ЗОТФ / Контрольные 2 и 3 / Задачи

№ 208

Дано : U = U₀cos(t - /6), U₀ = 60 B, f = 1.6*10³ Гц, С = 10^–7 Ф,  = T/4

Найти : L, W, W_E/W_M при t = 

Р е ш е н и е :

Имеем колебательный контур, период собственных

колебаний которого определяется формулой

Т.к. частота f=1/T (  Т = 1/f ) (1)

то из условия задачи имеем уравнение для определения индуктивности

(2)

Полная энергия колебаний

Вычислим W = 0.5*10^–7*3600 = 1.8*10^–4 Дж

Энергия электрического поля на обкладках конденсатора

W_E() = 0.5C[U()]²

Находим

U() = U₀cos(t - /6) = U₀cos(Т/4 - /6) = {  = 2/Т  Т = 2 } =

= U₀cos(/2 - /6) = U₀cos(/3) = 0.5U₀ 

W_E() = 0.5C[U()]² = 0.125CU₀²

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

W_M = W – W_E = 0.5CU₀² - 0.125CU₀² = 0.375CU₀²,

их отношение W_E/W_M = 0.125CU₀² / 0.375CU₀² = 1/3.

Вычисляем (2) 0,31 Гн

Ответ : L = 0.31 Гн, W = 1.8*10^–4 Дж, W_E/W_M = 1/3.

№ 218

Найти добротность маятника ( малый шарик на нити длиной l = 0.5 м ), если

за время t = 1.5 мин. его полная механическая энергия уменьшилась в n = 36

раз. Различием частот пренебречь.

Дано : l = 0.5 м, t = 1.5 мин.= 90 c, W₀/W = n = 36

Найти : 

Р е ш е н и е :

Период данного маятника находят по формуле (1)

По закону затухающих колебаний амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону. Значит амплитуды колебаний А₁ и А₂ в моменты t и t + соответственно относятся как

А₁/А₂ = A₀e^-t/T/ A₀e^{-(t+)/T} = e^/T

(  - логарифмический декремент затухания ).

А т.к. энергия колебаний пропорциональна амплитуде колебаний, то из условия задачи следует уравнение

e^2/T = n

откуда находим логарифмический декремент затухания

2/T = lnn   = (T/2)lnn

Добротность системы при малом затухании можно найти по формуле

 = /

и используя (1), получим

Ответ :  = 111

№ 228.

Слабо затухающие электромагнитные колебания происходят в контуре, где

L = 8*10^–2 Гн, C = 2*10^–8 Ф. Добротность  = 100. Найти критическое

сопротивление  и время релаксации .

Дано : L = 8*10^–2 Гн, C = 2*10^–8 Ф,  = 100

Найти : , 

Р е ш е н и е :

Критическое сопротивление  равно

Ом

При малых затуханиях добротность системы равна

 = /(Т), (1)

где  = 1/ - коэффициент затухания.

Т.к. период колебаний

,

то из (1) находим время релаксации

(*)

Ответ :  = 4*10³ Ом,  = 8*10^–3 с

№ 238.

Дано : F(t) = 0.15sin20t (H), m = 0.3 кг, r = 0.18 кг/с,

k = 2.5 Н/см

Найти : х(t)

Р е ш е н и е :

В начальном состоянии ( рис справа )

сила тяжести уравновешивается силой

упругости пружины, растянутой на Δl₀

Р = kΔl₀ (1)

Рассмотрим произвольное положение

груза. Пружина растянута на ( х + Δl₀ ),

скорость груза V, сила сопротивления

F_C = rV. Проекция вынуждающей силы

на Х F = 0.15sin20t

По II закону Ньютона получим

уравнение в проекции на Х

или с учётом (1)

Обозначим ₀² = k/m = 2.5/0.3 = 25/3,  = r /2m = 0.3, f₀ = 0.5

Уравнений затухающих колебаний груза

,

его общее решение ( [1], 254 )

Здесь  = 20 с^-1 – круговая частота вынуждающей силы.

В числах получим

x(t) = a₀e^{-0.3 t}sin(2.87t + ) + 6.4*10^–4sin(20t - 3.1*10^–2) (м)

Ответ : x(t) = a₀e^{-0.3 t}sin(2.87t + ) + 6.4*10^–4sin(20t - 3.1*10^–2) (м)

№ 248.

Максимальное ускорение колеблющихся частиц среды в плоской звуковой волне a_m = 17,6 м/с², частота колебаний f = 772 Гц, её скорость в направлении

ОУ V = 336 м/с. Определить уравнение волны с численными параметрами

и найти разность фаз колебаний частиц, отстоящих на расстояниии 1,75 м друг от друга.

Дано : a_max = 17,6 м/с², f = 772 Гц, V = 336 м/с, s = 1.75 м

Найти : ξ(y,t), Δφ

Р е ш е н и е :

Уравнение плоской звуковой волны, распространяющейся в направлении

ОУс фазовой скоростью V имеет вид

ξ(y,t) = Аcos(t – y/V), (1)

где  = 2f = 6,28*772 = 4848 рад/с – круговая частота, А – амплитуда.

