Московский институт электронной техники
Кафедра ИПОВС
Лабораторная работа 3
«Моделирование поверхности 3D-объекта. Сплайновые кривые и сплайновые поверхности»
Содержание
1. Введение _____________________________________________________ стр. 1.
2. Пространственная кривая в параметрическом виде___________________ стр. 3.
3. Интерполяционные кривые ______________________________________ стр. 5
4. Сплайновые кривые ____________________________________________ стр. 7.
5. Сплайновые кривые Эрмита ______________________________________стр. 8.
6. Сплайновые кривые Безье _______________________________________ стр.10.
7. Интерактивное изменение положения опорных точек сплайновых кривых с помощью мышки ___________________________________________________стр. 13.
8. Интерактивное изменение числа опорных точек сплайновых кривых с помощью диалоговых окон _________________________________________________ стр. 20.
9. B-сплайновые кривые ________________________________________ стр. 24
10. Составные B-сплайновые кривые с кратными опорными точками ____ стр. 28
11. Нормализованные базисные функции B-сплайна __________________ стр. 30
Введение.
Чтобы изобразить криволинейную поверхность 3D-объекта нужно знать математическое описание этой поверхности. Здесь возникают две проблемы. Во-первых, аналитическое выражение поверхности может оказаться достаточно сложной математической формулой, громоздкой для компьютерных расчетов. Во-вторых, аналитическое выражение поверхности чаше всего неизвестно, если речь идет о создании изделия, например кузова автомобиля. В этом случае задают координаты сравнительно небольшого числа опорных точек, лежащих на искомой поверхности, и через эти точки проводят плавные поверхности.
Поэтому для описания и изображения сложной криволинейной поверхности 3D-объекта применяют разные способы моделирования поверхности, где сложную поверхность заменяют более простой.
Самой простой моделью описания поверхности является полигональная модель(polygonal modeling). В этом случае поверхность 3D-объекта аппроксимируютполигональной сеткой(polygonal net).Полигональная сетка - это совокупность связанных между собой плоских многоугольников.
На рисунках Рис.1. и Рис.2. показан полигональная сетка, моделирующая поверхность кувшина. Элементарными полигонами здесь являются плоские четырехугольники. С увеличением числа полигонов результат моделирования улучшается.
|
Рис.1. Полигональная сетка. 54 элемента. |
Рис.2 Полигональная сетка. 216 элементов. |
(Изображения на Рис.1, 2 созданы программой surf2.cpp.)
Более совершенным является метод моделирования с помощью сплайнов(spline surface). В основе подхода описания криволинейных поверхностей лежит использование сравнительно несложных формул, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью.Элементарный сплайн– это специальная функция, которая применяется для аппроксимации отдельных фрагментов поверхности. Несколько элементарных сплайнов образуютсоставную сплайновую поверхность, с помощью которой моделируют сложную поверхность 3D-объекта.
Другими словами, сплайн – эта тоже поверхность, но такая, для которой можно достаточно просто вычислять координаты ее точек. Обычно используются кубические сплайны. Дело в том, что третья степень – наименьшая из степеней, позволяющих описывать любую форму, и при стыковке сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную - такая поверхность не будет иметь изломов в местах стыка.
Наиболее известной сплайновой кривой является кривая Безье (Bezierspline). Кривая Безье разработана математиком Пьером Безье. Кривые и поверхности Безье были использованы в 60-х годах компанией «Рено» для компьютерного проектирования формы кузовов автомобилей
На рисунках Рис.3. и Рис.4. показано моделирование поверхности кувшина кубическими сплайнами Безье. Небольшое увеличение числа кубических сплайновых поверхностей позволяет достаточно точно описать искомую поверхность.
|
Рис.3 Поверхность Безье. 12 элементов |
Рис.4 Поверхность Безье. 32 элемента |
(Изображения на Рис. 3, 4 созданы программой surf2.cpp.)
В этой лабораторной работе рассматриваются свойства сплайновых кривых Безье и B-сплайновых кривых, а так же сплайновых поверхностей построенных на основе этих сплайновых кривых.