Литература / Літинського В. (ред.) - Геодезичний енциклопедичний словник (2001)

ненасичене, і більшим від градієнта тем- п е р а т у р и в о л о г о а д і а б а т и ч н о г о , якщо повітря насичене. 14.

РІВНОМІРНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ

(равномерный закон распределения; even Law of distribution; gleichmafiiges Verteilungsgesetz n): закон, якому підкоряються такі неперервні величини випадкові, для яких наперед відомо, що їх значення лежать у межах деякого визначеного інтервалу і що ймовірності потрапляння окремих значень у межах цього інтервалу однакові. Щільність розподілу (Дх)) для Р. з. р. зображується у вигляді

С, якщоа<х<Р

0, якщох<а або х> р

С = 1/03-а).

Функція розподілу (F(x)) для Р. з. р. запишеться як

х - значення випадкової величини X; а, /З - інтервал потрапляння значень випадкової величини. Похибки округлень підкоряються Р. з. р. 20.

РІВНЯННЯ АЗИМУТНІ УМОВНІ (азимутальные условные уравнения; azinuithal conditional equations; Horizontbeziehungsgleichung /): складають під час зрівноваження планової геодезичної мережі на еліпсоїді, в якій відомі азимути більше, ніж однієї сторони. Коли зрівноважують мережі на площині, то замість азимутних складають умовні рівняння дирекційних кутів. Для цього найкоротшим шляхом вибирають сторони (їх наз. ходовою лінією), по яких передаватиметься дирекційний кут від однієї до іншої вихідних сторін, з відомими дирекційними кутами. Кути між сторонами ходової лінії наз. проміжними. Умовне рівняння дирекційних кутів

Х(-1)'(У/) + А> = 0,

де со = Л, + І(-1)'у,- - Ап - вільний член. Тут і - номер проміжного кута у., (у;) - поправка в г'-й проміжний кут, Ах і Ап - відомі дирекційні кути початкової і кінцевої сторін. Коли дирекційні кути не є вихідними, а визначеними, то в рівнянні є ще поправки в ці дирекційні кути. 13.

РІВНЯННЯ ГОРИЗОНТУ УМОВНЕ

(условное уравнение горизонта; conditional equation of horizon; Horisontbeziehungsgleichungen f pi): властиве мережі тріангуляції. Його суть полягає в тому, що сума всіх виміряних кутів на одному пункті тріангуляції має дорівнювати 360°. 13.

РІВНЯННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЛІНІЇ (дифференциальноеуравнение геодезической линии; differential equation of geodetic line; Dijferentialgleichung f der geodatischen Linie f): див. Геодезична лінія. 17.

РІВНЯННЯ КАРТОГРАФІЧНОЇ ПРОЄКЦІЇ (уравнения картографической проекции; equations of cartographical projection; Gleichung f der kartographischen Abbildung f , Projektionf): вирази: x = /j (<p, X),y = / 2 ((p, A ) , де (p, Л - координати географічні точки на поверхні Землі математичній (ПЗМ); х, у - прямокутні координати цієї ж точки на площині, тобто в зображенні;/! і/2 - функції, що встановлюють зв'язок між відповідними координатами точок ПЗМ і точок на площині за умови, що ці функції скінченні, однозначні та неперервні; властивості проекції залежать від вигляду і характеру цих функцій. 5.

РІВНЯННЯ КЕПЛЕРА (уравнение Кеплера; Kepler's equation; Gleichung f von Kepler): або динамічний інтеграл орбіти, - один з перших інтегралів руху небесних тіл незбуреного, що зв'язує аномалію ексцентричну Е на будь-який поточний момент часу tзаномалією середньою М:

Е - e-sin Е = М,

тобто встановлює зв'язок руху з часом, бо M = n ( t - T ) , де через е, п, т позначено елементи орбіти відповідно - ексцентриситет, середній рух і момент проходження перицентра. 9.

РІВНЯННЯ КЛЕРО ГЕОДЕЗИЧНОЇ ЛІНІЇ {уравнение Клеро геодезической линии; Klero's equation of geodetic line; Gleichungfvon Clairaut der geodatischen Linie f): див. Геодезична лінія. 17.

