Добавил:
polosatiyk@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература / Літинського В. (ред.) - Геодезичний енциклопедичний словник (2001)

.pdf
Скачиваний:
661
Добавлен:
10.06.2017
Размер:
30.92 Mб
Скачать

Розе 'язуеання..

510

Р

В2І

= а,и

+ а2и2 + a3v2 + a4uv2 + а4и3 +...

 

L1-Ll=blv

+b2uv + b-su2v + bl)v, + ...

(4)

А'2 - Al

= c,v + c2uv + c3u2v + c 4 v 3 + . . .

 

17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ НА КУЛІ {решение главных геодезических задач на шаре; solving of main geodetical problems on a sphere; Auflosung f der Hauptaufgaben f pi auf der Kugelf): зводиться до розв'язування полярного сферичного трикутника PQ\Q2 (ДИВ. рис., б. Задача геодезична пряма), в якому задані будь-які дві сторони і кут між ними, треба знайти третю сторону і прилеглі до неї кути. Для роз- в'язування полярного трикутника використовують формули сферичної тригонометрії. Введемо позначення координат на кулі: географічна (сферична) широта, Я - географічна (сферична) довгота, а - азимут дуги великого кола, а - сферична віддаль (довжина дуги великого кола, виражена в частинах радіуса кулі). Співвідношення між елементами полярного сферичного трикутника такі:

sin<p2 = sirup, c o s e + cos<p, s i n с cosct, s i n C T s i n a , = sinAcos<p 2

s i n c r s i n o ; 2 = - s i n A c o s ^ ,

s i n C T c o s a , = c o s s i n < p 2- s i n i p ,cosq>2 c o s A

s i n C T c o s a 2 = sinip, cos<p2 - c o s i p ,sin<p 2 cosA ( 1 ) COSCT = SIN^J sin<p2 + coscp, cosip, c o s A

cos ip2 c o sA = cos<p, coscr - sin (J?, s i n C T c o s a , c o s < P 2 c o s a 2 = sin (pt sincr - cos ()9|COSCT cosor, c o s <p2 s i n a , = - c o s(pl s i n a ,

Задача геодезична

пряма. Вихідні дані: (pt,

а,, ст.Шукані величини: 2, а2,

Я. На осно-

ві наведених вище формул маємо:

для визначення широти

 

 

 

tg9V

s i n (p2

 

(2)

•y/l-si n

2

2

 

 

<p

 

sin (p2 обчислюють за першою із формул

(і);

для визначення різниці довгот

sinCTsina,

; (3)

tgA = cos cos о - s i n ^ ,

sincrcosa,

для визначення оберненого

азимута

 

cosф, sina,

 

tga2

sin </9, sm a:-(4)

cos ф, cos с cos a, -

Якщо задана довгота Я,, то знайдемо Я2 =

= А, + я.

Задача геодезична обернена. Вихідні дані: ф,, 2, Я = Я2 + Я,. Шукані величини: <7, а,, а2 . На основі наведених вище формул знайдемо:

для визначення прямого азимута

tga, = -

sinAcosiр9

= z

; ( 5 )

 

cos<p, sin<p2 — sin<p, cos<p2 cosA

q

для визначення оберненого азимута

 

tga2:

sinAcosip,

 

; (6)

cos<p, sin<p2 cosA - sin<p, cos<p,

для визначення сферичної віддалі

 

 

 

tger: psina, +q cos a.

 

(7)

j\sp{q-

cos CT

 

 

чисельник і знаменник у формулі

для tga,.

17.

 

 

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ {решение главных геодезических задач в пространстве трех измерений; solving of main geodetical problems in 3-dimentional space; Auflosung f der Hauptaufgaben f pl in 3-D Raum m): відпо-

відно до

змісту з а д а ч і г е о д е з и ч н о ї

головної

у тривимірному просторі роз-

в'язується за допомогою формул зв'язку просторових координат, в яких описуються елементи цих задач. Використовуються такі системи координат:

система координат геодезичних: геодезична широта В, геодезична довгота L,

геодезична висота Я;

 

система к о о р д и н а т

г е о ц е н т р и ч н и х

прямокутних X, Y, Z;

 

системи координат

т о п о ц е н т р и ч н і .

Початок координат міститься в деякій т. Q, розташованій переважно на земній поверхні: 1) Прямолінійні прямокутні декартові координати: вісь z' розташована на про-

Розе 'язуеання..