В числах (1) имеет вид

ξ(y,t) = Аcos4848(t – y/336) (2)

Для определения амплитуды находим скорость и ускорение произвольной колеблющейся точки среды по (2). Для простоты выберем у = 0.

ξ(t) = Аcos (4848t)

v = ξ = - 4848Аsin(4848t), a = - 4848²Acos(4848t)

Из последнего соотношения находим

a_max = 4848²A  A = a_max/4848² = 17,6/4848² = 7.5*10^–7 м

И уравнение данной волны

ξ(y,t) = 7.5*10^–7cos4848(t – y/336) (м).

Волновое число данной волны

k = /V = 4848/336 = 14.43 м^–1 ,

поэтому разность фаз колебаний частиц, отстоящих на расстояниии s =1,75 м друг от друга равна

Δφ = 2ks = 2*4848*1,75/336 = 25.25*2

или ( исключая полные периоды )

Δφ = /2

Ответ : ξ(y,t) = 7.5*10^–7cos4848(t – y/336) (м) ; Δφ = /2

№ 258

Плоская электромагнитная волна, интенсивность которой 12 Вт/м², распространяется в вакууме. Частота колебаний волны  = 2*10⁶ Гц. Определить уравнение этой волны с числовыми коэффициентами, произвольно выбрав начальные условия.

Дано : I = 12 Вт/мм² = 12 Вт/м²,  = 2*10⁶ Гц

Найти : E(x,t) H(x,t)

Р е ш е н и е :

Уравнения плоской плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме в направлении OX, имеют вид

E(x, t) = E_mcos(t – kx + ), H(x, t) = H_mcos(t – kx + )

E_m H_m – амплитуды колебаний электрического и магнитного полей соответственно,

« Снимок волны » на рис справа.

Интенсивность плоской электромагнитной волны

находится по формуле

откуда амплитуда

Круговая частота  = 2 = 6,28*2*10⁶ = 1,26*10⁷ с^–1,

волновое число k = /c = 1,26*10⁷/3*10⁸ = 0.042 м ^-1,

0,25 А/м

и уравнения данной волны для  = 0

E(x, t) = 95cos(1,26*10⁷ t – 0,042x),

Ответ : Н(x, t) = 0,25cos(1,26*10⁷ t – 0,042x)

№ 308.

Тёмной или светлой будет в отраженном свете мыльная плёнка ( n = 4/3 ) толщиной d = ²⁷/₈ мкм при нормальном падении лучей длиной волны 600 нм ?

Дано : n = 4/3, d = ²⁷/₈ мкм = d = ²⁷/₈*10^–6 м,  = 600 нм

Найти : Δ

Р е ш е н и е :

В отраженном свете интерферируют

лучи 1 ( отраженный от верхней поверхности

плёнки ) и 2 (отраженный от нижней

поверхности плёнки ). Разность хода у них

2d, а оптическая разность хода

Δ = 2dn.

Вычислим

15

Значит оптическая разность хода составляет целое число длин волн, т.е. они «находятся в фазе», усиливают колебания .

Ответ : В отраженном свете мыльная плёнка будет светлой.

№ 318

Угловая ширина центрального дифракционного максимума на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы, размещённой за узкой щелью, освещённой монохроматическим светом  = 530 нм, равна Δφ = 5,3*10^–3 рад.

Найдите ширину щели. При каком фокусном расстоянии F линзы линейная ширина указанного максимума составит l = 0.85 cм ?

Дано : k = 1,  = 530 нм = 5,3*10^–7 м, Δφ = 5,3*10^–3 рад, l = 0.85 cм = 8,5*10^–3 м

Найти : а , F

Р е ш е н и е :

Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. ).

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

asinφ = ± k (1)

k – порядок минимума.

Отсюда φ ≈ sinφ = k/a

По рис. находим

Δφ = 2φ = 2k/a (2)

Откуда ширина щели ( из (1) )

По рис. находим sinφ ≈ φ≈ tgφ = l/(2F)

Значит ( используем (2) )

Δφ = 2φ = l/F = 2k/a, т.е. l/F = 2k/a 

F = 8.5*10^–3/5.3*10^–3= 1.6 м

Ответ : а = 2,3*10^–4м, F = 1,6 м

№ 328.

Естественный свет с длиной волны  и интенсивностью I₀ проходит последовательно через поляризатор П₁, анизотропную кристаллическую пластину П толщиной, кратной /2 и поляризатор П₂. Плоскость пропускания поляризатора П₁ и оптическая ось пластины параллльны, поляризатор П₂ повёрнут на угол 30⁰ к оси пластины ( по часовой стрелке при наблюдении вдоль луча ). Пренебрегая потерями на поглощение и рассеяние, найти интенсивность света : а) сразу после П₁ б) за пластиной и) за П₂

Дано : d = k/2,  = 30⁰ Найти : I_A I_B I_C

Р е ш е н и е :

Естественный свет ( неполяризованный ), проходя через проляризатор П₁, теряет половину интенсивности I_A = 0.5I₀ и становится плоско поляризованным.

