visshaya_matematika_chast_IV
.pdf
|
§12. Диференціальні рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
411 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продовження таблиці 12.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Метод Ейлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Характеристичне рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
det (A − λ E) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Корені характеристичного |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
1,λ |
2 ,…,λ n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальний розв’язок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Ck X(λ |
k ) (t) |
|
|
|
|
|
|||||||||
однорідної системи |
|
|
|
|
|
|
X(t) = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Формування X(λ k ) (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(λ ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) λ |
– дійсний корінь |
|
|
|
|
X |
(λ ) |
(t) = Y |
(λ |
) |
e |
λ t |
|
|
y2(λ |
) |
|
|
λ t |
, |
|
|||||||
|
кратності 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λ |
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
де AY(λ ) = λ Y(λ ) , Y(λ ) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) λ |
– комплексний |
|
|
|
|
|
|
X1(λ ) (t) = ReX(λ |
) (t), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
корінь кратності 1 |
|
|
|
|
|
|
X(2λ ) (t) = ImX(λ ) (t) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
+ α |
(2) |
+…+ α |
(r) |
t |
r−1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 1 |
1 |
t |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
в) λ |
– корінь кратності |
|
|
X |
(λ ) |
(t) = |
|
α 2(1) |
+ α (22)t +…+ α |
2(r)t r−1 |
λ t |
|||||||||||||||||
|
r ≥ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………………… |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
+ α |
(2) |
+…+ α |
(r) |
t |
r−1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α n |
n |
t |
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Лінійні неоднорідні системи диференціальних рівнянь |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
зі сталими коефіцієнтами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
|
= A X(t) + F(t) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вигляд системи |
|
де |
A – матриця коефіцієнтів ai j |
системи, |
||||||||||||||||||||||||
|
ai |
j – сталі, i, j = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
X (t) = (x1 (t), x2 (t),…, xn (t))T , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
xi (t) |
– шукані функції, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
F(t) = ( f1(t), f2 (t),…, fn (t))T , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
fi (t) |
– задані функції, i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
412 |
Глава 7. Довідковий матеріал |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 12.3 |
||||||
|
|
~ |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
X(t) = X0 (t) + X(t) , |
|
||
Загальний розв’язок |
|
де X0 (t) – загальний розв’язок відповідної |
|
|||
неоднорідної системи |
|
|
|
dX |
|
|
|
|
однорідної системи |
|
= A X(t) , |
|
|
|
|
dt |
||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
X(t) – деякий частинний розв’язок неодно- |
|
||
|
|
рідної системи |
|
|||
Метод підборучастинного розв’язку |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Вигляд функцій fi (t) |
|
|
Вигляд частинного розв’язку (аналогічно |
|
||
правої частини |
|
|
неоднорідномудиференціальному |
|
||
|
|
рівнянню n -го порядку – таблиця 12.2) |
|
|||
(P(t)cosβ t + Q(t)sinβ t) eα t |
|
|
§13. Ряди |
413 |
|
|
§13. Ряди
Таблиця 13.1 – Числові ряди
Поняття або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
співвідношення, |
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
що визначаються |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Числовий ряд |
u1 + u2 +…+ un +…= ∑∞ |
uk |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
||
n -а частинна сума ряду |
|
|
|
|
|
Sn = ∑n |
|
uk |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ряд збіжний |
|
|
|
|
|
lim Sn |
= S |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Необхідна умова |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо ряд ∑ |
un |
збігається, то |
lim un = 0 . |
||||||||||||||||||||||
збіжності ряду |
|||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
∞ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Достатня умова |
|
|
|
|
|
lim un |
≠ |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
розбіжності ряду |
|
|
|
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a + aq + aq2 +…+ aqn−1 +…= ∑∞ |
|
|
aqn−1 , |
|||||||||||||||||||||
Геометричний ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||||
|
ряд збігається при |
|
q |
|
< 1 , |
S = |
|
a |
|
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1− q |
||||||||||||||||||||||
|
ряд розбігається при |
|
|
q |
|
≥ |
1 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Гармонічний ряд |
1+ |
1 |
+ |
1 |
|
+…+ |
|
|
|
1 |
+…= ∑∞ |
1 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n=1 n |
|
|||||||||
|
ряд розбіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Узагальнений |
|
|
|
n∑=1 |
, |
|
|
|
p |
R , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
гармонічний ряд |
ряд збіжний при |
p > 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ряд розбіжний при p ≤ |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Знакододатний ряд |
|
|
|
∑∞ |
|
un , |
un > 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
414 |
|
|
|
Глава 7. Довідковий матеріал |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продовження таблиці 13.1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ознакипорівняння для рядів |
|
|
|||||
|
|
∑∞ |
un |
(1), ∑∞ |
vn (2), un > 0, vn > 0 |
|
|
|||
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
а) un ≤ vn , n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
якщо ряд (2) збіжний, то ряд (1) збіжний, |
