§7. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫСОТЫ И АЗИМУТА В РЯД ТЕЙЛОРА. ТЕОРИЯ ТАБЛИЦ ЧИСЛЕННОГО ТИПА

Высота и азимут являются функциями трех независимых переменных ϕ, δ и t. Обозначим некоторые целые значения этих аргументов, задаваемые через определенный интервал (шаг), через ϕT, δT и tT. Тогда значения hт=h(ϕТ; δТ; tT) и hТ=А(ϕТ; δТ; tТ) можно рассчитать и поместить в таблицах через эти же интервалы аргументов; это и есть «численные» таблицы. Если приращения аргументов ∆ϕ, ∆δ и ∆t относительно заданных не превышают определенной величины, то промежуточные — искомые — значения hС и АС можно получить по формуле Тейлора:

где значения производных берутся при ϕT, δT и tT.

Ограничиваясь (при интервале аргументов не более 1°) для высоты членами второй степени, а для азимута — первой и обозначая приращения первой степени ∆hi и ∆hj, а второй — ∆hij получим:

hC=hT+∆hϕ+∆hδ+∆ht+∆hϕϕ+∆hδδ+∆hτt+∆hϕδ+∆hϕt+∆hδt (15) AC=AT+∆Aϕ+∆Aδ+∆At (16)

В численных таблицах приращения высоты получаются по таблицам поправок. Приращения азимута частично получаются по таблицам, частично — линейным интерполированием. Выведем формулы частных производных и получим приращения.

Приращения высоты первой степени. Из параллактического треугольника zPC (рис. 14) запишем формулу косинуса стороны zС, т.е. формулу (4):

37

Применяя формулу пяти элементов (см. приложение 2) в направлении стрелки на рис. 14, получим

sin (900—h)cos A=sin (90°—ϕ)соs (90°—δ)—sin(90°—δ) cos (900—ϕ)cost.

Правая ее часть после упрощения дает числитель формулы (**), поэтому после подстановки получим

Отыскание ∂∂δh . Дифференцируя формулу (*) по h и δ, производя

аналогичные преобразования (с применением формулы пяти элементов в сторону двойной стрелки на рис. 14), получим

Произведя замену в первом сомножителе формулы (***), получим

Физический смысл этих производных — скорость изменения высоты по

38

широте, склонению и часовому углу (времени).

Подставляя полученные производные в формулу (13), получим значения искомой высоты с учетом членов разложения первой степени:

hC=hT+соs ϕ∆ϕ+cosq∆δ — соsϕ sin A ∆t (21)

Эта формула применена при составлении некоторых численных иностранных таблиц, например НО-214.

Приращение азимута первой степени. Из параллактического

или, заменяя sinsinAt по формуле синусов (19), получим:

39

аналогичных преобразований, применяя дважды формулу синусов, получим

Отыскание ∂∂At . Дифференцируя формулу (22) по А и t и производя замены по формуле cos q и синусов (19), получим

Физический смысл этих производных — скорость изменения азимута по широте, склонению и часовому углу. Подставляя полученные производные в формулу (14), получим значение искомого азимута с учетом приращений первой степени:

AС=AТ+sinAtg h∆ϕ — sin q sec h∆δ — cos δ cos q sec h∆t (26)

Приращение высоты второй степени. Для получения вторых членов разложения высоты в ряд Тейлора надо найти шесть вторых производных [см. формулу (13)]. Вторые частные производные получаются дифференцированием первых производных по нужным аргументам, считая другие постоянными, но учитывая при этом зависимость некоторых аргументов друг от друга.

Дифференцируя формулу (17) по ϕ, учитывая зависимость азимута от ϕ и

Дифференцируя формулу (18) по δ и учитывая, что ∂∂δq =sinq tgh (при ϕ и t=const), получим

40

Аналогично получаются и остальные вторые производные. Сведем полученные приращения в табл. 1. Из табл. 1 видно, что задача составления таблиц поправок не проста. При составлении численных таблиц учитывают, что шаг аргументов, объем таблиц, их точность и трудоемкость работы связаны. При большом шаге аргументов объем таблиц уменьшается, но точность hС

понижается и необходимо учитывать вторые члены ∆hij, при этом работа осложняется. При малом шаге объем таблиц резко возрастает. Каждая таблица разрешает этот вопрос по-своему.

