Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
философия / Учебники / Пассмор / Сто лет философии.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
24.07.2017
Размер:
1.69 Mб
Скачать

Глава 17

символы представляют для метаматематика лишь пометки на бумаге. Формализовав математику, метаматематик затем может перейти к рассмотрению вопроса — не возникают ли противоречия при выведении следствий из данного конкретного набора аксиом, т. е. не выводятся ли из системы противоречащие друг другу формулы. Если никакого такого противоречия вывести нельзя, то формальная система является непротиворечивой. Более того, — и это доказывает ценность метаматематики — должна быть непротиворечивой и любая система, задающая с помощью коррелятивных определений интерпретацию для ее символов в виде определенного класса объектов, например в виде натуральных чисел. Таким образом, считает Гильберт, непротиворечивость обычной математики можно обосновать, доказав непротиворечивость полностью формализованной системы.

Для выполнения этой программы формалисту нужен общий метод установления «логической истинности» (доказуемости) формулы в его системе. Поскольку нельзя просто ждать, когда противоречия сами в конце концов обнаружат себя, формалист должен доказать, что они не могут возникнуть в его системе, а это будет доказано только в том случае, если в отношении каждой формулы он сможет с полной определенностью сказать, является ли она «доказуемой» в его системе или нет. Поэтому столь большой интерес вызвал полученный Куртом Гёделем (в 1931 г.) результат, согласно которому система, подобная «Principia Mathematica», а по существу, любая система, достаточно богатая, чтобы включать в себя арифметику, должна содержать высказывания, «недоказуемые» в данной системе. Теперь стало понятным, почему формалисты столкнулись со столькими трудностями при доказательстве непротиворечивости арифметики; эту задачу в том виде, как они ее себе представляли, никогда не удастся решить уже в силу самой ее природы 5. Хотя формалистам пришлось отказаться от своих чрезмерных замыслов, последние тем не менее оказали непреходящее влияние на развитие символической логики. Многие логики убеждены, что ни одна логическая теория не заслуживает даже минутного внимания, если она не представлена в виде формальной аксиоматизированной системы.

Если в философии математики Гильберта математическим образцом выступает чистая аксиоматизированная геометрия, то для интуиционистов, напротив, образцом служит «математическая индукция». Две характеристики математической индукции оказались особенно привлекательными для интуиционистов; во-первых, будучи методом, позволяющим делать выводы относительно всех чисел, она нигде не опирается на допущение о существовании актуальной совокупности чисел — о существовании «актуального бесконечного»; а во-вторых, в ней используются только операции, подобные сложению, которые мы умеем выполнять и которые не отсылают ни к каким другим числам, помимо тех, которые, как, например, число, следующее за и, мы знаем как построить. Гильберт считал, что хотя метаматематика должна ограничиваться процедурами, чья правильность интуитивно очевидна, сама математика более свободна в своих действиях; интуиционисты же, наоборот, не желали допускать в математику ничего, кроме интуитивно очевидных операций, даже если это достигалось ценой отказа от определенных разделов чистой математики. По их мнению, только таким образом можно было защитить математику от парадоксов.

Логика, семантика и методология

==307

Согласно интуиционистам, математика основана на возможности делать выборки (selections) из опыта, а затем неограниченное число раз повторять эти выборки; они не допускали никаких других чисел, кроме тех, которые можно построить таким образом 6. Отсюда они делали вывод, что математика не может быть основана на логике, поскольку сама логика предполагает тот математический факт, что символы воспроизводимы. Непротиворечивость логики и непротиворечивость математики, естественно, должны устанавливаться pan passu.

Если попросить классического математика доказать, что «существует число п, обладающее свойством Р», он может это сделать, выведя противоречие из высказывания «для каждого п не верно, что п обладает свойством Л>. Утверждая, что некоторое число «существует», только если мы знаем, как его построить, интуиционист тем самым отрицает корректность всех косвенных доказательств «существования». Этот пуританизм приводит к тому ошеломляющему следствию, что за борт должен быть выброшен и классический «принцип исключенного третьего». Если бы интуиционист признал корректным переход от утверждения «ложно, что для каждого п не существует ни одного случая, когда я обладает свойством Р» к утверждению «по крайней мере одно п обладает свойством Р», он одновременно допустил бы, что «существование» числа можно установить косвенным образом. Поэтому, согласно Брауэру, высказывание «по крайней мере одно и обладает свойством Р» не является ни истинным, ни ложным; он называет его «неразрешимым», поскольку не сформулировано никакого правила для построения рассматриваемого п. Поэтому логика, соответствующая арифметике, т. е. единственная логика, непротиворечивость которой можно доказать, должна быть «трехзначной»: Брауэр заменяет известную дихотомию «истинно или ложно» трихотомией «истинно, ложно или неразрешимо».

Между тем в Польше интерес к трехзначным логикам вырос из анализа совершенно других философских проблем 7. Для польских логиков отправной точкой служила аристотелевская логика, и именно анализ аристотелевской «проблемы о морском сражении» — или того, что в более общей формулировке получило название «проблемы будущих случайных событий», — заставил Лукасевича поставить под вопрос принцип исключенного третьего 8. Допустим, до самого события кто-то высказывает утверждение, что «у Саламина произойдет сражение». Очевидно, что это утверждение не является ложным. Но если оно истинно, то, считает Лукасевич, мы обязаны заключить, что будущее предопределено, поскольку то, что сражение состоится, должно быть истинно до того, как оно состоялось. Согласно Лукасевичу, есть только один способ уйти от этого фаталистского вывода: мы должны допустить, помимо истины и лжи, «третье значение», названное им «нейтральным». Теперь мы можем утверждать, что высказывание «у Саламина произойдет сражение» не является ни истинным, ни ложным, и тем самым мы легко уходим от дилеммы: или признать указанное утверждение ложным, или принять фатализм. Но как только в логику были допущены три значения, оказалось, что нет никаких оснований останавливаться на достигнутом: вскоре польские логики уже усердно работали над построением п-значных систем.

==308

Соседние файлы в папке Пассмор