Первая глава. Познание телесного мира в понятиях.

1. “Zur Lehre von der Definition” (1888).

2. “Der Gegenstand der Erkenntnis” (1892). Изложение и обстоятельный разбор этого построения “теории познания, носящей совершенно этическую окраску”, к которому “логически-последовательно” должны были прийти представители телеологического критицизма, сливающего истинное и должное в одно понятие “общеобязательного”, русский читатель может найти в предисловии П. Б. Струве к книге г-на Н. Бердяева “Субъективизм и индивидуализм в общественной философии. Критический этюд о Н. К. Михайловском” (СПб, 1901. С. XL—L).

3. “Zur Theorie der naturwissenschaftlichen Begriffsbildung” (1894).

4. “Kulturwissenschaft und Naturwissenschaft” (1899).

5. “Die Geltung des Begriffs”.

6. Зигварт подчеркивает, что “всякое логическое определение есть определение номинальное: требование определения реального основывается на смешении задач метафизической и логической”, и трактует определение как “суждение, в котором значение представляющего понятие слова приравнивается к значению сложного выражения, показывающего отдельные признаки понятия и род их синтеза при посредстве отдельных составляющих выражение слов и рода их грамматического отношения; уравнение между двумя обозначениями одного и того же понятия, которое именно потому и обратимо” (см.: Sigwart Ch. Logik. Bd. I. § 44).

7. Это предположение Риккерта о неприложимости трансфинитных чисел к действительности отнюдь не разделяется самим основателем “теории трансфинитных чисел”. Считаю необходимым резюмировать основные положения этой теории (конечно, в выражениях самого Г. Кантора), поскольку такое резюмирование осуществимо без приведения специальных математических доказательств положений этой теории. В статье “О бесконечных многообразиях точек” Г.Канторговорит: “Изложение моих исследований по теории многообразия^*дошло до такого пункта, где его продолжение требует расширения понятия действительного целого числа за до сих пор полагаемые ему пределы, при чем это расширение совершается в таком направлении, в котором его, насколько мне известно, никто не пытался производить... Речь идет о продолжении ряда действительных целых чисел далее бесконечности и, как бы смелым это ни казалось, я не могу не выразить не только надежды, но и твердого убеждения, что со временем это расширение понятия числа придется признать совершенно простым, целесообразным и естественным. Что касается математического бесконечного, поскольку оно по сию пору находило себе законное применение в науке и способствовало пользе последней, оно, как мне кажется, играло роль главным образом в значении некоторой переменной — или возрастающей далее всякого предела, или как угодно убывающей, но всегда остающейся конечной величины. Я называю это бесконечное бесконечным в переносном смысле (das Uneigentlich–unendliche). Но наряду с ним за последнее время как в геометрии, так и в теории функций в частности, выработался иной, столь же правомерный род понятий о бесконечности. Так, например, при исследовании аналитической функции комплексной переменной величины необходимо — и это стало общепринятым — мыслить на плоскости комплексного переменного одну единственную, бесконечно удаленную, но определенную точку и исследовать характер функции в окрестности этой точки точно так же, как и в окрестности любой иной точки; при этом оказывается, что характер функции в окрестности бесконечно удаленной точки представляет как раз такие же свойства, как и во всякой другой, расположенной на конечном расстоянии точке, так что отсюда вытекает, что вполне правомерно мыслить бесконечное в этом случае в совершенно определенной точке. Если бесконечное является в такой определенной форме, я называю его бесконечным в подлинном смысле (das Eingentlich–unendliche). Эти два вида бесконечного следует строго отличать друг от друга для понимания дальнейшего. В первой форме, как бесконечное в переносном смысле, оно представляется переменным конечным, во второй форме, в которой я называю его бесконечным в подлинном смысле, оно является как совершенно определенное бесконечное. Бесконечные действительные целые числа — которые я определяю далее и к допущению которых я пришел уже много лет тому назад, не сознавая однако, что это есть конкретные числа, имеющие реальное значение, которые я называл до сих пор “определенными символами бесконечности” (bestimmt definierte Unendlichkeitsymbole)¹⁵⁹— не имеют решительно ничего общего с первой из этих двух форм, с бесконечным в переносном смысле. Напротив того, им свойствен тот же характер определенности, какой мы находим в бесконечно удаленной точке в аналитической теории функций, стало быть, они принадлежат к видам бесконечного в подлинном смысле. Но тогда как бесконечно удаленная точка на плоскости комплексного переменного одиноко противостоит всем расположенным на конечных расстояниях точкам, у нас получается не одно только единственное бесконечное число, но бесконечный ряд бесконечных чисел, которые отличны друг от друга и находятся в закономерных отношениях как друг к другу, так и к конечным целым числам, причем рассмотрение этих отношений составляет задачу теории чисел. Эти отношения отнюдь не сводимы к отношениям конечных чисел друг к другу, ... но по существу дела отличаются от зависимостей, существующих между конечными числами, хотя мыслимо, что сами конечные действительные числа могут получить некоторые новые определения благодаря определенно-бесконечным числам. Те двапринципа образования чисел, при помощи которых определяются новые определенно бесконечные числа, таковы, что благодаря их совокупному действию можно преодолеть всякий предел при образовании действительных целых чисел. К счастью, однако, к ним присоединяется третий принцип, который я называю принципом ограничения, благодаря которому совершенно бесконечному процессу образования полагаются известные последовательные пределы, так что у нас получаются естественные отделы в абсолютно-бесконечной последовательности целых действительных чисел, и эти отделы я называю классами чисел.”¹⁶⁰