|
|
|
|
||||||
якщо ряд (1) розбіжний, то ряд (2) розбіжний. |
|
|
||||||||
б) lim |
un |
= l ≠ |
0 , то обидва ряди збіжні, або обидва розбіжні. |
|||||||
|
||||||||||
n→ ∞ |
vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достатні ознаки збіжності для ряду ∑∞ |
un , |
un |
> 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
un+1 |
|
= l , |
|
|
|
|
|
|
un |
|
||||
Ознака Даламбера |
|
|
|
n→ ∞ |
|
|
||||
|
l < 1 – ряд збіжний, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
l > 1 – ряд розбіжний, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l = 1 – потрібне додаткове дослідження. |
||||||
|
|
|
|
|
|
lim n un |
= l , |
|
||
Радикальна ознака Коші |
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
|||
l < 1 – ряд збіжний, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
l > 1 – ряд розбіжний, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l = 1 – потрібне додаткове дослідження. |
||||||
|
|
|
|
|
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … |
|||||
Інтегральна ознака Коші |
функція f (x) |
така, що |
f (n) = un , n . |
|||||||
|
+ ∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тоді інтеграл ∫f (x) dx збіжний (або розбіж- |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний) одночасно з заданим рядом. |
||||||
Знакозмінний ряд |
|
|
|
∑∞ |
un , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
|
|
|
|
де un |
– задані числа, як додатні, так і від’ємні. |
|||||
Знакопочережний ряд |
|
u1 − u2 + u3 −…+ (−1)n+1 un +…= ∑∞ |
(−1)n+1 un , un > 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
§13. Ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
415 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продовження таблиці 13.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ознака Лейбніца |
Ряд ∑∞ |
(−1)n+1un |
збігається, якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 > u2 > u3 |
> … та lim un |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
(−1)n−1 |
= 1 |
− |
1 |
+ |
|
1 |
−…+ (−1)n−1 |
1 |
+…. |
||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||
Ряди лейбніцевого |
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
типу |
∞ |
(−1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
∑ |
|
|
= 1 |
− |
+ |
−…+ (−1)n−1 |
|
|
+…. |
|||||||||||||
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n −1 |
||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Це умовно збіжні ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Достатня ознака |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
збіжності |
Якщо ряд ∑ |
|
un |
|
|
збіжний, то збіжний і ряд ∑ un . |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
Ряд ∑∞ |
un |
Якщо ряд ∑∞ |
|
un |
|
|
збіжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд ∑∞ |
un |
Якщо ряд ∑∞ |
un |
|
|
збіжний, а ряд ∑∞ |
|
un |
|
|
розбіжний. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||
умовно збіжний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
416 |
|
Глава 7. Довідковий матеріал |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таблиця 13.2 – Функціональні ряди. Степеневі ряди |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поняття або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
співвідношення, |
|
|
|
|
|
Формула |
|
|||||||||||
що визначаються |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функціональний ряд |
|
|
|
|
|
∑∞ |
un (x) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n -а частинна сума ряду |
|
|
|
Sn (x) = ∑n |
uk (x) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|||
Сума ряду |
|
|
|
S(x) = lim Sn (x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
n -й залишок ряду |
|
|
|
rn (x) = S(x) − Sn (x) = ∑∞ |
uk (x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =n+1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ |
an xn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Степеневий ряд |
|
або |
|
∑∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
an (x − a)n , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
де a, a0 , a1, a2 , … – дійсні числа. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R = lim |
|
|
an |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
an+1 |
|
|||||||||||
Радіус збіжності |
|
або |
|
|
n→ |
|
∞ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
степеневого ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R = lim |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
an |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ряд Тейлора |
|
|
|
|
∞ |
|
f |
(k ) |
(a) |
|
|
|
|
|||||
для функції f (x) |
|
|
|
f (x) = ∑ |
|
|
|
(x − a)k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
k! |
|
|
|
|
|
|
||||
Ряд Маклорена |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
f |
(k) |
(0) |
|
|
|||||
для функції f (x) |
|
|
|
f (x) = ∑ |
|
|
|
|
xk |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
k! |
|
|||||||
Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ex = 1+ x + |
x2 |
+…+ |
xn |
+…= ∑∞ |
xn |
, − ∞ < x < + ∞ , |
||||||||||||
|
n! |
|
||||||||||||||||
2! |
|
|
n =0 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§13. Ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
417 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продовження таблиці 13.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x |
= x |
− |
x3 |
+ |
|
x5 |
|
− |
|
x7 |
|
+ |
…+ |
(−1) |
n |
|
x |
2n+1 |
+…= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
5! |
|
|
|
7! |
|
|
|
(2n + |
1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= ∑∞ |
|
(−1)n |
x2n+1 |
|
, |
|
− ∞ < x < + ∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos x |
= 1 − |
x2 |
+ |
|
x4 |
|
− |
x6 |
|
+…+ (−1)n |
|
x2n |
+…= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= ∑∞ |
|
(−1)n |
x2n |
, − ∞ < x < + ∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1+ x)m = 1+ mx |
+ |
m(m −1) |
x2 +…+ |
|
m(m −1)…(m − n +1) |
xn +…= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 1+ ∑∞ |
