Глава 10. Квантовая геометрия 163

Таблица 10.1

Выборочные колебательные и топологические конфигурации струны, движущейся во Вселенной с радиусом R = 10 (рис. 10.3). Колебательные вклады в энергию кратны 1/10, а топологические вклады кратны 10. В результате получаются перечисленные значения полной энергии. Единицей измерения энергии является планковская энергия, т. е., например, 10,1 в правом столбце соответствует значению 10,1, умноженному на планковскую энергию

Таблица 10.2

Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10

		Таблица 10.1			Таблица 10.2
Колебательное число	Топологическое число	Полная энергия	Колебательное число	Топологическое число	Полная энергия
1	1	1/10+ 10= 10,1	1	1	10+1/10= 10,1
1	2	1/10 + 20 = 20,!	1	2	10 + 2/10= 10,2
1	3	1/10 + 30 = 30,1	1	3	10 + 3/10= 10,3
1	4	1/10 + 40 = 40,1	1	4	10 + 4/10= 10,4
2	1	2/10+10= 10,2	2	1	20+1/10 = 20,1
2	2	2/10 + 20 = 20,2	2	2	20 + 2/10 = 20,2
2	3	2/10 + 30 = 30,2	2	3	20 + 3/10 = 20,3
2	4	2/10 + 40 = 40,2	2	4	20 + 4/10 = 20,4
3	1	3/10+ 10= 10,3	3	1	30+1/10 = 30,1
3	2	3/10 + 20 = 20,3	3	2	30 + 2/10 = 30,2
3	3	3/10 + 30 = 30,3	3	3	30 + 3/10 = 30,3
3	4	3/10 + 40 = 40,3	3	4	30 + 4/10 = 30,4
4	1	4/10+ 10= 10,4	4	1	40+ 1/10 = 40,1
4	2	4/10 + 20 = 20,4	4	2	40 + 2/10 = 40,2
4	3	4/10 + 30 = 30,4	4	3	40 + 3/10 = 40,3
4	4	4/10 + 40 = 40,4	4	4	40 + 4/10 = 40,4

ких вкладов и малых колебательных вкладов: топологические вклады кратны 10, а колебательные вклады кратны 1/10.

Предположим теперь, что радиус циклического измерения сужается, скажем, с 10 до 9,2, затем до 7,1 и далее до 3,4, 2,2, 1,1, 0,7 и т.д. до 0,1 (1/10), где, в нашем примере, процесс сужения прекращается. Для такой геометрически иной формы вселенной Садового шланга можно построить аналогичную таблицу энергий струн. В ней топологические вклады кратны 1/10, а колебательные вклады кратны обратному значению, т.е. 10. Результаты сведены в табл. 10.2.

На первый взгляд может показаться, что таблицы совершенно различны. Но при более пристальном рассмотрении видно, что в столбцы полной энергии в обеих таблицах входят одинаковые элементы, хотя они и расположены в разном порядке. Чтобы найти элемент табл. 10.2, соответствующий данному элементу табл. 10.1, нужно просто поменять местами топологическое и колебательное число. Иными словами, колебательные и топологические вклады взаимно дополняют друг друга при изменении радиуса циклического измерения с 10 до 1/10. Поэтому с точки зрения полных энергий струн нет различия между этими двумя размерами циклического измерения. Как обмен типов акций в точности компенсировался обменом числа акций каждой из двух компаний, так и замена радиуса 10 на 1/10 в точности компенсируется заменой топологических и ко-

164 Часть IV. Теория струн и структура пространства-времени

лебательных чисел. Кроме того, значения начального радиуса R — 10 и его обратного значения 1/10 выбраны в данном примере лишь для простоты, и результат будет тем же для любого радиуса³⁾.

Табл. 10.1 и 10.2 не полны по двум причинам. Во-первых, как указано выше, здесь выбраны лишь некоторые из бесконечного набора колебательных и топологических чисел, возможных для струны. Это, разумеется, не является серьезной проблемой — мы могли бы строить таблицу до тех пор, пока не иссякнет терпение, и убедились бы, что указанное свойство продолжает оставаться справедливым. Во-вторых, кроме топологического вклада в энергию мы до сих пор учитывали лишь однородные колебания струны. Сейчас необходимо учесть и обычные колебания, так как они дают дополнительный вклад в полную энергию струны и, кроме того, определяют переносимый струной заряд. Здесь важно отметить, что исследования свидетельствуют о независимости этих вкладов от радиуса. Поэтому, даже если эти вклады были бы включены в табл. 10.1 и 10.2, таблицы все равно точно соответствовали бы друг другу, так как обычные колебательные вклады учитывались бы в каждой таблице совершенно одинаковым образом. Следовательно, можно заключить, что массы и заряды частиц во вселенной Садового шланга радиусом R идентичны массам и зарядам частиц во вселенной Садового шланга радиусом \/R. А так как именно эти массы и заряды управляют фундаментальными физическими законами, нет никакого физического различия между двумя геометрически различными вселенными. Результаты любого эксперимента в одной вселенной и соответствующего эксперимента в другой вселенной будут в точности совпадать.