Первыйкласс чисел (I) — множество конечных чисел:1, 2, 3, ..., , ...; за ними следуетвторойкласс чисел (II), состоящий из известных, следующих друг за другом в определенной последовательности, бесконечных целых чисел; затем, лишь после определения второго класса чисел, мы переходим к третьему, четвертому и т.д. классам чисел. После этого Кантор определяет понятие “мощности” (Mдchtigkeit), свойственной всякому “множеству” (Mеnge), как то общее понятие, которое вытекает из “множества”М(то есть всякого объединенияМопределенных различных объектовmнашего воззрения или нашего мышления, которые называются “элементами”М,в некоторое целое) благодаря нашей активной мыслительной способности таким образом, что мы отвлекаемся при рассмотрении множества от природы его различных элементовm, “а также и от всех отношений элементов как друг к другу, так и к другим вещам, стало быть, в частности, и от порядка, в котором расположены элементы, и обращаем внимание лишь на то, что есть общего во всех множествах,эквивалентныхМ. А два множества я называю эквивалентными, когда они могут быть взаимно приурочены друг к другу, элемент к элементу”¹⁶¹. Оказывается, что для конечных множеств мощность совпадает счисломэлементов, ибо такие множества имеют одно и то же число элементов при любом их порядке (Anordnung). Когда же речь идет о бесконечных множествах, то до сих пор вообще не было речи о точно определенном количестве элементов, но и им можно было приписать определенную, совершенно независимую от порядка элементов мощность. Наименьшую мощность бесконечных множеств надлежало приписать тем множествам, которые взаимооднозначно соответствуют первому классу чисел и поэтому имеют с ним одинаковую мощность.

Далее Кантор определяет мощности высшего порядка и вводит понятие “количество (Anzahl) элементов упорядоченного (wohlgeordnete) бесконечного многообразия”. Существеннейшее различие между конечными и бесконечными множествами оказывается в том, что конечное множество представляет одно и то же количество элементов прилюбойпоследовательности, которую можно дать их элементам, напротив того, множеству, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют различные количества элементов, в зависимости от той последовательности, в которой берутся элементы... Каждое множество, обладающее мощностьюпервого класса, исчислимо при посредстве чиселвторого классаи лишь при посредстве таковых, и притом множеству всегда может быть придана такая последовательность его элементов, что в этой последовательности оно исчисляется любым данным числом второго класса чисел, выражающим количество элементов множества по отношению к этой последовательности. Аналогичные же законы имеют силу и для множеств высших мощностей. Так всякое упорядоченное множество мощностивторогокласса исчислимо при посредстве чиселтретьего классаи лишь при посредстве таковых, множеству также всегда может быть придана такая последовательность его элементов, что оно в этой последовательности исчисляется при посредствелюбого данного числа третьего классачисел, определяющего количество элементов множества по отношению к указанной последовательности.