|
m(m −1)(m − 2)…(m − n +1) |
xn , |
−1 < x <1, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
= 1− x + x2 − x3 |
+…+ (−1)n xn +…= ∑∞ |
(−1)n xn , −1 < x <1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
= 1+ x + x2 + x3 |
+…+ xn +…= ∑∞ |
xn , −1 < x <1, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln(1+ x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
|
− |
…+ |
(−1)n−1 |
xn +…= ∑∞ |
(−1)n−1 |
xn |
, −1 < x ≤ 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
n |
|
|
|
|||||||||||
|
arctg x = x − |
|
|
x3 |
|
|
x5 |
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+…+ (−1) |
|
|
|
|
|
+…= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
2n +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= ∑∞ |
(−1)n |
|
x2n+1 |
|
, |
|
|
−1 ≤ x ≤ 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
arcsin x = x + |
1 |
|
|
x3 |
|
+ |
|
1 3 |
|
x5 |
+…+ |
1 3 |
… (2n |
−1) x2n+1 |
+…= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 3 |
|
|
|
2 4 5 |
|
2 4 … 2n 2n + |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= x + ∑∞ |
(2n −1)!! |
|
x2n+1 |
, |
|
−1 < x < 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 (2n)!! 2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
де (2n −1)!!= 1 3 … (2n −1), |
(2n)!!= 2 4 … 2n . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§13. Ряди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 13.3 – Ряди Фур’є |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поняття або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
співвідношення, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|||||||||
що визначаються |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
+ |
∑∞ |
(an cosnx + bn sin nx) , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ряд Фур’є |
|
де |
a0 |
= |
1 |
|
π |
f (x) dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
для періодичної функції |
f (x) |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
з періодом 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
an = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
f (x)cosnx dx , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫f (x)sin nx dx |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
bn |
= π |
|
n = 1, 2,… |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ряд Фур’є для парної функції |
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
a0 |
|
+ ∑∞ |
|
|
an cosnx , |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
де a0 |
= |
2 |
|
π |
f (x) dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
|
2 π |
f (x)cosnx dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ряд Фур’є для непарної функції |
|
|
|
|
|
f (x) = ∑∞ |
bn sinnx , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де b |
= |
2 |
|
π |
f (x)sin nx dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
π |
nx |
|
|
|
|
|
π nx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
an cos |
|
|
|
|
|
+ bn sin |
|
|
, |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ряд Фур’є |
|
де |
a0 |
= |
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для періодичної функції |
f (x) |
|
|
|
|
f (x) dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l −∫l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
з періодом 2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
|
π nx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
an |
= |
|
f (x) cos |
dx , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l |
|
|
|
|
π |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
bn = |
|
|
∫f (x)sin |
|
|
|
|
dx , |
n = 1, 2,… |
||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
420 |
|
|
Глава 7. Довідковий матеріал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продовження таблиці 13.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ряд Фур’є для парної функції |
|
|
f (x) = |
a0 |
+ ∑∞ |
an cos |
π nx |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
де a0 = |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
π |
nx |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
an |
= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)cos |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) ряд Фур’є для непарної функції |
|
|
f (x) = ∑∞ |
bn sin |
π nx |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
π |
nx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
∫ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
де b |
= |
|
|
|
|
|
f (x)sin |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фур’є в комплексній формі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) для періодичної функції |
f (x) |
|
|
|
|
|
f (x) = |
∑ |
|
|
Cneinx , |
|
|
|||||||||||
з періодом 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
де Cn |
= |
|
|
f (x)e−inx dx , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0, ±1, ± 2,… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
π nx |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
б) для періодичної функції |
f (x) |
|
|
|
|
|
f (x) = |
∑ |
|
|
Cne |
l |
, |
|
||||||||||
з періодом 2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l f (x)e− |
π |
nx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i dx , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
де Cn |
= |
|
|
l |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 0, ±1, ± 2,… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ ∞ |
+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Інтеграл Фур’є: |
|
f (x) = |
|
∫dα |
∫f (t)cosα (t − x) dt |
||||||||||||||||||
|
|
π |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) якщо |
f (x) |
– парна, |
|
f (x) = |
|
∫ |
∫f (t)cosα |
t dt cosα x dα |
||||||||||||||||
|
π |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∞ |
+ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) якщо |
f (x) |
– непарна, |
|
f (x) = |
|
|
∫ |
∫f (t)sinα |
t dt |
sinα x dα |
||||||||||||||
|
π |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|