РІВНЯННЯ КОРЕЛАТ НОРМАЛЬНІ

(нормальные уравнения коррелат; normal equations ofindefined multipliers ofLagrang; normale Korrelatengleichungenfpl)\ система рівнянь нормальних, з якої визначають коре лати Ка,Кь, ...,КГ у корелатному методі вирівнювання. Кількість рівнянь у цій системі дорівнює кількості умовних рівнянь і шуканих корелат. 20.

РІВНЯННЯ К О С М І Ч Н О Ї ФОТОГРАММЕТРІЇ ФУНДАМЕНТАЛЬНЕ

(фундаментальноеуравнение космической фотограмметрии; fundamental equation of cosmic photogrammetry; Fundamentalgleichungfder WeltraumphotogrammetrieJ): рівняння, що зв'язує геоцентричні координати шуканої точки планети, координати літального апарата в момент знімання та компоненти супутникоцентричного вектора, отримані з фотограмметричного опрацювання космічних знімків і показів бортового віддалеміра. Р. к. ф. ф. зображають у грінвіцькій системі координат та у вигляді рівнянь колінеарності. 3; 8.

РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА (уравнение Лапласа; Laplace's equation; Laplacegleichung f): див. Азимут Лапласа. 17.

РІВНЯННЯ ЛІНІЙНИХ МІР (уравнение линейных мер; equation of linear measures; Gleichung f des Langenmasses n): виражає довжину лінійної міри (напр., інварного дроту) як функцію від її температури:

l , = h 0 + a - h ( t - t o ) + P - l,(t - t o ) 2 ,

де /,, 1,и - довжини лінійної міри при різних температурах; t, t0 - температури вимірювання і компарування; а, /3 - лінійний і квадратичний коефіцієнти розширення матеріалу, з якого зроблена міра (визначається з досліджень). Р. л. м. зазвичай складається під час к о м п а р у в а н н я вимірних приладів. 19.

РІВНЯННЯ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ (уравнение линейной регрессии; eguation of regression; Gleichung f der lineare Regression f): рівняння прямої у = ax + b або x = су + + d, де коефіцієнти aib,cid обчислюються з використанням результатів вимірювань

Це рівняння прямої, яке відображає прямолінійну кореляційну залежність між змінними Хі Y, для яких отримані відповідно ряди вимірювань X; та Y„ де рх/у і ру/х - коефіцієнти регресії Хна У та УнаХ; Xt і Yj - результати вимірювань величин X і Y

відповідно; X та Y — середні арифметичні результатів вимірювань величин X і Y; г

-коефіцієнт кореляції величин X та У; (7Х і

о- сер. кв. відхилення Хта У; Р. л. р. дає змогу прогнозувати той чи інший стохастичний процес. 20.

РІВНЯННЯ НОРМАЛЬНІ (нормальные уравнения; normal equations; normale Gleichungen f pi): отримують розв'язуванням рівнянь похибок за способом найменших квадратів, тобто в результаті знаходження абсолютного екстремуму функцій F\pVV] або F[VV\ з урахуванням рівнянь похибок; тут р - вага вимірювань. У загальному випадку Р. н. для першої функції мають вигляд [pVdVldx,] = 0, для другої - \УdVjdхі] = 0. Якщо рівняння похибок зведені до лінійного вигляду, то нормальні рівняння для першої і другої функцій запишуться у такому вигляді:

[раа](хх) + [pab](x2) + • • •+ [pat](xn) + [pal] = 0; [pab](x{) + [pbb](x2 ) + •••+[pbt](x„ ) + [pbl} = 0;

єдиний розв'язок системи рівнянь похибок, і якщо і, підкоряється нормальному закону, то одержані параметри^, і поправки Vt будуть надійніші. 20.

РІВНЯННЯ ПОХИБОК У ЛІНІЙНОМУ ВИГЛЯДІ {уравнения ошибок в линейном виде; error equations in linear view; Fehlergleichung f in der linearen Artf): систему рівнянь похибок у загальному вигляді строгими методами розв'язати неможливо або дуже важко. Щоб отримати або спростити розв'язок, систему рівнянь похибок зводять до лінійного вигляду, розкладаючи ліву частину системи в ряд Тейлора, зберігаючи при цьому лише перші члени розкладу. Система рівнянь похибок у загальному вигляді перепишеться так:

темами Р. у. можуть бути суми кутів у трикутниках, суми перевищень у зімкнутих нівелірних ходах тощо. 20.