511

Р

довженні нормалі до поверхні еліпсоїда в

Зв'язки між наведеними вище системами

т. QX; вісь Х розташована в площині гео-

координат: топоцентричною х', у', z' і гео-

дезичного меридіана т. (9, перпендикуля-

центричною (референцною) прямокутною

рно до осі z і спрямована в бік осі обер-

X,Y,Z:

 

тання еліпсоїда; вісь у

перпендикулярна

 

 

 

 

 

 

X

 

до осей х' і z' і доповнює систему коорди-

 

 

~Х'

 

XQ

 

 

нат до лівої. 2) Полярні координати: гео-

 

 

Y

=

 

+ AQ

f

 

 

 

YQ

У

(5)

 

 

 

дезичний азимут А12 - двогранний кут між

 

 

Z

 

 

 

z'

 

 

 

ZQ

 

 

площиною меридіана початкової т. QX і

 

 

 

 

 

 

 

де матриця Aq має елементи:

 

нормальною площиною, що проходить че-

 

рез нормаль у цій точці і т. Q2; зенітна від-

-

sin BQ cos LQ

-

sinLQ

c o sBQ

cos LQ

стань zl2

- кут між ВІССЮ 7.

і прямоліній-

Аг

sinN BBQQ

sinLq

 

c oLsQ

c oBsQ

sin LQ .(6)

ним напрямом з т. 2, у т. Q2; віддаль DL2

 

c o s

BQ

 

 

0

 

sinBQ

між точками QX і Q2 по прямій (див. рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача

геодезична

 

обернена).

 

Обернений зв'язок:

 

 

 

Зв 'язки між описаними системами коор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x'

 

'X-XQ

 

 

А) Перехід від геодезичних координат В,

 

 

Уr =

4

 

(7)

L, Н до геоцентричних (референцних) пря-

 

 

z

 

 

Z-Zq

 

 

 

 

 

 

 

мокутних координат X, У, Z здійснюється

де матриця Aq - транспонована матриця

за формулами:

 

 

 

 

 

 

 

X = (N + H)cosBcosL;

 

 

Aq. Відповідно до наведених формул і суті

 

 

 

головних геодезичних задач між точками

 

Y = (N + Н) cos В sin L;

 

 

(1)

простору схеми їх розв'язування будуть

 

Z = (N +

H-e2N)sinB,

 

 

такі:

 

 

 

 

 

 

 

де iV =

 

 

, a e

- параметри еліп-

I) Пряма геодезична задача. Задані геоде-

 

 

зичні координати ВХ, LX, Я, початковоїт. QX

•yjl-e2sin2 В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і топоцентричні

полярні координати zX2,

соїда. Для зворотного переходу від X, У, Z

А |2, DN

т. Q2

ВІДНОСНО початкової т. QX;

до В, L, Я маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

треба знайти геодезичні координати В2, Ь2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, У

Z

+ .

btgB;

.

, „

 

H2T.Q2.

 

 

 

 

 

 

tg L = — ,

tgBM

=-

 

 

 

= ,«1,2..... л ;

 

а) За формулами (1) обчислюють геоцент-

*

 

R

-Jc + tg' Bj

 

 

 

ричні координатиХХ, У,, Z, т. QX,б) обчис-

Z

,

ae

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

<2)

люють елементи матриці

перетворення

 

 

 

 

 

1-е*

 

 

координат Ах за формулою (6); в) за фор-

 

 

 

 

 

 

 

 

R

+ Y ,H = sin В

 

(l-e')N.

 

 

мулами (3) обчислюють

топоцентричні

 

 

 

прямокутні координати х'2, у'2, z2\ г) за

Б) Зв'язки між двома наведеними вище

формулами (5) обчислюють геоцентрич-

ні координати

т. Q2; д) за формулами (2)

системами координат топоцентричних:

переходять до геодезичних координат Х2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = Dsinzcos^;

 

 

 

Y2,Z2T.Q2.

 

 

 

 

 

 

 

у = D sin z sin А;

 

 

(3)

II) Обернена геодезична задача. Задані гео-

 

z =D cos z,

 

 

 

дезичні координати В, L, Я точок QX і Q2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

треба знайти топоцентричні полярні коор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg A = y'jx'\

 

 

 

 

 

динати z12, Л|2, DX2

Т. Q2 відносно т. QX:

 

 

 

 

 

 

а) За формулами (1) перетворюють геоде-

 

ctgz = z'j -Jx'2 +y'2;

 

 

 

 

 

 

(4)

зичні координати В, L, Я точок QX і Q2 на

 

D =

Jx'2+/2+Z'2.

 

 

геоцентричні прямокутні координати^, Yh

 

 

 

 

Розе 'язуеання..

512

Р

Zj (де і = \ , 2); б) обчислюють елементи транспонованої матриці перетворення координат А2 з а формулою

 

-sinfijCosLj

- s i nВ 2 s i n L ,

c o s В 2

4 =

— sinZ^

Icosj

0 ;(8)

 

cosBjCOsZ^

cosB2sinL,

sаіііиi n В2,

в) за формулою (7) обчислюють топоцентричні прямокутні координати x'h у', z, т. Q2 відносно т. Qx і навпаки; г) за формулами (4) обчислюють топоцентричні поля-

рні координати zX2, Аи, Dn

т. Q2

відносно

початкової т. Qx iz2l,A2l,D2l

=Dn

т. Qx від-

носно т. Q2. 17.