41

§8. УСТРОЙСТВО И ПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦАМИ ВАС—58. ИНОСТРАННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ТАБЛИЦЫ

В таблицах «Высоты и азимуты светил» выпуска 1958 г. (ВАС—58) для получения hC и Aс по данным ϕс; δ; tM применяются следующие рабочие формулы:

где hт и Aт выбираются в готовом виде из основных таблиц;

∆hi и ∆Аt получают по табл. 1, 2, 3 поправок ВАС—58 (кроме ∆АТ).

Устройство основных таблиц ВАС — 58. Основные таблицы ВАС — 58

представляют «численные таблицы», т.е. таблицы готовых значений hT, AT и

вспомогательной величины qT, вычисленных для ϕт, δт, tт через 10 с помощью ЭЦВМ. Пределы принятых широт от 0 до 80° (N и S), склонений — от 0 до 29° N и S (свыше 29° — выборочно для ярких звезд) и часовых углов — для видимого пути светила. Таблицы разделены на четыре тома по 20° широты: первый 0—19°, второй 20—39°, третий 40—59° и четвертый 60—79°; они пригодны и в южных широтах, так как имеют два входа: для одноименных ϕ и δ (сверху) и разноименных ϕ и δ (снизу — справа). Основные таблицы каждого тона делятся на секции через 1° широты, каждая секция — на колонки по склонениям и строки — по часовым углам. На рис.15 показана секция широт 42°, колонки склонений 16 — 23°. Такое разделение позволяет быстро отыскать ближайшие ϕ, δ, t и получить hт и Aт. Вход в основные таблицы по δ производится сверху — при ϕ и δ одноименных (t выбирается слева) и снизу — при ϕ и δ разноименных (t — справа). На рис. 15 показан вход с ϕ=42°М,

δ=220S и t=59°W. Граница между «вход сверху» и «вход снизу» отмечена чертой, на ней h=0°; при переходе через черту получаются отрицательные значения высот. Значения hт приведены до 0,1'; Aт — до 0,l0; qт — до 1°. По основным таблицам определяется также поправка ∆AT (линейным

43

интерполированием) и знак ∆Aδ. В каждом томе имеются три таблицы поправок и различные вспомогательные таблицы.

Теория таблиц поправок в ВАС — 58. Таблицы поправок составлены по формулам приращений ∆h и ∆А. Приращения получены в §7 разложением h и A в ряд Тейлора [см. формулу (13)] и сведены в табл. 1. В ВАС — 58 учитываются все приращения первой и второй степени, но после упрощений.

Запишем общую формулу для ∆h, которая разделяется затем на три части.

Рассматривая таблицу приращений, видим, что ∆hϕ и ∆hδ, а также ∆hϕϕ и ∆hδδ имеют одинаковые по структуре формулы и их можно объединить. Набранные жирным шрифтом в табл. 1 сомножители членов ∆hij с (*) можно заменить на

∆At, а с(**) — на ∆Аδ. Объединяя все члены формулы (15) в три группы и производя указанные замены, получим

∆h=(∆hϕ+∆hϕϕ)+(∆hδ+∆hδδ)+[∆ht+∆htt+∆htϕ+∆hδt]+{∆hϕδ}=

В этой общей формуле поправок член в квадратных скобках еще значительно упрощается, остальные представляют рабочие формулы.

Устройство табл. 1 поправок ВАС — 58. Первые два члена формулы

(32), заключенные в круглые скобки, одинаковы, но с разными аргументами: в

первой скобке — A и ∆ϕ; во второй — q и ∆δ. Поэтому для них составлена одна общая таблица 1 поправок. Высота h входит во второй член этих формул (малый), поэтому таблица составлена по зонам высот: 0 — 22°; 22 — 39°; ...; 71

— 73°; свыше 73° табл. 1 неприменима. Для получения поправки ∆hϕ' ,

44

объединяющей два члена разложения [см. формулу (32)], в табл. 1 входят с h, А

и ∆ϕ; а для получения поправки ∆hδ' — с h, q, ∆δ. При положительных ∆ϕ (∆δ)

вход производится сверху и слева, при отрицательных — снизу и справа. Знаки поправок даны вверху и внизу колонок, но для контроля рекомендуется самому определить знаки поправок, исследуя первые члены рядов:

∆hϕ=cosА∆ϕ и ∆hδ=cos q∆δ.