РІВНЯННЯ УМОВНІ В ЛІНІЙНОМУ ВИГЛЯДІ (условныеуравнения в линейном виде; linear convenctional equations; Beclingungsgleichungen f pi in der lineare Art f):

рівняння умовні в загальному випадку можуть бути складніші, тому їх зводять до лінійного вигляду розкладом у ряд Тейлора з утриманням частинних похідних dF/dx першого порядку. Тоді система Р. у. в л. в. запишеться як

Тут похідні, взяті в точці X0j (X0j), - наближені значення параметрів; (XJ) — поправки до наближених значень. Тоді Xj = X0j +

+ (X). 20.

РІВНЯННЯ ТРИЛАТЕРАЦІЇ УМОВНЕ (КУТОВА ФОРМА) {условное уравнение трилатерации (угловая форма); conditional equation of trilateration; Bedingungsgleichung f von Trilateration f (Winkelform f)): складене на основі рівняння горизонту - у центральній системі та суми кутів - у геодезичному чотирикутнику. Для отримання умовного рівняння трилатерації в цих кутових умовних рівняннях поправки в кути виражають поправками у виміряні сторони. 13.

РІВНЯННЯ УМОВНІ (условные уравнения; conditional equations; Bedingungsgleichungen f pi): нехай у результаті вимірювань невідомих величин^. (і= 1,2, ...,п) одержані значення з вагами рі і ці результати відповідають г умовам

Систему рівнянь (1) наз. системою Р. у. Кількість рівнянь у системі менша, ніж кількість невідомих, тобто г < п . У геодезії сис-

Wj- нев'язки. Рівняння (1) наз. системою Р. у. в л. в. Похідні взяті в точках /2, ..., Іп вимірювань. Кількість умовних рівнянь г дорівнює кількості додаткових вихідних даних і вона завжди менша від кількості шуканих поправок п,г<п. 20.

РІВНЯННЯ УМОВНІ В ТРІАНГУЛЯЦІЇ, ТРИЛАТЕРАЦІЇ (условные уравнения в триангуляции, трилатерации; conditional equations in triangulation, trilateration; Sinusbedingungsgleichungen f pi): рівняння умовні в тріангуляції такі: фігур

(трикутників), горизонту (якщо в мережі вимірювали кути), полюсів та рівняння умовні полігональні. До останніх належать умовні рівняння дирекційних кутів, базисів або сторін та координат. Коли в якомусь пункті є дві сторони, з відомими дирекційними кутами, то рівняння дирекційних кутів стає рівнянням суми кутів. Рівняння горизонту виникає, якщо в мережі тріангуляції є центральні системи і вимірюють кути. Полюсні умовні рівняння виникають у центральних системах та геодезичних чотирикутниках.

У трилатерації елементарними фігурами, тобто такими, в яких виникає одне умовне рівняння, є центральна система та геодезичний чотирикутник. Крім умовних рівнянь центральних систем та геодезичних чотирикутників, у трилатерації виникають такі ж полігональні умовні рівняння, як у тріангуляції. Умовні рівняння центральних систем складають у кутовій формі, з дотриманням вимоги, щоб сума кутів у полюсі центральної системи, обчислена за врівноваженими сторонами, дорівнювала 360°. Умовне рівняння геодезичного чотирикутника теж складають у кутовій формі і поправки в кути виражають через поправки у виміряні сторони. Умовне рівняння трипроменевої центральної системи та геодезичного чотирикутника можна теж складати в площовій формі. У трипроменевій центральній системі сума площ трьох трикутників, обчислених за зрівноваженими сторонами, має дорівнювати площі загального трикутника. В геодезичному чотирикутнику, після зрівноваження, суми площ пар трикутників, які взаємно перекриваються, мають бути однакові. 13.