 

 

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КУТОВОЇ ЗАСІЧКИ НА ЕЛІПСОЇДІ {решение угловой засечки на эллипсоиде; solving of angular intersection on ellipsoid; Aufldsung f des Winkeleinschnitts m aufdem Ellipsoidn): див. Визначення координат на еліпсоїді геодезичними засічками. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНОЇ ЗАСІЧКИ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение линейной засечки на эллипсоиде; solving of linear intersection on ellipsoid; Aufldsungf des Bogenschnitts m aufdem Ellipsoid n): див. Визначення координат на еліпсоїді геодезичними засічками. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ВЕЛИКІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение обратной геодезической задачи на большие расстояния на эллипсоиде; solving of inverse geodetical problem for large distances on ellipsoid; Aufldsung f der direkten geodatischen Aufgabe f von grosser Entfernungen f pi aufdem Ellipsoid n): див. Розв'язування головних геодезичних задач на великі віддалі на еліпсоїді. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ҐАВС-

СА (решение обратной геодезической задачи на небольшие расстояния на эллипсоиде по методу Гаусса; solving of main geodetical problem for small distances on ellipsoid by method of Gauss; Aufldsung fder direkten geodatischen Aufgabe f von kleiner

Entfernungen f pi mit der Methode f von Gauss): за відомими координатами кінцевих точок лінії BX,LX\B2,L2 знаходимо:

Ь= 2х)/р", Z = (^ - L,)/p",

Bm=(Bx+B2)/2,T]2m,Nm,Mm.

Зформул (5) (див. Розв'язування прямої геодезичної задачі на малі від-

далі на еліпсоїді способом Ґавсса) з похибками на величини п'ятого порядку, знаходимо:

с

им п

 

2l2 + (lsinBm)\

 

 

п

О;

S cos А„ = ЬМЛ\

 

-

 

 

—]

=

 

 

 

 

 

 

2 4

 

 

 

 

 

(1)

S

sin А

=г c o s В

а

N

J l +

b 2

~

(

l s i

" '

) 2

 

 

 

-24

 

] = P .

Розв'язування задачі завершується застосуванням формул:

t g A , , = Q

 

 

 

 

 

 

S = £cosA„, + Psin А„,

= 4Q 2

+P 2

а" = I"smBm(\ +

3b2

+ 2/2 cos2

Bt

- ) . ( 2 )

 

 

24

 

А А

й /t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = A* -— •

 

 

 

 

 

A2 = A,„+-±180°

При S < 80 км наведені формули дають похибки AS < 0,01 м, АА < 0,02'. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ВЕЛИКІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение прямой геодезической задачи на большиерасстояния на эллипсоиде; solving ofdirect geodetical problemfor large distances on ellipsoid; Aufldsung fder direkten geodatischen Aufgabefvon grosser Entfernungen f pi aufdem Ellipsoid n):

див. Розв'язування головних геодезичних задач на великі віддалі на еліпсоїді. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ РУНҐЕ-КУТТА (решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде по методу Рунге-Кутта; solving ofdirect geodetical problem on ellipsoid by method of Runge-Kutt; Aufldsungf der direkten geodd-

Розе 'язуеання..

 

 

 

513

 

 

 

 

 

 

 

Р

tisclien Aufgabe aufdem Ellipsoid n mit der

і

а ,

 

 

 

 

 

 

 

Methodefvon

Runge-Kutt): ґрунтується на

 

 

 

 

 

<РІ

безпосередньому обчисленні

приросту

1

А-

 

 

 

 

 

д

 

функції Ау залежно від приросту Ах неза-

2

А , + 0,5 Д 4 ,

 

 

В , + 0 . 5 А В ,

лежної змінної. Це числовий метод розв'я-

3

А, + 0 , 2 5 ( А А ,

+ 4 А 2 ) В , + 0 , 2 5 (А В , + Л В 2 )

зування диференційних рівнянь першого

4

А , - А А , + 2 Л А 3

В , - ЛВ2 + 2 А В 3

порядку виду (1) (див. Розв'язування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

головних геодезичних задач на елі-

Точність формул (1) відповідає точності

псоїді). Спосіб Рунге-Кутта і його моди-

формул(1)(див.Розв'язування

прямої

фікації - це способи чисельного інтегру-

геодезичної

задачі

на

малі

віддалі

вання системи диференційних рівнянь пер-

на

еліпсоїді

способом

Шрайбера)і

шого порядку:

 

 

 

 

(5)(див.Розв'язування прямої геоде-

 

 

 

 

 

 

 

зичної задачі на малі віддалі на

 

,

=

/і (•*>

Уі.Уг-'-'Л);

 

еліпсоїді способом Ґавсса). Для ве-

 

 

ликих значень s лінію поділяють на малі

 

dx

 

 

 

 

 

 

аУ->

f t

 

\

 

дуги й обчислення за формулами (1) вико-

 

.~Г

= Мх,

УмУг.-.Л):

 

 

dx

 

 

 

 

 

нують послідовно по кожній дузі. Викори-

 

 

= ҐЛх,Уі,Уг, — ,Уп)

 

стовуючи ЕОМ, спосіб Рунґе-Кутта дає

 

dx

 

змогу оцінити похибки обчислених значень

із заданими початковими даними ух=у®,

координат і азимута, а відтак знайти крок

інтегрування (величину приросту аргумен-

у2 = у2,...,

уп =

у° при х = х0. Треба знайти

та s) для забезпечення заданої точності.