Основным понятием всего учения о многообразии оказывается понятие упорядоченного множества(wohlgeordnete Menge)... Из этого понятия простейшим образом вытекают основные действия с целыми, конечными или определенно-бесконечными числами, и законы этих действий выводятся с аподиктической достоверностью из непосредственной интуиции (innere Anschauung). Пусть даны два упорядоченные множестваМиМ¹, которым, как количества элементов, соответствуюти , тогдаM + M¹, опять-таки есть упорядоченное множество, возникающее, если сперва полагается множествоM, а затем полагается множествоM¹и присоединяется к множествуM. В таком случае множествуM + M¹по отношению к имеющейся тогда последовательности его элементов соответствует, как количество элементов, определенное число: это число называется суммой ии обозначается +  ; при этом оказывается, что еслиине являются оба конечными, то + вообще отлично от + . Итак,коммутативныйзакон перестает вообще иметь силу уже для сложения... Ассоциативный закон в целом оказывается имеющим силу. В частности, + ( + ) = ( + ) +  ...

При этом вообще отлично от ; и напротив того, ()=( ) . Некоторые из новых чисел отличаются от других тем, что они суть числа первоначальные, но здесь свойство последних должно быть охарактеризовано более определенно, причем под первоначальным числом разумеется такое число, для которого разложение =, гдеесть множитель, возможно не иначе, как в случае, если = 1 или = .Напротив того, множимое остается до некоторой степени неопределенным и когда речь идет о первоначальных числах... Оказывается, что существуют два рода определенно бесконечных первоначальных чисел, из которых один более приближается к конечным первоначальным числам, тогда как первоначальные числа второго рода имеют совершенно иной характер¹⁶²... “Я нахожу точки соприкосновения с моими взглядами в философских воззрениях Платона, Николая Кузанского и Джордано Бруно. Но существенное различие состоит в том, что я раз и навсегда фиксирую в понятиях различные градации бесконечного в подлинном смысле в классах чисел (I), (II), (III) и т.д. и впервые ставлю перед собой задачу не только математически исследовать отношения трансфинитных чисел, но и констатировать и прослеживать их всюду, где онивстречаются в природе”. Далее, разбирая возражения Аристотеля против реальности бесконечного, Кантор говорит: “К бесконечному числу, если оно мыслится, как определенное и законченное, конечно, может быть прибавлено и соединено с ним конечное число, причем последнее вовсе не уничтожается; напротив того, бесконечное число видоизменяется благодаря такому присоединению к нему конечного числа; лишь обратный процесс, присоединение бесконечного числа к конечному, если это последнее полагается сперва, вызывает уничтожение его, причем бесконечное число не изменяется. Это истинное отношение между конечным и бесконечным, которое совершенно упустил из виду Аристотель, могло бы оказаться плодотворным не только в анализе, но и в других науках, в особенности в естествознании...”

“К мысли о том, чтобы рассматривать бесконечно великое не только в форме неограниченно возрастающих и в находящейся в тесной связи с нею форме впервые введенных в 17 столетии сходящихся бесконечных рядов, но и в определенной форме законченно-бесконечного, и математически фиксировать его в числах, я после многолетних усилий и попыток логически принужден был прийти почти вопреки своему желанию, так как эта мысль находилась в противоречии со ставшими дорогими мне традициями. Говоря о традициях, я имею в виду в особенности мнения основателей новейшей философии^*. Более убедительных оснований против введения бесконечных чисел, как те, которые сформулированы этими писателями, и теперь нельзя придумать... Как ни различны учения этих авторов, они согласны между собой по вопросу о конечном и бесконечном в том отношении, что понятие числа требует его конечности... Я же утверждаю, что за конечным и бесконечным находитсяtransfinitum(которое можно назвать такжеsuprafinitum) — то есть неограниченная градация модусов, которые по своей природе не конечны, а бесконечны, но которые — так же, как и все конечное — могут быть определены при посредстве вполне определенных и отличных друг от друга чисел. Итак, по моему убеждению, конечными величинами не исчерпывается область допускающих определение величин...

