§ 70. Пояснения к идее чистого учения о многообразии

Эти намеки покажутся, быть может, несколько за­темненными. Что дело идет тут не о смутных фанта­зиях, а о концепциях с прочным содержанием, пока­зывает «формальная математика» в самом общем смысле, или учение о многообразии,этот плод выс­шего расцвета современной математики. И действительно, это учение есть не что иное как частичное осуществление только что намеченного идеала. Этим, разумеется, еще не сказано, что сами математики, ру­ководимые первоначально интересами области чисел и величин и ограниченные этими интересами, пра­вильно поняли идеальную сущность новой дисцип­лины и вообще возвысились до последней абстракции всеобъемлющего учения о теориях. Предметный кор­релят понятия возможной, определенной только по своей форме теории есть понятие возможной обла­сти познания вообще, подчиненной теории такой формы.Но такую область математик (в сво­ем кругу) называет многообразием.Это есть, стало быть, область, которая единственно и исключитель­но определяется тем, что она подчинена теории та­кой-то формы,т. е. что для ее объектов возможныизвестныесвязи, подчиненные известнымоснов­ным законам данной определеннойформы (здесь это есть единственно определяющее). По своему содержа­нию эти объекты остаются совершенно неопределен­ными - математик, чтобы указать на это, охотно го­ворит об «объектах мышления». Они не определены ни прямо, как индивидуальные или специфические цинич­ности, ни косвенно своими внутренними видами или родами, а исключительно только формойпризнан­ных за ними связей. Эти последние по содержанию так же мало определены, как и их объекты; определена только их форма, и она определяется именно формой элементарных законов, действие которых усматрива­ется в ней. И эти законы определяют как область, так и выстраиваемую теорию или, вернее, форму тео­рии.В учении о многообразии, например, + есть не знак сложения чисел, а знак такого соединения вооб­ще, к которому применимы законы формыа+b=b+а ит. д. Многообразие определено тем, что его объекты мышления допускают эти «операции», как и другие, о которых можно доказать, что они a priori совмести­мы с первыми.

Самая общая идея учения о многообразиисо­стоит в том, чтобы быть наукой, которая определен­ным образом развивает существенные типы воз­можных теорий и исследует их закономерные взаимоотношения. Тогда все действительные теории являются специализациями и сингуляризациями со­ответствующих им форм теории, как и все теорети­чески обработанные области познания - отдельны­мимногообразиями. Если в учении о многообразии действительно проведена соответствующая формаль­ная теория, то этим исчерпана вся дедуктивная теоре­тическая работа построения всех действительных те­орий той же формы.

Эта точка зрения имеет величайшее методологи­ческое значение, без нее нельзя и говорить о пони­мании математических методов. Не менее важно свя­занное с переходом к чистой форме включение последней в более широкие формы и классы форм. Что именно в этом приеме заключается главный ис­точник удивительного методологического искусст­ва математики, показывает не только взгляд на уче­ния о многообразии, которые выросли из обобщений геометрической теории и формы теории, но даже первый и самый простой случай этого рода, расши­рение реальной области чисел (или соответствующей формы теории, «формальной теории реальных чи­сел») и превращение ее в формальную, удвоенную область простых комплексных чисел. И действитель­но, в этом воззрении лежит ключ к единственно воз­можному разрешению все еще невыясненной про­блемы, на каком основании, например, в области чисел с невозможными (недействительными) поня­тиями можно обращаться, как с реальными. Однако здесь не место подробно развивать это.

Говоря выше о теориях многообразии, возникших из обобщений геометрической теории, я разумел, конечно, учение о многообразиях пизмерений - Эвклидовых и не-Эвклидовых, далее, учение Грассмана о протяжении и родственные, легко отделимые от всего геометрического, теории В. А. Гамильтона и др. Сюда же относится учение Lie о трансформацион­ных группах, исследования G. Cantor'a о числах и многообразиях и многие другие.

Рассматривая способ, которым посредством ва­рьирования меры кривизны совершается взаимный переход между различными видами пространствен­но-подобных многообразии, философ, изучивший начала теории Римана-Гельмгольца, может соста­вить себе некоторое представление о том, как чис­тые формы теории определенно различного типа соединяются между собой закономерными связями. Было бы легко показать, что познание истинного за­мысла подобных теорий как чисто категориальных форм теорий изгоняет всякий метафизический ту­ман и всякую мистику из соответственных матема­тических исследований. Если мы назовем простран­ством некоторую известную нам форму порядка мира явлений, то, разумеется, противоречиво гово­рить о «пространствах», для которых не имеет зна­чения аксиома о параллелях; противоречиво также говорить о различных геометриях, поскольку гео­метрия есть именно наука о пространстве мира яв­лений. Но если мы под пространством понимаем категориальную формумирового пространства, и под геометрией - категориальную теоретическую форму геометрии в обычном смысле, тогда про­странство входит в подлежащий закономерному от­граничению вид категориально-определенных мно­гообразии, в отношении которого естественно можно говорить о пространстве в более широком смысле. И геометрическая теория тоже входит в со­ответствующий вид теоретически связанных и чис­то категориально определенных форм теории, ко­торые тогда в соответственно расширенном смысле можно называть «геометриями» этих «простран­ственных» многообразии. Во всяком случае учение о «пространствахпизмерений» осуществляет теорети­чески замкнутую часть учения о теориях в опреде­ленном выше смысле. Теория Эвклидова многообра­зия о трех измерениях есть последняя идеальная единичность в этом закономерно связанном ряду ап­риорных и чисто категориальных форм теорий (формальных дедуктивных систем). Само это много­образие есть в отношении «нашего» пространства, т. е. пространства в обычном смысле, соответствую­щая ему чисто категориальная форма, стало быть, идеальный вид, по отношению к которому наше про­странство составляет, так сказать, индивидуальную единичность, а не видовое различие. Другой гранди­озный пример есть учение о комплексных системах чисел, в пределах которой теория «простых» комп­лексных чисел есть опять-таки сингулярная единич­ность, последнее видовое различие. В отношении со­ответствующих теорий арифметика совокупности, арифметика порядковых чисел, арифметика quantité dirigée и т. п. представляют собой все в известном смысле индивидуальные единичности. Каждой из них соответствует формальная видовая идея, в дан­ном случае учение об абсолютных целых числах, о реальных числах, о простых комплексных числах и т. д., причем «число» следует понимать в обобщенно-формальном смысле.