числові значення функційух2, • • •, у„ для

Цей спосіб є найоптимальнішим щодо точ-

заданого значення аргументах = хп. Засто-

ності й ефективності розв'язання прямої

сування цього способу в модифікації Інґ-

геодезичної задачі. 17.

 

 

 

 

ланда до інтегрування трьох диференцій-

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИ-

них рівнянь (1) (для ух = В, у2 = L, у2

— А,

ЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДАЛІ НА

x=s) приводить до таких формул для обчи-

ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ҐАВССА (ре-

слення координат В2, L2 І азимута Аг у кін-

шение прямой геодезической

задачи на

цевій т. Q2 геодезичної лінії s (див. рис.

малые расстояния на эллипсоиде по ме-

Азимут

геодезичний) за початковими

тоду Гаусса;

solving

of direct

geodetical

даними В = ВХ,

L =LX, А =АХ, у т. Qx

(для

problem for small distances

on ellipsoid by

5 = 0):

 

 

 

 

 

 

method of Gauss; Aufldsung f der

direkten

 

 

 

 

 

 

 

geodatischen Aufgabe von kleiner Entfernun-

В2 = В, + — (АВ, + 4ДВ3 + ДВ4);

 

 

genf pi aufdem Ellipsoid n mit der Methode

 

6

 

 

 

 

 

von Gauss): ґрунтується на розкладанні

•L2 = L1+-6(AL1+4AL3+AL4);

 

(1)

підінтеґральних функцій (2) (див. Роз-

 

в'язування

головних

геодезичних

А2 = А, + -6 (ДА,

+ 4ДА3 + ДА4) ± 180°,

 

задач на еліпсоїді) у ряди за середні-

 

ми аргументами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* т,

т/3

 

 

. y

sina,-

 

 

В

„ ,

= (

В 1

+ В 2

) / 2

;

 

де АВі = s0Vf cos а,-;

АЦ = s^

COS (PJ

;

 

АТ=(АХ

+

Л 2

± Т ° ) / 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АД- = AL, sin (pj; V; = д/і + е'2 cos2<р,- ;

= sp"/c; с = a2/b.

Тут a, b — параметри еліпсоїда; і = 1, 2, З, 4. Значення а,., вибирають з табл.

Це приводить до виразів (3), в яких відсутні члени з парними степенями S. Особливість способу Ґавсса полягає в тому, що т. Q0 з координатами В0, L0 і азимутом у ній А0 поділяє геодезичну лінію S (рис.) нав-

Розе 'язуеання..

514

Р

ПІЛ. Для різниць (В І - В 0 )

і (В2 - В0) ряди

(3) набувають вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 . 1 ,d2B^

с2

 

1 d3B

сз

+-

 

"«о = -(—)оТ + 7 ( — - 4 8 < ^ Г > о

5

ч

rfS

2

8

 

г

 

48*+оjuj5

3

з

 

rfB

S

1 </2B

.

1

d'B

W

 

 

 

 

 

і

А

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48 d S 3

 

 

 

 

звідки отримуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,dB

 

1

,d

В,

 

 

.(2)

B2-Bl=(—)0S+

 

— (—r)0Si+...

 

2 1

dS

0

24

 

dS3

0

 

 

 

 

Аналогічно знайдемо вирази різниць Z^ - L, і A, - Д ± 180°. Проте у виразах (2) похідні беруть за координатами т. Q0, які не дорівнюють середнім аргументам. Тому в (2) треба ввести поправки за різниці Вт - В0, Ат — А0 значення яких знайдемо на основі виразів (1) за формулами:

d2Bs S2

d2As S2

(3)

Отже, в (2) слід перейти від часткових похідних (d"B/dS")0 до часткових похідних

(d"B/dS")m. Перехід, напр. для широти, має такий вигляд:

 

,dBч

±_( d 2B ld s 2

}

d(dB/dS)„

dS

dS

8

 

дВ

дe a, b- велика і мала півосі еліпсоїда; е — другий ексцентриситет меридіанного еліпса. За точністю ці формули аналогічні формулам способу Шрайбера. Оскільки вихідними даними у прямій геодезичній задачі є координати початкової точки, азимут лінії в цій точці і довжина лінії, а в робочих формулах (5) аргументами є середня широта

Вт-{В{2)12 і середній азимут

Ат = + А2 ± 180°)/2, то задача розв'я- зується методом послідовних наближень. У першому наближенні Вт = ВІт = АІ і з ними обчислюють Ь" і а . У другому і наступних наближеннях: Вт = Вх + Ь"І2, Am=Al + а"/І. Для забезпечення точності 0,000 Г у координатах для S < 60 км досить трьох або чотирьох наближень. 17.