Если есть первое число второго класса чисел, то имеем:1 +  =  .Напротив того, + 1 = ( + 1), где( + 1)есть число, вполне отличное от . Итак, вся суть заключенав положении конечного относительно бесконечного... В силу совершенно своеобразной природы новых чисел часто в одном и том же числе совмещаются признаки, оказывающиеся диспаратными, когда речь идет о конечных числах... Число =  2и = 1 +  . Итак,может рассматриваться и как четное, и как нечетное число. С другой точки зрения, если2берется как множитель, можно сказать, также, чтоне есть ни четное, ни нечетное число, так какне может быть представлено ни в форме2, ни в форме2 + 1”.

Затем Кантор характеризует отношение своей теории “бесконечного в подлинном смысле” к воззрениям Спинозы(в частности к теории модусов последнего),Лейбница, в особенности жеБольцано¹⁶³.

“Классычисел получаются следующим образом: ряд целых положительных действительных чисел1, 2, 3... , ...возникает благодаря повторяемому полаганию (Setzung) и объединению единиц, числоесть выражение как для определенного конечного количества таких следующих друг за другом единиц, так и для объединения полагаемых единиц. Итак, образование конечных целых действительных чисел основывается на принципе присоединения единицы к имеющемуся уже образованному числу; я называю этот момент, играющий роль и при образовании целых чисел высших классов,первым принципом образования. Количество чисел класса (I), которые должны быть образованы таким образом, бесконечно велико, и среди них нет наибольшего числа. Как ни противоречиво было бы, следовательно, говорить о наибольшем числе класса (I), однако, с другой стороны, нет ничего странного мыслить себе некотороеновоечисло — назовем его^*, — которое должно служить выражением того, что дана вся совокупность (I) в ее естественной закономерной последовательности¹⁶⁴(подобно тому, какслужит выражением того, что некоторое конечное количество единиц сочетается в одно целое). Можно даже мыслить себе вновь образованное числокак предел, к которому стремятся числа, если под этим разуметь не что иное, как то, чтодолжно бытьпервымцелым числом, которое следует за всеми числами, причем —всегда равно “¹⁶⁵, то есть должно быть названо большим, чем каждое из чисел. Затем, с помощью первого принципа образования чисел получаются дальнейшие числа:

 + 1,  + 2, ... ,  + , ...

Так как при этом у нас не получается наибольшего числа, то мы мыслим себе новое число, которое можно назвать 2и которое должно быть первым числом, следующим за всеми предшествовавшими числамии +. Применяя затем к числу2первый принцип, последовательно получаем как продолжение предшествовавших чисел:

2 + 1,2 + 2, ... ,2 + , ...

Очевидно, что логическая функция, благодаря которой мы получили оба эти числа (и2), отлична от первого принципа образования; я называю еевторым принципомобразования целых действительных чисел и определяю этот принцип таким образом: если имеется какая-либо определенная последовательность определенных целых действительных чисел, из которых нет наибольшего, то на основании этого второго принципа образования образуется новое число, которое мыслится, какпределупомянутых чисел, то есть определяется, как ближайшее большее всех их число.