РІВНЯННЯ УМОВНІ ПОЛІГОНАЛЬНІ (полигональные условные уравнения; polygonal conditional equations; polygonale Bedingungsgleichungen f pi): виникають у залежних планових мережах і в незалежних мережах, які утворюють полігони, або в яких виміряні або обчислені за координатами пунктів довжини і дирекційні кути більш ніж однієї сторони. До Р. у. п. належать: рівняння базисів, дирекційних кутів

ікоординат. У зімкнутому ході полігонометрії та в ході, прокладеному між двома сторонами з вихідними дирекційними кутами і двома вихідними пунктами, виникають умовні рівняння дирекційного кута

ідвох координат. У деяких трикутниках тріангуляції, перша й остання сторона якого є виміряними, виникає базисне умовне рівняння. Якщо ряд прокладений між двома сторонами, кожна з яких опирається на два вихідні пункти, то в ньому виникають чотири умовні рівняння координат, або

одне рівняння базису, одне - дирекційного кута та два рівняння координат. У таких же рядах трилатерації виникають лише три Р. у. п., а саме: дирекційного кута та два рівняння координат. До Р. у. п. належить також умовне рівняння суми кутів, яке є різновидом умовного рівняння дирекційного кута. 13.

РІВНЯННЯ УМОВНІ СИНУСНІ (синусные условные уравнения; sine conditional equations; Sinusbedingungsgleichungenfpl):

властиві тільки мережам лінійно-кутової тріангуляції. Р. у. с. складають за теоремою синусів, яка встановлює зв'язок між кутами і сторонами в трикутнику. В одному трикутнику, в якому виміряно всі кути та довжини сторін, виникають одне умовне рівняння фігури (суми кутів у трикутнику) та два синусні умовні рівняння. 13.

РІВНЯННЯ ЧАСУ (уравнение времени; equation of time; Zeitgleichung f): величина t], що чисельно дорівнює різниці прямих сходжень середнього ас ер і дійсного Сон-

ця а0, так що t] = ас ер - а0. Р.ч. змінюється упродовж року від -14,3™ до —16,4т.

Використовується під час астрономічних визначень за Сонцем (див. Одиниці міри часу). 18.

РІЗНЕР ЮЗЕФ (1881-1955). Геодезист і астроном. На кафедрі сферичної астрономії та вищої геодезії Львівської політехніки почав працювати з 1918. У 1941-44 керував обсерваторією і сейсмологічною станцією при Політехнічних курсах. Після німецької окупації став проф. і керівником кафедри вищої геодезії та астрономії (1944^16). 18.

РІЗНИЦЕВО-ВІДДАЛЕМІРНИЙ МЕТОД СНС (разностно-дальномерный метод СНС; diffirential-range-finding method; Differenzentfernungsmethode f des Navigationssatellitensystems n): визначення координат вимірюванням різниці віддалей між судном та двома положеннями одного й того ж ШСЗ у послідовні моменти часу. Поверхнями положення в цьому методі є гіперболоїди обертання, фокуси яких збігаються з точками розташування ШСЗ на

орбіті, для яких виконано вимірювання різниці віддалей. Місце розташування судна визначається точкою перетину двох чи більше гіпербол та інформацією про приблизне місце судна. Різницю віддалей визначають допплерівським методом, і тому цей метод отримав назву допплерівського інтегрального. 6.

РІЗНИЦЯ ВИСОТ ФОТОГРАФУВАННЯ (разность высот фотографирования; difference of airphotosurvey altitudes; Hohenunterschiedm der Aufnahmef): визначають для двох сусідніх центрів фотографування в просторовій системі координат OXYZ, у якій площина XY горизонтальна, а висотами фотографування є аплікати Z, та Z2. Різниця Z = Z2 - Z, і буде Р. в. ф. На практиці Z фіксується за допомогою статоскопа, причому Z2 і Z, трактуються як висоти центрів фотографування над ізобаричною поверхнею. Величину Zможна вважати однією з компонентів базису фотографування (по осі аплікат). 8.

РІЗНИЦЯ МАСШТАБІВ ПАРИ ЗНІМКІВ (разность масштабов пары снимков; difference of scales of pair of images; Massstabunterschied m des Plattenpaars n): величина, що вимірюється у відсотках; за різниці м-бів більше 16 % неможливо отримати стереоефект штучний. 8.

РІЗНИЦЯ ОПТИЧНИХ ШЛЯХІВ (разность оптических ходов; optical difference of ways; Unterschied m der optischen Wege m pi): лінійне зміщення / двох променів, отримане під час їх проходження шляху s у середовищі, з різним показником заломлення променів. Р. о. ш. І - s(nl - п2), де п{ і п2 - показники заломлення променів у середовищі. Р. о. ш. променів різних кольорів (голубого та червоного або іншого) вимірюють у дисперсійному методі визначення середнього інтегрального показника заломлення повітря вздовж вимірюваної лінії. 13.