-~(d2A/dS2)„

ЭА

(4)

 

 

Аналогічні рівняння зв'язку похідних існують для довготи і азимута. Формули (2) і

(4) у загальному вигляді розв'язують задачу. Робочі формули отримаємо, якщо відповідні похідні підставимо в (2) з урахуванням (4). їх остаточний вигляд:

 

 

 

9 1 2 ,

2

 

 

 

 

а 2

2 4

 

 

 

 

 

- р 2

 

 

L1-L,=l" = X{1 +

2 4

 

 

А, ± 180° - Д = а' = а(1 +

 

+ 2Я* ~ " V

•2

 

1

 

 

 

24

/З = -

V„3 c o s Д „ ; Л = - V„3 sin Д

sec S „ , ;

 

с

с

=e' 2 cos 2В;

а =Asin Bm;V2

=1+rj 2 ;rj 2

,2

=

a2-b2

а2

 

 

 

e

;—;c = —,

 

 

(5)

 

 

ft fo

 

 

 

0_ fi

*

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ПРЯМОЇ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЗАДАЧІ НА МАЛІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ ШРАЙБЕРА

(решение прямой геодезической задачи на малые расстояния на эллипсоиде по методу Шрайбера; solving ofdirect geodetical problem for small distances on ellipsoid by method ofShrieber; Auflosungf der direkten geodatischen Aufgabe f von kleiner Entfernungen fpl aufder Kugel mit der Methodefvon Schreiber): проводять із т. Q2 геодезичну лінію Q2Q0 під прямим кутом до меридіана т. Qx, після цього передачу координат з т. на т. Q2 виконують не по геодезичній лінії Qx і Q2, ЩО дорівнює S, а послідовно по сторонах 21 б о ' Q0Q2 ТРИ"

Розе 'язуеання..

515

Р

кутника Q\Q0Qr Перед цим довжини сторін знаходять з розв'язання цього малого прямокутного сфероїдного трикутника за відомими азимутом А, і стороною S. За стороною Є, бо (ДУга меридіана) обчислюють різницю широт точок Q0 і Qt, застосовуючи першу із формул (3) (див. Розв'язування головних геодезичних задач на еліпсоїді) і широту В0т. Q0. Застосовуючи згадані формули (3) до сторони Q0Q2, азимут якої в початковій її т. Q0 дорівнює 90°, знаходять різницю широт d = B0 — В2, різницю довгот l = L2-L1 і кут t, що є азимутом напряму, проведеного із т. Q2 під прямим кутом до лінії Q2Q0. Формули для обчислень мають такий вигляд:

V, = Jl+e'2coi В.,о=—Vf,c=—,«0=crcosA,

с

b

3

/26

Д> = В, +(B0-Bi) = Bl + p"u[Vl -^-H(3sin2B, +2»cos2B,)],

Для віддалей між пунктами не більше 100 км ці формули дають змогу визначати геодезичні координати з точністю до 0,000 1" і азимути з точністю до 0,001". Для віддалей до 600 км ці формули забезпечують точність координат до 0,1". 17.

Р

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРИЧНИХ ТРИКУТНИКІВ З ВИМІРЯНИМИ СТОРОНАМИ ЗА ТЕОРЕМОЮ ЛЕЖАНДРА

(решение сферических треугольников с измеренными сторонами по теореме Лежандра; solving of spherical triangles with measured sides by Legendre's theorem; Aufldsung f der sphcirischen Trilaterationsdreiecken npi mit dem Lehrsatz m von Legendre):

див.Розв'язування сфероїдних трикутників. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРИЧНИХ ТРИКУТНИКІВ СПОСОБОМ АДИТА-

МЕНТІВ (решение сферических треугольников способом аддитаментов; solving of spherical triangles by method of additaments; Aufldsungfder sphcirischen Dreiecken n pi mit der Additamentenmethode f): див. Розв'язування сфероїдних трикутників. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СФЕРОЇДНИХ ТРИКУТНИКІВ (решение сфероидальних треугольников; solving of spherical triangles; Aufldsungf der sphcirischen Dreiecken n pi): трикутники на поверхні еліпсоїда, утворені геодезичними лініями, наз. сфероїдними або еліпсоїдними. При створенні астрономо-геодезичних чи геодезичних мереж наземними класичними методами, напр., методом тріангуляції, довжини сторін сфероїдних трикутників звичайно не перевищують 60 км (0,01Л). Проте в місцях зв'язку геодезичних мереж різних країн чи континентів, у космічних геодезичних побудовах віддалі між пунктами - сторони сфероїдних трикутників - можуть сягати сотень, а інколи й тисяч кілометрів. Під поняттям розв'язування сфероїдного трикутника розуміють обчислення його елементів за трьома відомими, в тому числі однієї сторони, і заданим положенням трикутника на еліпсоїді. Взагалі розв'язати сфероїдний трикутник, використовуючи елементарні функції, неможливо. Проте малі сфероїдні трикутники, сторони яких не більше 200 км, розв'язують з відносною похибкою 10~8 як трикутники на кулі радіуса R, що дорівнює середньому

Розе 'язуеання..

