Рис. 34 создано программой gr3D01.cpp.)
На Рис.34 показан также вектор нормалиNк рассматриваемой поверхности. Вектор нормали можно найти как векторное произведение касательных векторов:
(67)
Для нахождения проекций вектора нормали удобно записать векторное произведение (67) в форме определителя:
(68)
Изображенный на Рис.34 вектор нормали построен с помощью формул (68).
Условие (62) в определении регулярной поверхности, означает, что в каждой точке Mрегулярной поверхности существует касательная плоскость, и эта плоскость при непрерывном перемещении по поверхности текущей точкиMизменяется непрерывно. Непрерывно при этом изменяются касательные векторы и вектор нормали.
Покажем, как можно найти уравнение касательной плоскости, проходящей через точку M, принадлежащую этой поверхности. Пусть координаты это точки равныM(x0,y0,z0). Пусть также известен вектор нормалиNк поверхности в этой точке. Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь следующий вид:
(69)
Плоскость является 2-х мерным объектом, поэтому ее можно, как и любую поверхность, описать двумя параметрами с помощью параметрических уравнений. Пусть этими параметрами будут параметры pиq. Тогда используя касательные векторыив точке M(x0,y0,z0), параметрические уравнения касательной плоскости (69) можно записать в следующем виде:
(70)
Изображенная на Рис.34 касательная плоскость построена с помощью формул (70).