РІЗНИЦЯ ПОЗДОВЖНІХ ПАРАЛАКСІВ (разность продольных параллаксов; difference of longitudinal parallaxes; Lcingsparallaxendifferenzf): паралакс фотогра-

мметричний Ар = pt - p0, де Pj - поздовжній паралакс біжучої точки фотознімка, р0 - поздовжній паралакс початкової точки. За виміряною величиною Ар на парі фотознімків можна визначити перевищення між двома точками місцевості. 8.

РІК АНОМАЛІСТИЧНИЙ (аномалистическийгод; anomalisticyear; anomalistisches Jahrn): див. Одиниці міри часу. 18.

РІК СИДЕРИЧНИЙ (ЗОРЯНИЙ) (сидерический(звездный) год; sidereal year; siderisches Jahr n, Stemjahr n): див. Одиниці міри часу. 18.

РІК ТРОПІЧНИЙ (тропический год; tropical year; Tropikjahr n): див. Одиниці міри часу. 18.

РІЛЛЯ (пашня; arable land (arable soils); Acker m, Ackerfeldn): земельна ділянка, яку систематично обробляють і використовують для вирощування с/г культур. 4.

РІЧИЩЕ (русло; river-bed; Flussbett п):

син. Русло. 5.

РІЧКА (река; river; Fluss т; Fliisschen п, Bach т): природний водний потік значних розмірів, що тече у створеному ним р і чищі і живиться за рахунок стоку зі свого водозбору. Місце, де Р. бере початок, наз. витоком, місце впадіння в іншу річку, озеро море, океан - гирлом. Залежно від умов формування та режиму стоку води розрізняють річки рівнинні, гірські, болотні, карстові, озерні. 4; 5.

РІЧКОВА СИСТЕМА (речная система; river system; Flufisystem п): сукупність усіх річок у межах річкового басейну. Характеризується порядком річкових потоків. У головну річку впадають притоки першого порядку. Притоки другого порядку - річки, які впадають у притоки першого порядку, і т. д. Р. с. має назву головної річки. На території України виділяють дев'ять основних Р. с. 4; 14.

РІЧКОВИЙ БАСЕЙН (речной бессейн; river basin; Flussgebiet п): територія, обмежена вододілами, звідки річкова система або окрема річка живиться зі свого водозбору. 4.

РІЧНА НЕРІВНІСТЬ РУХУ МІСЯЦЯ

(годичное неравенство движения Луны; annual disparity of the Moon; jarhliche der Mondbewegungsungleichheitf der UngleichheitfderMondbewegungf): зміна середнього руху Місяця по орбіті з періодом 1 рік. Унаслідок Р. н. p. М. з 2 січня до 2 липня Місяць рухається повільніше, а з 2 липня до 2 січня швидше відносно свого середнього руху. 11.

РОБОЧА МІРА ГЕОДЕЗИЧНОГО ПРИЛАДУ (рабочая мера геодезического прибора; working gauge of geodetic device; Arbeitsmass n des geodatischen Gerats n):

частина геодезичного приладу, призначена для відтворення фізичної величини заданої розмірності. 14.

РОБОЧИЙ ЦЕНТР АЕРОФОТОЗНІМ-

КА (рабочий центр аэрофотоснимка; working center ofairphotoimage; Arbeitszentrum n des Bildes n): зображення чіткого контуру в центрі знімка, а точніше в межах кола радіусом r= f /25 (f— фокусна віддаль знімка) і з центром у головній точці знімка. Вибрані Р. ц. а. розпізнають і наколюють на суміжних знімках, що підвищує точність виготовлення фотосхеми. Син. - центральна точка знімка (див. Точка у фотограмметрії). 8.

РОБОЧІ ЗОНИ РАДІОГЕОДЕЗИЧНИХ СИСТЕМ (рабочие зоны радиогеодезических систем; working zones of radiogeodetic systems; Arbeitszonen f pi des geodatischen Funksystems n): частина земної поверхні, у межах якої можливі радіогеодезичні визначення з заданою точністю вимірювання. Р. з. р. с. визначається трьома умовами: граничною видністю між станціями радіотехнічного пристрою; величиною сектора діаграми спрямованості антенного пристрою; заданою точністю визначення місцезнаходження об'єкта. Побудову робочих зон виконують за лініями однакової точності (лінії однакових значень елементів еліпсів похибок або однакових значень сер. кв. похибок). 6.