516

Р

діусу кривини, обчисленому за середньою широтою з широт вершин трикутника. Якщо розв'язувати сферичні трикутники за формулами сферичної тригонометрії, сторони переважно виражають у частинах радіуса, а в геодезії - в лінійній мірі. Тому в геодезичній практиці застосовують два особливі методи розв'язування малих сферичних трикутників:

а) метод сферичних надлишків,

що вико-

ристовує теорему Лежандра (1787);

б) метод адитаментів, який

запропо-

нував І. Зольднер (1820).

 

В обох методах розв'язування сферичного трикутника замінюють розв'язуванням відповідного плоского трикутника. Цей задум реалізується зовсім по-різному в кожному методі. Поправки за кривину кулі під час розв'язування сферичних трикутників як плоских враховують: 1) введенням поправок у сферичні кути зі збереженням довжин сторін у способі Лежандра; 2) введенням поправок у сторони зі збереженням величин кутів у способі адитаментів.

Розв'язування малого сферичного трикутника за теоремою Лежандра. Цей спосіб ґрунтується на тому, що малий сферичний трикутник можна розв'язувати як плоский, якщо кожний його кут зменшити на одну третину сферичного надлишку £:

s i n ( 5 - £ / 3 )

s i n ( C- є / З )

s i n ( ^ - e / 3 ) '

s i n ( ^ - e •/ 3 )

Наведене формулювання має назву теореми Лежандра. Кути АХ=А- є/З, Вх = В - є/З, С, = С - є/З наз. плоскими зведеними кутами. Сферичний надлишок можна знайти за формулою

e" = Pp"/R2 ,

д е Р — площа плоского трикутника, тобто

be - р " s i n Ах 2R'

R - середній радіус кривини еліпсоїда для середньої широти Вт трикутника; для 5 < 90 км можна припустити Ах-А. Якщо сторони трикутника більші 90 км, то для є треба використовувати точнішу формулу

2R 8R2

де т2 = (а2 + Ь2 + с2)/3, і обчислювати його двома наближеннями: спочатку отримати наближене значення є', з ним - наближене значення Ах = А-є'/3, далі обчислити точне значення є. Для S > 200 км і точності обчислень 0,001' трикутники треба розглядати як сфероїдні. Формули редукцій сфероїдних кутів (А, В, С) до плоских

х, Вх, С,), що описують розширену теорему Лежандра, мають такий вигляд:

А

А

є аг

т"-а2

є

-п

ві

В

т2 2

пв -11

Я

С

•"з ~60

т2 2

Tbi

" с -п

 

 

Метод розе 'язування сферичних трикутників за теоремою Лежандра можна застосовувати й тоді, коли виміряними є сторони: спочатку розв'язують трикутники як плоскі, приймаючи сторони за прямі; до обчислених таким методом кутів (плоских зведених) додають поправки є/З.

Розв'язування сферичних трикутників способом адитаментів. Сферичні кути трикутника не змінюються, а перехід від сторін а, Ь, с сферичного трикутника до сторін ах, Ьх, сх плоского трикутника здійснюється врахуванням т. зв. адитаментів As, що обчислюються за виразом

г-Jз

Лla,b,c= AS= kS

де S - відповідна сторона трикутника; а, Ь, с, k = l/(6R2); R - середній радіус кривини еліпсоїда в області розташуванням за трикутника. Послідовність розв'язування сферичного трикутника способом адитаментів:

1) від вихідної сторони а віднімаюсь її адитаментЛа, отримують сторону а, = а - Аа плоского трикутника;

2)за відомими кутами сферичного три-

кутника і стороною ах розв'язують трикутник як плоский за теоремою синусів; знаходять сторони Ьх, с,;

3)значення сторін виправляють їх адитаментами, отримують Ъ = bx + Ab, с = с, + Ас

-шукані сторони сферичного трикутника. 17.

Розе 'язуеання..