Пластина П поворачивает плоскость поляризации (зелёная линия )на 180⁰

( её длина кратна /2 ). Интенсивность света сразу за пластиной (потерями на поглощение и рассеяние пренебрегаем ) такая же, как и за П₁

I_B = 0.5I₀

Интенсивность света за П₂ по закону Малюса

I_C = I_Bcos² = 0.5I₀*3/4 = ³/₈I₀

Ответ : I_A = 0.5I₀, I_B =0.5I₀, I_C = ³/₈I₀

№ 338.

Выразить в длинах волн (  = 589,3 нм ) оптическую разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей в кристаллической пластине из исландского шпата, вырезанной перпендикулярно оптической оси, толщиной

l = 10.27*10^–4 м, если значения показателей обыкновенного и необыкновенного лучей n_o = 1.658, n_e = 1.486.

Дано :  = 589,3 нм = 5,893*10^–7 м, l = 10.27*10^–4 м, n_o = 1.658, n_e = 1.486

Найти : Δ/

Р е ш е н и е :

При прохождении света сквозь пластину исландского шпата наблюдается двойное дучепреломление - луч разделяется на 2 луча : обыкновенный (о) и необыкновенный (е). Их оптическая разность хода

Δ = l(n_o – n_e)

или в длинах волн

Δ/ = l(n_o – n_e)/ = 10.27*10^–4*(1.658-1.486)/ 5,893*10^–7 = 300

Ответ : Δ = 300 длин волн

№ 348.

Во сколько раз отличаются интенсивности 2 рассеянных лучей света, исходно отличающихся лишь длинами волн (₁ = 450 нм, ₂ = 600 нм) и направлениями их распространения ( θ₁ = 45⁰, θ₂ = 60⁰ по отношению к прямому направлению ).

Дано : (₁ = 450 нм, ₂ = 600 нм, θ₁ = 45⁰, θ₂ = 60⁰

Найти : I₁/I₂

Р е ш е н и е :

Согласно закону рассеяния Рэлея интенсивность рассеяного света пропроциональна ^–4*(1+cos²θ)/2. Значит

3,8

Ответ : в 3,8 раза

№ 358.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов при освещeнии металла

излучением рубинового лазера ( = 690 нм) равна W = 0.14 эВ. При какой задерживающей разности потенциалов фотоэффект прекратится в случае удвоения частоты лазера ? Чему равна граничная частота фотоэффекта в металле в этом случае ?

Дано : λ₁ = 690 нм = 6.90*10^–7 м, W = 0.14 эВ = 0.14*1.6*10^–19 Дж

λ₂ = 345 нм = 3.45*10^–7 м,

m_е = 9.11*10^-31 кг, - масса электрона

е = 1,6*10^–19 Кл, заряд электрона,

Найти : U, ν₀

Р е ш е н и е :

Уравнение Эйнштейна для внешнего  фотоэффекта

 = А + W (1)

( W = ½m_еv² – кинетическая энергия вылетевшего электрона,

А – работа выхода).

Перепишем его, введя напряжение задержки.

Электрическое поле выполняет работу, чтобы остановить фотоэлектроны.

По закону сохранения энергии W = eU_d

и тогда (1) запишется в виде

 = А + eU_d (2)

Для излучения первой гармоники лазера, подставив в (1) ε₁ = hc/λ₁, получим соотношение для работы выхода

A = hc/λ₁ – W (3)

В случае удвоения частоты ( и соответственно уменьшения в 2 раза длины волны ) излучения энергия кванта возрастёт в 2 раза и (2) примет вид

2hc/λ₁ = А + eU_d (4)

или, подставив сюда выражение для А из (3), получим

2hc/λ₁ = hc/λ₁ – W + eU_d

откуда следует формула для вычисления напряжения задержки

Граничная частота ν₀ фотоэффекта в металле в этом случае находится по соотношению (1), куда нужно подставить W=0 ( ещё чуть прибавить частоты и

и фотоэлектроны начнут набирать скорость ), выражение для А из (3) и выражение для энергии фотона ε = hν

hν₀ = hc/λ₁ – W  ν₀ = c/λ₁ – W/h ; (6)

[c/λ] = (м/с)/м = с^–1, [W/h] = Дж/(Дж*с) = с^–1;

Вычисляем (5) и (6).

1,94 В

ν₀=c/λ₁ – W/h =3*10^8/6,9/10^(-7)-0,14*1,6*10^(-19)/6,625/10^(-34)= 4*10¹⁴ c^-1

Ответ : U_d = 1.94 B, ν₀ = 4*10¹⁴ c^–1

Список литературы.

1. Савельев Курс общей физики т.1 т2.– М: Наука, 1982.