При A (q) в первой четверти знаки поправок ∆h одинаковы с ∆ϕ (∆δ), во второй — обратны. Исключения возможны при A (q), равных 90°, когда действует второй член разложения.

Кроме ∆h, в табл. 1 помещены две колонки ∆А: одна для поправки

∆Аϕ=sin A tg h∆ϕ, имеющей те же аргументы, что и ∆hϕ' ; вторая для ∆Aδ,

имеющей общие аргументы с ∆hδ' . Поэтому при выборке ∆hϕ' одновременно рядом выбирается ∆Аϕ, знак ее одинаков с ∆hϕ; аналогично при выборке ∆hδ

одновременно, но через колонку, выбирается ∆Aδ. Таким образом из одной табл. 1 (объемом 32 с.) выбирают четыре поправки.

Устройство табл. 2 поправок ВАС—58. Члены формулы (32),

заключенные в квадратные скобки, после преобразований, допущений и сокращений, выполненных составителем таблиц В.И.Губановым, приведены к виду

где через поправки к аргументам ∆2ϕ и ∆2At учитываются вторые члены в

квадратных скобках.

По формуле (33) вычислена табл. 2 «Поправки высоты за часовой угол», составленная по зонам широт и помещенная в конце тома ВАС — 58. В табл. 2

входят после получения АС с аргументами: широта — средняя между ϕС и ϕТ (практически ближайшая к 15 или 45'); азимут счислимый Ас и величина

45

∆t=tМ—tT. Иногда, в соответствии с формулой (33), Ас подправляется на − ∆2At ,

что позволяет уточнить ближайшую строку по А табл. 2; это желательно выполнить при ∆Аt>0,4°. Знак полученной поправки ∆ht' обратен знаку ∆t, как это видно из формулы (33).

Устройство табл. 3 ВАС — 58 «Дополнительная поправка высоты».

Последний член формулы (32), заключенный в фигурные скобки, представляет член второй степени ∆hϕδ, зависящий от ∆Aδ, A и ∆ϕ. По этой формуле составлена табл. 3, куда надо входить при ∆Aδ>0,2° (практически при ∆Aδ<0,3°

ею пренебрегают). При ∆Aδ с «+» вход в табл. 3 сверху и слева, при ∆Aδ с «—» вход снизу и справа.

Вычисление высоты и азимута по таблицам ВАС–58. Подробный порядок расчета h и А приведен в инструкциях к таблицам ВАС–58, поэтому ограничимся разбором двух примеров с краткими замечаниями. Вычисления можно производить по полной схеме, как в инструкциях ВАС–58 (пример 9), по сокращенной (пример 10), принятой на практике, и по схеме для перемещенного места, рассмотренной в практической части (§89).

Пример 9. Дано: ϕс=42°19,7' N; δ=21°36,2'S; t=59°27,5' W. Определить hC

и AC.

Решение. Данные и табличные величины записываются в схему (на бланке или в тетради):

Примечания: 1. Во вторую колонку вписываются ближайшие — до 30' — табличные значения аргументов, по которым из основных таблиц ВАС выбираются пять значений: hT,

АТ, qT, ∆Аt, знак ∆Аδ (см. рис. 15 и схему). Интерполирование ∆Аt производится от t=59° к

46

t=60°; разность азимутов равна —0,8°; ∆t=27,5'≈0,5°, поэтому ∆Аt= 0,80 5=—0,4°. Знак ∆Aδ 10

получается сравнением AТ с колонкой 21°.

2.Поправка ∆hϕ выбирается в первом диапазоне высот (0—22°) входом сверху и слева (на правой странице), а поправка ∆hδ — снизу и справа (на левой странице), десятые доли — из таблиц (справа на полях). Для контроля правильности знаков ∆h применяются данные выше правила. В данном случае

Аи q во второй четверти, поэтому знаки ∆h обратны ∆ϕ и ∆δ.