517

Р

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКА В ТРІАНГУЛЯЦІЇ (ТРИЛАТЕРАЦІЇ) {решение треугольника в триангуляции (трилатерации); solving of triangle in triangulation (trilateration); Aufldsungf des Dreiecks n in der Triangulationf(der Trillateration/)):

отримання довжин сторін трикутника за виміряними чи зрівноваженими кутами (в тріангуляції) або кутів за виміряними чи зрівноваженими сторонами (в трилатерації). Для обчислення довжин сторін трикутника тріангуляції за теоремою синусів потрібно, крім трьох кутів, знати довжину однієї (вихідної) сторони. Для розв'язування трикутника трилатерації треба мати виміряні (зрівноважені сторони трикутника). Тут для обчислення кутів використовують теорему косинусів. 13.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА АРКУШІВ КАРТИ МАСШТАБУ 1:1000000 {разграфка и номенклатура листов карты масштаба 1:1000000 ; sheet division and numbering name of the map of scale 1:1000000; Blatteinteilung f und Zone f und Kolonne f (Nummerf ) des topographi-

schen Kartenblattes

n des Masfitabes

1

1000000):

р о з г р а ф л е н н я к а р т

і

позначення окремих аркушів карти світу Міжнародної, якою теж є і карта цього м-бу. На кожному аркуші карти зображена земна поверхня у вигляді трапеції, сторонами якої є зображення меридіанів і паралелей відповідно 4° по широті і 6° по довготі.

Номенклатура аркушів цієї карти (див. Номенклатура в топографії і картографії) складається з великої літери лат. алфавіту A, B,C,D,E,..., Z, що відповідають відповідним 4-градусним широтним смугам - поясам, відлічуваним від екватора до полюсів, і арабської цифри 1,2,3, 4, ..., 60, що означає номер шестиградусної колони, що відлічується із заходу на схід (проти годинникової стрілки) від меридіана, довгота якого дорівнює 180°. Напр., на аркуші карти, номенклатура якого М-35, зображена земна поверхня, обме-

жена паралелями 48 і 52° і меридіанами 24

і30° (на схід від Грінвіча). Оскільки розміри трапеції такої карти з віддаленням від екватора до полюсів стають по довготі щораз меншими, то в широтній смузі 60-76° аркуші цієї карти здвоюють і номенклатура такого здвоєного аркуша, напр., Р-41,42,

ірозмір його по довготі становитиме 12°, а в смузі 76-88° аркуші карти з'єднують по чотири, так що розмір такої карти по довготі становитиме 24° і матиме номенклатуру, напр., Т-29, 30, 31,32. Ділянка 8890° зображується одним аркушем. Крім того, на кожному аркуші карти цього м-бу подається назва найбільшого населеного пункту чи іншого географічного об'єкта, зображеного в межах цього аркуша, напр., на аркуші М-35 буде подана назва Львів. Пояснення і приклади подані стосовно Північної півкулі. На основі Р. і н. а. к. м. 1:1000000 опрацьовано розграфлення і номенклатуру аркушів топографічної карти. 5.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА АРКУШІВ КАРТИ СВІТУ МАСШТАБУ 1:2500000 {разграфка и номенклатура листов карты мира масштаба 1:2500000; sheet division and numbering of the world map of scale 1:2500000; Rahnienteilung f und Nummer f (Zone f und Kolonne f ) des

Kartenblattes n des Masfitabes 1:2500000):

ця карта є багатоаркушевою, тому поверхню Землі поділили на шість зон: дві зони полярні (від кожного полюса до паралелі ±60°), два перші пояси обмежені паралелями ±24 і ±64° і два другі пояси обмежені екватором і паралелями ±24°. Розмір аркушів карти по широті (за винятком полярних) однаковий і дорівнює 12°, по довготі різний: від 18° у другому і частково в першому поясі (до паралелей ±48°) до 60° у полярній зоні; рамка полярних аркушів північної і південної півкуль має вигляд кіл, описаних радіусом,«іо дорівнює довжині меридіана (±84-90°) - 6°. На рис. зображена схема такого розграфлення для північної півкулі; для південної півкулі розграфлення аналогічне. В

Розграфлення ...

518

табл. подано кількість аркушів, розташованих в окремих зонах (поясах), та їх розмір по довготі для північної півкулі; загальна їхня кількість для цієї півкулі 112 аркушів, для обох півкуль - 224.

Зона

Кількість

Розмір

аркушів у

аркуша по

(пояс)

зоні (пояси)

довготі

 

Полярна

 

 

шапка

 

 

84-90°

1

360°

Полярна

 

 

зона

 

 

72-84°

6

60°

60-72°

10

36°

Перший

 

 

пояс

 

 

48-60°

15

24°

36-48°

20

18°

24-36°

20

18°

Другий пояс

 

 

12-24°

20

18°

0-12°

20

18°

Разом

112

 

Крім цих основних аркушів складають ще 10 додаткових, розміром 4° по широті (від +60 до +64° у північній півкулі). Також встановлена смуга перекриття в декілька градусів по широті вздовж екватора і паралелей ±24 і ±60°.

Номенклатура аркушів цієї карти складається з назви великого міста або іншого географічного об'єкта, розташованого в межах цього аркуша, великої лат. літери N або S, що вказує, в якій півкулі розташований аркуш, номенклатури аркушів м-бу 1:1000000, що містяться в аркуші 1:2500000, і в дужках його порядкового номера, що подається на зведеному аркуші. Напр., номенклатура аркуша карти м-бу 1:2500000, поданого на рис., запишеться так: 54-СОФІЯ- NJ-L-34-36. 5.