РОДОВИЩА КОРИСНИХ КОПАЛИН

(месторождения полезных ископаемых;

mineral deposit; Lager n (Fundstatte f Vorkommen n)der Bodenschatze p): місця природних накопичень мінеральних речовин у надрах, на поверхні землі, в джерелах вод

ігазу, на дні водоймищ та в місцях нагромадження відходів добувної і переробної промисловості, які за кількістю, якістю та умовами залягання придатні для промислового використання. 4.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ НА ВЕЛИКІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ (решение главных геодезических задач на большие расстояния на эллипсоиде; solving of main geodeticalproblemsfor large distances on ellipsoid; Auflosung f der Hauptaufgaben f pi von grosser Entfernungen f pi auf dem Ellipsoid n): якщо віддалі між пунктами - від 600800 до 20000 км, то зазвичай застосовують спосіб Бесселя. В основу способу покладено прямий шлях розв'язування геодезичної задачі, в якому безпосередньо обчислюють широту і довготу другої точки і азимут з другої точки на першузадача геодезична пряма (див. рис. Азимут геодезичний); прямий і обернений азимути

івіддаль між заданими пунктами -з ад ач а геодезична обернена.

Р'

Загальний план розв'язання геодезичної задачі цим способом: 1. Перехід від елементів сфероїдного трикутника (полярний трикутник Q\PQ2, до елементів сферичного трикутника Q[P'Q'2 (рис.). 2. Розв'язування геодезичної задачі, прямої чи оберненої, на кулі. 3. Перехід від знайдених елементів сферичного трикутника (стосовно прямої геодезичної задачі чи оберненої геодезичної задачі) до відповідних елементів на еліпсоїді. У способі Бесселя сфе-

роїдний трикутник QXPQ2 переноситься на

кулю з дотриманням умов: 1) геодезична лінія S між точками QT і Q2 на еліпсоїді зображується на кулі дугою <7 великого ко-

ла 2) у відповідних точках геодезичної лінії і дуги великого кола азимути рівні; 3) сферичні широти (Р точок дуги Q[Q'2

дорівнюють зведеним широтам відповідних точок лінії Q]Q2 на еліпсоїді. Для отримання формул розв'язування задач цим способом потрібно визначити залежності між довжиною геодезичної лінії S на еліпсоїді і дугою великого кола <7 на кулі, різницями довгот L2 - L, = / на еліпсоїді і Я на кулі. Ди-

ференційні рівняння Бесселя, що описуюють цей зв'язок, мають такий вигляд:

dS = а л / l - е2 c o s 2 и •da г

dl = л]1-е2cos2 и • dX,

від інтегрування яких уздовж дуги великого кола між точками Q[ і Q2 отримаємо:

S = a J V 1 - е 2 c o s 2и -da •

(7)

Сталий коефіцієнт у (6) к2 = е'2 cos2 Aq.

Геометричний зміст величин (Jt і А0 пояснюється рисунком, а вирази для їх обчислення мають такий вигляд:

(див.Розв'язування головних геодезичних задач на великі віддалі на еліпсоїді способом Бесселя). 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ НА ВЕЛИКІ ВІДДАЛІ НА ЕЛІПСОЇДІ СПОСОБОМ БЕССЕЛЯ (решение главных геодезических задач на большие расстояния на эллипсоиде по методу Бесселя; solving of main geodetical problems for large distances on ellipsoid by Bessel's method; Auflosung f der Hauptaufgaben f pi von grosser Entfernungenf pi aufdem Ellipsoid n mit der Methode f von Bessel):

А) Послідовність розв'язування прямої геодезичної задачі.

1) Обчислення зведеної широти и у початковій точці:

віпм, =sinB|Vl-e2/W1 ;

cos м, = cosfl,/Wi ;

W]=Jl-e2sin2B] •

2)Обчислення допоміжних функцій sin Д, ctgCT, за формулами (8) (див. Р о з в ' я з у - вання головних геодезичних задач на великі віддалі на еліпсоїді).

3)Обчислення коефіцієнтів А, В, С; а, Р за формулами (6) і (7) за аргументом cos2 Д = 1 — sin2 Д .