3.После выборок из табл. 1 вычисляется АC азимут входа

получаем ∆ht' =16,0' и на полях 0,3', всего 16,3'.

5. В табл. 3 входим снизу (—0,3°) и справа (127°) и ∆ϕ=+ 19', получаем

∆hДОП=+0,1'.

При вычислении в тетради (без бланков) удобнее применять сокращенную схему, в которой опущены первая колонка и обозначения. В дальнейшем «будет применяться сокращенная схема (пример 10).

Пример 10. Дано: ϕ=40°32,5'S; δ=22°24,8' S; f=11038.4' W. Определить hC

и AC.

По таблицам ВАС–58 можно решать и ряд других задач, например отыскание элементов дуги большого круга, а также получать скорости изменения высот, азимутов и т.п.

Достоинствами табл. ВАС–58 являются: экономия вычислительного труда при обработке большого числа линий; возможности сокращения

47

вычислений путем перемещения места; достаточная точность при высотах до 73°; возможность приближенного контроля на промахи в начале решения; возможность получения дополнительной информации. Можно считать, что таблицы ВАС–58 — лучшие из современных таблиц, поэтому они и приняты за основные таблицы. Вместе с тем им свойственны ограничения и недостатки, которые надо знать, — это сложность таблиц поправок, что требует значительной тренировки при освоении и после перерыва, отсутствие некоторых диапазонов склонения, например 30°, вследствие чего надо применять двойной вход в табл. 1 (с ∆δ1=30' и ∆δ2 равным остатку) или прием замены переменных, сложность применения при высотах, больших 73°, вследствие чего рекомендуются таблицы ТВ–57.

Иностранные численные таблицы. «Таблицы счислимых высот и азимутов»: американские НО-214, НО-249; английские НД-486 и др. Таблицы НО-214 изданы гидрографией США в девяти томах по зонам широт в 10°. Основные таблицы сходны с ВАС — 58, но шаг склонений равен 30', а для разноименных ϕ и δ отведена правая страница, поэтому объем их в два раза больше ВАС — 58.

Поправки высот учитывают только первые степени ∆h в соответствии с формулой (21). Для азимута поправки вообще не предусмотрены, хотя и могут получаться линейным интерполированием. Поправки высот добавляются к hт, т.е.

перемножаются с ∆δ=δ–δT и ∆t=tМ—tТ по таблице на последней странице книги.

Величина ∆hϕ=∆ϕ cos А определяется по соседней таблице в конце книги.

Там же приведено правило знаков. Знаки поправок ∆hδ и ∆ht, определяются из основных таблиц сравнением hТ с соседними значениями.

Таблицы НО-214 и аналогичные им английские НД-486, самые распространенные за рубежом, позволяют очень быстро определить hc и Aс, но

48

точность их несколько ниже, чем ВАС—58, особенно при h>50°.

Пример 11. Дано: ϕ=35°34,8' S; δ=16°26,8' N; tM=44°38,6' Ost.

Определить hc и Aс по табл. НО-214.

Решение.

Примечание. По ВАС—58 имеем hC=22°58,2'; АC=47°.

Авиационные таблицы НО-249 рассмотрены в §90.

О точности вычисления высот и азимутов. Ошибки в счислимой высоте складываются из ошибок в аргументах, ошибок расчетной формулы и таблицы или прибора и ошибок вычисления при работе с ними.

Ошибки в аргументах вызывают в среднем ошибку в высоте порядка ±0,05'. Ошибки расчетных формул могут быть охарактеризованы следующей таблицей теоретических средних квадратических ошибок в вычисленных высотах (табл. 2).

Таблица 2

49

Экспериментальная проверка подтверждает эти величины для ТВА и ВАС, но для первых двух формул дает несколько большие ошибки. Точность вычисления азимута по ВАС — 58 около ±0,1°, а по всем остальным таблицам— не ниже ±0,1'. Ошибки вычислителя вызываются неточностью интерполирования, округлением и другими причинами. Для хорошего вычислителя эту ошибку можно принять ±0,1—0,15'.

Следовательно, общая точность высоты, вычисленной по современным таблицам, порядка ±0,1—0,2'.

50