РОЗГРАФЛЕННЯ І НОМЕНКЛАТУРА АРКУШІВ ТОПОГРАФІЧНОЇ КАРТИ

(разграфка и номенклатура листов топографической карты; sheet division and numbering of the topographical map; Rahmenteilungfund Nummerf (Zone fund Kolonne

f ) des topographischen

Kartenblattes n):

р о з г р а ф л е н н я карт

аркушів м-бів

1:500000-1:2000, складених з використанням проекції Ґавсса. Основою для запису номенклатури цих карт є аркуш карти м-бу 1:1000000 (див. Розграфлення і номенклатура аркушів карти масш-

Розграфлення.

519

Р

табу 1:1000000), напр. М-35. Розграфлюють його на аркуші (трапеції) карти м- бів 1:500000-1:100000 відповідними лініями меридіанів і паралелей (точніше, їх зображень) так, щоб у ньому були 4,9,36 і 144 трапеції, що відповідно будуть трапеціями карт м-бів 1:500000, 1:300000, 1:200000 і 1:100000. Основою номенклатури карт цих м-бів є номенклатура карти м-бу 1:1000000, до якої після риски додається одна з чотирьох перших великих літер алфавіту (А, Б, В, Г) для аркуша карти м-бу 1 .'500000, рим. цифра від І до XXXVI

-для аркуша карти м-бу 1:200000 або одна

зараб, цифр від 1 до 144 - для аркуша карти м-бу 1:100000. Номенклатури цих карт запишуться відповідно так: М-35-Г, М-35- XXXVI, М-35-144. Для позначення номенклатури карти м-бу 1:300000 використовують римські цифри І-ІХ, які записують перед номенклатурою карти м-бу 1:1000000, напр. ІХ-М-35. Літери і цифри для запису номенклатури розташовують на схемі зліва направо вздовж відповідних широтних смуг, розташованих з півночі на південь. Приклади номенклатур подані для останніх за порядком аркушів карт відповідних м-бів (рис., а). Для розграфлення і номенклатури топографічних карт м-бів 1:50000-1:2000 використовується аркуш м-бу 1:100000, напр., М-35-144. Розділивши його на 4 частини, отримують аркуші карти м-бу 1:50000, які позначають літерами А, Б, В, Г. Якщо ж цей аркуш (м-бу 1:100000) поділити на 16 або 64 частини, то отримаємо аркуші карти м-бів 1:25000 або 1:10000, які відповідно позначають літерами а, б, в, г і цифрами 1, 2, 3,4. Тоді номенклатури аркушів карт будуть: м-бу 1:50000 - М-35-144-7", м-бу 1:25000 - М- 35-144-Г-г, м-бу 1:10000-М-35-144-Г-г-4 (рис., б). Аркуш карти м-бу 1:100000 є також основою для розграфлення і номенклатури карт м-бів 1:5000 і 1:2000. Він містить 256 аркушів карти м-бу 1:5000, кожний з яких позначається араб, цифрами 1-

256.Цей аркуш ділиться на 9 аркушів м-бу 1:2000, що позначаються літерами а, б, в, г,

Оj Єj ЭЮ) 3) и (рис., в). Номенклатури карт м-бів 1:5000 і 1:2000 відповідно будуть: М-35- 144-(256) і М-35-144-(256-м). Аркуші топографічних карт у широтному поясі 6076° здвоюють, і номенклатура такого аркуша карти, напр., м-бу 1:50000, буде 0-35- 11 -А, Б, а на північ від паралелі 76° ці аркуші об'єднують по чотири, так що номенклатура такого аркуша, напр., м-бу 1:100000, матиме вигляд: Т-31-5,6,7,8.

М-35

— (f)- 1:500 000; —[Іх]-|:300 000;

(gxxvj)- 1:200 000

— 144-1:100 000.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

М-35-144

 

 

 

 

 

1

й

2 ; 1

 

2 ; 1

 

2

; 1

2

 

 

чи

!

Л

 

 

1и

 

з

 

4 : з

4 : з

у

4

'

4

 

 

 

: з

 

 

 

ГSу . . . .

 

• • - Лі} . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

гk

 

г

 

; 1

г Л

2

 

 

 

 

 

 

 

г

 

J

 

Lу

 

: з

J

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

k

 

й

 

: і

Г/k

2

 

 

 

 

'

 

 

 

 

чІ)

 

 

 

• 3

Чі)

 

 

 

ft

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

ҐГ

 

 

 

. . . ІЛSi...

 

 

- - - Лі

- - 2

і

 

1 : і

 

2 \ 1

 

2

}: -і

3

у

4 ; 3 іу

4 • з

у

4

; з

у

4

- ©

-

1:50 000;

- - - © - 1 : 2 5

000;

— 4 -

1:10 000

 

 

 

 

б