входного, но с другой амплитудой и фазой. Представление сигналов системы суммой гармоник позволяет значительно упростить анализ линейных систем.

Основные виды сигналов динамических систем.

Реальные входные и выходные величины линейной системы описываются двумя видами моделей: детерминированной и недетерминированной (стохастической, вероятностной). Детерминированные сигналы – это функции времени конкретного вида. Недетерминированные сигналы являются случайными процессами, которые только при реализации принимают тот или иной конкретный вид, причем заранее он неизвестен.

5.2.2. Линейная система с детерминированными сигналами

Изображение гармоники на комплексной плоскости. Для упрощения анализа линейной системы ее входные и выходные величины представляются в виде суммы гармоник. Математически гармоника u(t) описывается выражением:

Рис. 5.2. Изображение гармоники на комплексной плоскости

Вместо (5.4) используют также изображение гармоники на плоскости комплексных чисел с действительной ( Re ) и мнимой ( Im ) осями (рис. 5.2). На этой плоскости гармонический сигнал u(t) представляется вектором u длиной u , вращающимся с

149

угловой скоростью ωu относительно начала координат. Изображение гармоники u(t) на плоскости комплексных чисел

алгебраическом виде u(iωu ) представляется суммой действительной и мнимой компонент:

замены в (5.5) URe = u)cosϕ, UIm = u)sinϕ , где ϕ = ωu t + Ψu :

Комплексно-частотное разложение детерминированных сигналов. Допустим, что сигналы на входе и выходе линейной системы являются детерминированными и относятся к функциям, удовлетворяющим условиям Дирихле. С помощью преобразования Фурье любой такой сигнал Z (t) можно

заменить суммой Z(ω) гармоник с частотами от нуля до бесконечности:

Выражение Z (ω) называется частотным разложением

сигнала Z (t) . Если в (5.8) использовать изображения гармоник на комплексной плоскости, то полученное выражение Z (iω)

будет комплексно-частотным разложением Z (t) −

изображением Z (t) в комплексно-частотной области. Функцию Z (t) в этом случае называют оригиналом Z (iω) . Разложение

150

Z (iω) можно записать в алгебраической или в показательной

форме:

Z (iω) = ZRe (ω) +i ZIm (ω) = Z)(ω) eiϕZ (ω) ; (5.9)

где ϕZ (ω) = ω t + Ψz (ω) ; Z (ω) – амплитуды компонентов

сигнала с частотами от нуля до бесконечности.

Анализируя (5.9), нетрудно установить, что взятие производной от оригинала Z (t) сводится к умножению

Представление линейной системы в комплексно-

частотной области. Обозначим комплексно-частотные

Рис. 5.3. Линейная система в комплексно-частотной области

В результате получим представление линейной системы в комплексно-частотной области (рис. 5.3). Оператор W (iω)

называется комплексно-частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ)

системы.

Комплексно-частотная передаточная функция системы

определяется как отношение выходной величины системы к входной при условии, что входная величина изменяется по гармоническому закону с различными частотами от 0 до∞:

Учитывая в выражении (5.2) свойство (5.10), получаем:

151

p=0

Таким образом, при переходе в комплексно-частотную область связь между входным и выходным сигналами становится алгебраической, что упрощает анализ линейной

системы. Учитывая в (5.13), что i2 = −1, и избавляясь от иррациональности в знаменателе, функцию W (iω) запишем в

характеристики системы. Изображения сигналов системы

ϕy (ω) = ω t + Ψy (ω) . Учитывая (5.15), передаточную функцию

W (iω) запишем в показательной форме:

амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристиками линейной динамической системы.

Амплитудно-частотная характеристика равняется отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной при условии, что входная величина изменяется по гармоническому закону с различными частотами от 0 до ∞.

152

Фазово-частотная характеристика представляет собой разность фаз выходной и входной величины при условии, что входная величина изменяется по гармоническому закону с различными частотами от 0 до ∞.

Через составляющие WRe (ω) и WIm (ω) передаточной

функции (5.14) АЧХ и ФЧХ линейной системы могут быть найдены по формулам:

Амплитудно-частотная характеристика является модулем, а фазовая частотная характеристика – аргументом передаточной функции.

5.2.3. Правила получения частотных характеристик линейных систем

Приведем ряд правил, используемых при нахождении частотных характеристик линейных динамических систем.

Правило 1. Чтобы получить выражение комплексночастотной передаточной функции W (iω) по уравнению системы (5.2), необходимо в нем заменить оператор производной на (iω) , обозначения X входного и Y выходного сигналов их изображениями X (iω) , Y (iω) . Затем найти

отношение изображения выходного сигнала к изображению входного и привести к виду (5.14) или (5.16).

После этого по формулам (5.18) и (5.19) можно найти амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики динамической системы.

Рис. 5.4. Последовательное соединение звеньев

153