Глава 9

цирует q", где р и q — суждения, содержащие одну или более переменных, одинаковых для обоих суждений, и ни р, ни q не содержат никаких констант, за исключением логических». «Константа» определяется здесь как «нечто абсолютно определенное, относительно чего существует полная ясность». Так, Сократ в выражении «Сократ (есть) человек» — «константа», в отличие от л: в выражении «если х (есть) человек, то х (есть) смертей», где х не указывает на конкретного человека, а потому является «переменной».

Рассел признает, что трудно точно установить, что подразумевается под «переменной». То же самое верно, допускает он, и для «логической константы» — той особого рода константы, которая одна встречается в суждениях чистой математики15. (Он имеет в виду примерно следующее: математические суждения утверждают, что то, что обладает некоторой общей структурой, должно обладать также некоторой другой структурой; они не указывают на ту или иную особую конкретную сущность (entity). Как он скажет впоследствии, «имена собственные не играют никакой роли в математике». Такова расселовская версия платоновско-картезианской теории, согласно которой математика имеет дело с «сущностями», а не с «существованиями».)

Если «логические константы» носят настолько фундаментальный характер, что не поддаются определению, то их можно, считает Рассел, по крайней мере перечислить. Первоначальный их перечень у Рассела таков: «Импликация, отношение термина к классу, чьим членом он является, понятие такой, что, понятие отношения и другие такие понятия, которые могут входить в общее понятие о суждениях одной и той же формы». Эти другие понятия — «пропозициональная функция, класс, обозначение и термин "любой" или "всякий"». Мы остановимся лишь на пяти наиболее важных из перечисленных констант — на понятиях пропозициональной функции, импликации, отношения, класса и обозначения.

Под «пропозициональной функцией» Рассел подразумевает выражение типа «х (есть) человек», как таковое не являющееся ни истинным, ни ложным; оно преобразуется в суждение в результате подстановки, например, Сократ вместо х. Теория импликации Рассела зиждется на различии между суждением и пропозициональной функцией. Импликация, говорит он, может быть «материальной» или «формальной». Суждение р материально имплицирует суждение q в том случае, если невозможно, что р истинно, а q ложно. Таким образом, материальная импликация есть отношение между суждениями. Формальная же импликация есть отношение между пропозициональными функциями; так, «х (есть) человек» формально имплицирует «х (есть) смертей». И точно так же, как пропозициональную функцию можно рассматривать как класс суждений (всех суждений, содержащих предикат «(есть) человек»), формальная импликация есть класс материальных импликаций. Таким образом, «"х (есть) человек" формально имплицирует "х (есть) смертей"» утверждает класс материальных импликаций «"Джонс (есть) человек" материально имплицирует "Джонс (есть) смертей",. "Смит (есть) человек" материально имплицирует "Смит (есть) смертей"...».

Рассел не признает других разновидностей импликации. Он доказывает, что «q может быть дедуцировано из р» означает в точности то же, что «р

==169

материально имплицирует q», — даже если отсюда следует, как мы уже видели*, что любое суждение может быть дедуцировано из ложного суждения — и что истинное суждение может быть дедуцировано из любого суждения. Однако Мур (в статье «Внешние и внутренние отношения») назвал отождествление Расселом материально имплицированного и дедуцированного из «просто вопиющей ошибкой». Для обозначения отношения между р и q, о котором можно сказать, что q должно быть истинно, если истинно р, он ввел слово «следует» («entails»), которое сегодня стало общеупотребительным философским термином.

Рассел и сам, в первой из статей о Мейнонге, обнаруживает признаки затруднения, особенно относительно следствия о «взаимной импликации всех истинных суждений». «Необходимо признать, — пишет он, — что односторонние выводы можно сделать практически во многих случаях и что, следовательно, такой вывод предполагает иное отношение, нежели то, что принадлежит к компетенции символической логики». Но он полагает, видимо, что нежелательные последствия его отношений с импликацией можно «подбросить на порог» эпистемологии, с тем чтобы символическая логика могла и дальше жить весело и беззаботно.

В вопросе об отношениях Рассел мало что добавляет к позиции Пирса, если не считать ясности изложения16. Но, безусловно, именно благодаря его вниманию к суждениям об отношениях они попали в поле зрения философов. Сходным образом в теории классов и принадлежности к классу он идет сначала след в след за своими непосредственными предшественниками. Именно в терминах классов он предлагает определять натуральные числа, а затем — и все фундаментальные понятия арифметики. Математики, в частности Пеано, уже провозгласили, что все другие числа можно определить в терминах натуральных чисел; если бы Расселу удалось определить натуральные числа в терминах классов, то он доказал бы, по его мнению, что математика не нуждается в числовых константах, отличных от чисто логических.

Рассел определяет кардинальное число (мощность класса) — которое, по его словам, всегда есть число членов класса — как «класс всех классов, сходных с данным классом»; так, класс включает шесть членов, если он принадлежит к классу, к которому принадлежат все сходные классы. Слово «сходный» имеет здесь специальный смысл и означает «имеет такое же число членов, как». Поэтому Рассел должен был ответить на возражение, что его определение содержит порочный круг, что он определяет число членов класса как тот класс, к которому принадлежат все классы с таким же числом членов. Он отвечает, что может определить «сходство» или «обладание тем же числом членов» без использования числовых терминов, поскольку два класса имеют одинаковое число членов, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, утверждает он далее, не нужно число один; это отношение налицо в том случае, когда, если х связан этим отношением с у и х1 связан этим же отношением с у, то х и х1 тождественны, и если х связан этим отношением с у и y1, то у и у1 тождественны. Например, сказать,

См. выше, гл. 6.

==170