Благодаря комбинированному применению обоих принципов последовательно получаются следующие продолжения наших до сих пор образованных чисел:

3 , 3  + 1, ... , 3  +  , ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 ,  + 1, ... ,   +  , ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Но и этим не достигается завершение, так как из чисел  + равным образом ни одно не есть наибольшее. Итак, второй принцип образования побуждает нас к введению ближайшего, следующего за всеми числами + числа, которое можно назвать ². К нему в определенной последовательности примыкают числа

 ² +  +  ,

и, применяя оба принципа образования чисел, мы, очевидно, приходим к числам следующей формы:

₀ ^ + ₁ ^—1 + ... + _—1+_{ .}

Но второй принцип побуждает нас затем к полаганию нового числа, которое должно быть ближайшим большим, чем все эти числа, и которое можно обозначить  ^ .

Образование новых чисел не имеет конца; благодаря применению обоих принципов образования получаются все новые числа и ряды чисел, имеющие вполне определенную последовательность. Сперва кажется, будто при этом способе образования новых целых определенно-бесконечных чисел мы не в состоянии хотя бывременно известным образом завершитьэтот бесконечный процесс, чтобы получить посредством этого ограничение, аналогичное тому, которое, по отношению к классу чисел (I), в известном смысле фактически существовало: там применялся лишь первый принцип образования и из-за этого было невозможно выйти из ряда (I). Новторойпринцип образования чисел должен был не только вести за пределы прежней области чисел, но и, во всяком случае, оказываться средством, которое в соединении спервымпринципом дает возможностиидти далее всякого пределав образовании понятий целых действительных чисел.

Заметим однако, что все до сих пор полученные числа и непосредственно следующие за ним удовлетворяют одному условию. Если это условие обращается в требование, которому должны удовлетворять все числа, с необходимостью образованные непосредственно за этим, оказываетсятретьимпринципом, присоединяющимся к двум вышеупомянутым: мы назовем его принципомзадержкиилиограничения. Этот принцип обусловливает, что определяемый при его участии второй класс чисел не только получает более высокую мощность, чем (I), но и ближайшую мощность, стало быть, вторую.

Упомянутое условие, которому удовлетворяет каждое из определенных до сих пор бесконечных чисел  , заключается в том, что множество чисел, предшествующих этому числу в последовательности предшествующих чисел имеет мощность первого класса чисел (I) ... Мы определяем второй класс чисел (II)как совокупность всех образуемых с помощью обоих принципов образования следующих друг за другом в определенной последовательностичисел :

,  + 1, ... , ₀ ^ + ₁ ^—1 + ... + _—1 + _ , ... , ^, ... , ...

Эти числа подчинены условию, что все предшествующие числу числа, от 1, образуют множество, имеющее мощность класса чисел (I), причем, ₀ ,₁ , ... ,_принимают все конечные целые численнные значения, включая нуль, за исключением комбинации:

₀ =₁ = ... = _ =

Новый класс (II) имеет мощность, отличную от мощности первого класса чисел (I) ...

При соблюдении трех вышеупомянутых принципов можно с наибольшей уверенностью и очевидностью получать все новые и новые классы чисел



за следует



 

 

 и т. д. без конца.

И весьма важно заметить, что эту вавилонскую башню так называемых трансфинитных чисел можно воздвигать не только потому, что бумага все терпит и математики мнят себя обладающими в некоторых буквах с рядом точек между ними адекватными символами бесконечности, но для любого из трансфинитных чисел можно указать исчислимое им и таким образом придать его понятию реальность. Примером множества, мощность которого выше первой, служит совокупность всех дробей и алгебраических иррациональных чисел и, кроме того, тех иррациональных чисел, которые не могут быть решениями алгебраических уравнений (трансцендентных чисел)^*. При помощи их я доходил до всехвстречающихся в телесной и духовной природе различных, последовательно восходящих мощностей, и получаемые при этом новые числа в таком случае всегда обладают совершенно такой же конкретной определенностью и вещественной реальностью, как прежние числа. И я право не знаю, что должно было бы удерживать нас от этого образования новых чисел, коль скоро оказывается, что для прогресса наук введение какого-либо нового из этих бесчисленных классов чисел при исследованиях стало желательно или даже необходимо”.

Впервые на существенное отличие между конечными и бесконечными множествами Г. Кантор указал в 84 томе журнала Крелля в 1877 г. (С. 242). Теория действий с мощностями изложена им в журнале “Математические анналы” (см: Mathematische Annalen. 1895. Вd. 46). Там же дано и более строгое обоснование вышеизложенных принципов при помощи теории “типов порядка” и “основных рядов”. Ср. так же статью Б. Керри “Об исследовании Г. Кантором многообразия” (см.: Kerry B.  Ьeber G. Cantor's Mannigfaltigkeitsuntersuchungen // Vierteljahrschrift fьr wissenschaftliche Philosophie. 1885). Кроме того, Г. Кантор поместил в 88, 90 и 91 томах “Журнала по философии и философской критике” работу “Сообщения по учению о трансфинитном” (см.: Cantor G. Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten // Zeitschrift fьr Philоsophie und рhilоsophische Kritik, Bde. 88, 90, 91), где он дает разъяснения по поводу различных недоумений и возражений, вызванных его теориями, подчеркивая, что “понятие  совершенно чуждо всякой неопределенности, что в нем нет ничего переменного, ничего потенциального”, что оно — “не апейрон (), но афорисменон (), как и все другие трансфинитные числа”, что “оно, подобно всякому конечному числу, например 1 или 3, образует противоположность неопределенным знакам x, a, b счисления при помощи букв” и протестуя против смешения понятий у Вундта¹⁶⁶, не разобравшегося в основном различии между бесконечным в переносном смысле = переменным бесконечным = sykkategorematice infinitum () и бесконечным в подлинном смысле = transfinitum = закончено-бесконечным = бесконечно сущим = kategorеmatice infinitum”. По мнению Кантора, “Вундт ошибается, полагая, что transfinitum не имеет никакого физического значения”. Кантор протестует и против сближения своих работ с новейшими “математическими умозрениями”. Статьи Г. Кантора изданы Миттаг-Леффлером (см.: Acta mathematica. H. II).

8. В своем замечательном исследовании “Платоновское учение об идеях. Введение в идеализм” (1903) Наторп обстоятельно доказывает несостоятельность традиционного, восходящего к Аристотелю, понимания “идей” как “общих вещей”, в котором он видит “вечную неспособность догматизма вообще вникнуть в точку зрения критической философии” (см.: Natorp P. Plato’s Ideenlehre. Eine Einfьhrung in Idealismus. S. 366).

9. См. также: В. Вундт. Система философии. С. 275 и след.

10. См. также “Лекции по натурфилософии” Оствальда (Vorlesungen ьber Naturphilosophie von W. Ostwald. 1902). Критическое обсуждение “энергетизма” содержится у Вундта (см.: В. Вундт. Система философии. С. 299-304).

11. Ср. однако замечание Д. И. Менделеева: “В периодическом законе столь же мало видно указаний на единую материю и на сложность наших элементарных тел, как и в закономерностях Авогадро–Жерара, или хотя бы в законе теплоемкости, даже в выводах самой спектроскопии... Из всего выше сказанного, равно как из тщетности или неcостоятельности множества попыток найти опытные и умозрительные доказательства мысли о сложности элементов и о первичной материи, по моему мнению, очевиден тот вывод, что эта мысль должна быть ныне отнесена к числу утопических... Химия нашла ответы на вопросы о причине множества, и она, придерживаясь понятия многих элементах, подчиненных дисциплине общего закона, указывает выход из индийского исчезания во всеобщем, дает свое место индивидуальному. Это место индивидуальности при этом столь ограничено охватывающим, всесильным — всеобщим, что составляет не более как точку опоры для того, чтобы понять множество в единстве” (см.: Лекция о Фарадее в английском химическом обществе 23 мая — 4 июня 1889 г. проф. Д. Менделеева). Ср. также: Н. Меншуткин. Очерк развития химических воззрений. 1888. С. 333 и сл.; глава “Гипотезы о сложности элементов”.

12. См.: Н. А. Умов. Вопросы познания в области естественных наук // Вопросы философии и психологии. 1894. Март. Вып. XXII.