4)Обчислення сферичної віддалі <7 за формулою (4). Очевидно, що тут треба застосувати метод послідовних наближень. Можна також застосовувати формули, що не вимагають наближень:

а =а0+[В + 5С cos 2(а{ + ст0)] х

Sin2(<7, +СГП)

Гст0 = [ j - ( B+ C c o s 2 C T 1 ) s i n 2 c r 1 ] , CD

де <7j обчислюється за формулою (8).

5)Обчислення поправки в різницю довгот

Я- / = 8 за формулою (5).

6)Обчислення геодезичних координат і азимута в кінцевій точці:

^=Ц+А-8\

ної геодезичної задачі.

1) Підготовчі обчислення:

Wj=yjl- е2 sin2 В,;

sin щ = sin В, л/l-e2 /Wji cosи, =cosBj/Wj, і = 1, 2.

a, = sinu, sim<2, a2 =COSM,COSM2; by = COSM, sina2, b2 = sim<,cosM2;

1 = 1^-1^.

2) Сумісне обчислення початкового азимута Af сферичної віддалі и і різниці довгот

Я послідовними наближеннями: Я = І + 8

упершому наближенні приймають 8 = 0 і з Я = І обчислюють:

р = cos и2 sin Я, q = b]-b2 cos Я,

мулами (12). З отриманим значенням 5 повторюють всі обчислення, для отримання нового його значення, з яким повторюють ці ж обчислення. Так продовжують доти, доки різниця значень 8 у суміжних наближеннях не перевищуватиме допустиму величину. Значення Я, А и а, х і sin Д, отримані в останньому наближені, вважають остаточними.

3)Обчислення коефіцієнтів Л, В', С за формулами (12), довжини геодезичної лінії 5 за формулами (9) і (10).

4)Обчислення оберненого азимута

cos и, sin Я . Аг = arctg[-bx cos X-b2 '

Спосіб Бесселя можна застосовувати для будь-яких віддалей між точками на еліпсоїді і з будь-якою, майже потрібною точністю. 17.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГОЛОВНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ НА ЕЛІПСОЇДІ

(решение главных геодезических задач на эллипсоиде; solving of main geodetical problems on ellipsoid; Auflosung f der Hauptaufgaben f pi auf dem Ellipsoid n): може розв'язуватись на різні віддалі, які умовно поділяють на групи:

1)малі віддалі, S < 0,01/?, тобто до 60 км;

2)середні віддалі - 0,01 і? < S < 0,17?, тобто до 600 км;

3)великі віддалі - 0,1/? < S < R, тобто до 6000 км;

4)дуже великі віддалі, аж до 20000 км. Залежно від віддалі використовують різні способи Р. г. г. з. на е. В основі методів, що використовуються на малі і середні віддалі, є диференційні рівняння першого порядку:

де M і N— радіуси кривини головні. Ці три рівняння зв'язують між собою чотири змінні В, L, А і S, із яких довжина геодезичної лінії S прийнята за незалежну змінну. Інтегруванням цих рівнянь по дузі 5міжт. Q, і Q2 (ДИВ. рис. Азимут геодезичний) отримаємо різниці координат і азимутів

Проінтеґрувати (2) не можна, тому що підінтегральна функція залежить від аргументів А і В, виразити які в функції змінної інтегрування S у замкнутому вигляді неможливо; крім того, М і N залежать від ексцентриситету е. Тому для розв'язування застосовують розкладання у ряди за зростаючими степенями S або е2; розкладаючи за зростаючими степенями S, маємо:

де А'2 = Аз ±180°, а індекс „1" означає, що похідні обчислюють у початковій точці. Якщо S < R, то

і ряди (3) збігаються.

На використанні рядів (3) побудовані способи розв'язування головних геодезичних задач на малі та середні віддалі. Якщо

S/R > 1 (тобто S велика і дуже велика), для інтегрування рівнянь (2) використовують ряди за зростаючими степенями е2.

Перші коефіцієнти рядів (3) отримують з рівнянь (1), усі інші коефіцієнти знаходять послідовним диференціюванням перших коефіцієнтів (перших похідних) за змінними В і А як складних функцій. Напр.:

де Ц2 = e'2 cos2 В •

Позначимо S • cos A, =u,S- sin A, = v .Коефіцієнти за різних степенів и і v будуть функціями (складними) лише одного аргументу - В,. Ці функції можна подати у вигляді таблиць за аргументом Вх,\ робочі формули набувають такого вигляду: