Для мелководных ветровых волн tanh(ΩH ) ≈ ΩH . Отсюда вытекает, что:

Между высотой и длиной волны строгой зависимости нет. Волны одинаковой высоты могут иметь разные длины и периоды. Крутизна морских ветровых волн лежит в пределах

120 ÷ 130 . В практических расчетах обычно принимают 120 . Этому значению соответствует амплитуда волнового склона

приблизительно равная 90 . Крутизна мелководной волны при уменьшении глубины растет. На малых глубинах hλ = 110 ÷ 18 . При больших значениях этого отношения

происходит разрушение волн.

2.3. Нерегулярное двумерное волнение

В условиях волнения следующие одна за другой волны различаются между собой по амплитуде, периоду, длине, форме, протяженности гребней, направлению распространения. Волны, характеристики которых не повторяются, являются нерегулярными. Форма профиля реальных ветровых волн близка к трохоиде, но отличается от нее более крутым подветренным и пологим наветренным склоном. Напомним, что трохоидой называется кривая, описываемая точкой, лежащей на краю или внутри круга, который катится без скольжения по прямой линии. Нерегулярность и определенная хаотичность взволнованной поверхности моря дали основание рассматривать ее как случайное поле. При решении ряда задач волнение считают изотропным однородным случайным полем (рис. 2.3), представляемым совокупностью плоских нерегулярных волн со случайными фазами. В этом случае гребни волн имеют бесконечную длину, а профили индивидуальных волн во всех параллельных линии распространения вертикальных плоскостях − одинаковы.

Предположение об изотропности волн сводит трехмерное волнение к двумерному виду. Двумерная модель нерегулярного

50

волнения довольно широко применяется при расчетах мореходности судов. Это объясняется тем, что протяженность гребней ветровых волн в среднем в два-три раза превышает их длину. У волн зыби это отношение еще больше. Когда волнение существенно влияет на судно, гребни морских волн по длине обычно больше судна, что и позволяет приближенно считать волнение двумерным.

Изотропное нерегулярное волнение характеризуется своим сечением плоскостью, перпендикулярной гребням. Волновую ординату в точке пространства считают случайным стационарным процессом, удовлетворяющим условиям эргодичности. Вероятностные свойства нерегулярного двумерного волнения отражаются рядом показателей.

z b

l

H

Рис. 2.3. Нерегулярное двумерное волнение

Распределение ординат и амплитуд волн. В данной точке моря волновая ордината является случайной непрерывной величиной. Такие величины полностью описываются функцией плотности распределения. На основе многочисленных экспериментальных данных установлено, что значения волновой ординаты подчиняются нормальному закону. Амплитуды и высоты волн следуют закону Релея.

Главные характеристики волнения. При решении многих практических вопросов нет надобности описывать волнение плотностью распределения. Достаточно бывает ограничиться численной характеристикой его направления и интенсивности.

51

Направление волнения. В отечественной практике судовождения и в ряде других стран основными являются

показатели стороны волнения против бега волн: Aw или q . В других зарубежных странах ими считаются направления по бегу волн: Kw или qw , отличающиеся от первых на 1800. Поэтому,

используя различные средства для оценки мореходности, необходимо обращать внимание на вид применяемых в них характеристик направления волнения. Ниже при изложении материала используются направления волнения против бега

волн ( q и Aw ).

Интенсивность волнения. Силу нерегулярного волнения характеризуют в баллах, средним квадратичным значением волновой ординаты, высотой волн трехпроцентной обеспеченности, высотой значительных волн. Обеспеченностью называется вероятность в процентах факта, что высота волн окажется больше заданной величины. В районах больших глубин обеспеченность определяется в соответствии с законом Релея.

Среднее квадратичное значение волновой ординаты σr

представляет собой квадратный корень из дисперсии волнения, рассматриваемого как случайный стационарный процесс. Этот показатель называют также наивероятнейшей амплитудой

волнения. Ее обеспеченность составляет 60,6%.

В отечественной практике, а также в России, стандартным показателем интенсивности волнения считается высота волн

трехпроцентной обеспеченности – h3% . Под высотой волны 3%-ой обеспеченности понимают такую высоту, вероятность превышения которой составляет 3%. Иначе говоря, h3% – это значение, больше которого могут быть только высоты трех из

100последовательных волн.

Вбольшинстве государств за рубежом силу волнения

характеризуют высотой значительных волн – h 1/ 3 . Высота

значительных волн определяется как средняя одной трети наиболее высоких (из всей совокупности) волн. Эта высота имеет повторяемость 13,5%. Высота значительных волн

52

называется также средней высотой самых больших волн и характерной высотой волнения. Для расчета h 1/ 3 по скорости

истинного ветра Va при установившемся волнении

Международной конференцией опытовых бассейнов (ITTC – International Towing Tank Conference) рекомендуется выражение:

Va =10h12//33 ;

где скорость ветра Va выражена в узлах, а h 1/ 3 – в метрах. Исходя из закона распределения Релея, установлено [1], что

h 1/ 3 , σr и h3% связаны соотношениями:

h 1/ 3= 4σr = 0,75h3% ;

h3% = 5,29σr =1,336h1/ 3; σr = 0,19h3% = 0,25h1/ 3 .

Высота волн с обеспеченностью 0,1% условно принимается за наибольшую возможную в данном месте моря при шторме определенной силы. Различают также среднюю высоту волн

( h = 0,625h1/ 3 ), которая имеет обеспеченность 45,6%. В ряде

источников можно встретить высоты волн другой обеспеченности, чем рассмотрены выше, например: 1%, 2%, 5%, 10%, 20%.

Корреляционная функция волнения. Для описания вероятностных свойств изменения волновой ординаты во

времени используется корреляционная функция Kr (τ) . В простейшем случае ее представляют выражением [1]:

преобладающей гармоники волновой ординаты (гармоника, которая несет наибольшую энергию); cr – коэффициент

затухания. Частота преобладающей гармоники волновой ординаты – это пиковая частота, соответствующая максимуму спектра волнения. Как показал Н.Н.Рахманин, для развитого волнения на глубокой воде приближенно можно считать [8]:

53

Спектр волнения. По рассмотренным выше характеристикам морского волнения затруднительно находить показатели мореходности судна. Гораздо проще это выполняется при замене волновой ординаты как функции времени случайной функцией вспомогательной комплексной переменной, имеющей размерность частоты.

При переходе к частотной координате нерегулярное волнение рассматривается как результат наложения неограниченного числа плоских гармонических волн со случайными амплитудами, частотами и фазами. Для судна, принимаемого за линейную динамическую систему, это позволяет представлять его реакцию на морское волнение в виде суммы реакций на гармонические волны. В результате исследование влияния нерегулярного волнения на судно сводится к простым методам, которые применяются при изучении действия на него регулярного волнения.

Для частотной характеристики плоского нерегулярного волнения как случайного стационарного процесса используется

функция спектральной плотности волновых ординат Sr (ω)

(энергетический спектр), представляющая распределение энергии волнения по различным частотам [4]. Эту функцию также называют одномерным волновым спектром. Переход от временной к комплексно-частотной области с использованием спектральных характеристик позволяет значительно упростить выкладки при определении параметров качки по данным о волнении. Этот способ нашел широкое применение при расчетах мореходности.

Функцию спектральной плотности волновых ординат в общем случае можно представить графиком, изображенным на рис. 2.4. Гармонику, соответствующую максимуму спектра,

называют преобладающей.

Спектр волнения связан с корреляционной функцией этого процесса выражением [4]:

54

Как всякое распределение, спектральная плотность может быть охарактеризована интегральными параметрами –

моментами.

S(ω)

ω

ωр ω 1ω2

Рис. 2.4. Спектр двумерного нерегулярного волнения

Спектральным моментом случайной функции со спектром Sr (ω) называется величина:

∞

принимать любое целое положительное значение.

Через спектральные моменты выражаются характеристики, отражающие основные свойства волнения.

Дисперсия волновой ординаты. Момент нулевого порядка равен площади, ограниченной спектральной кривой. Он пропорционален полной энергии волнения и равен дисперсии

σr2 волнового процесса:

Дисперсии скорости и ускорения волновой ординаты.

Известно, когда случайный стационарный процесс имеет производную, то для получения ее частотного распределения

55

достаточно умножить спектральную плотность процесса на ω2 . Отсюда следует, что дисперсии скорости σr2& и ускорения σ&r2& волновой поверхности можно представить выражениями:

соответствуют закону распределения Релея, а высота значительных волн определяется с помощью выражения:

(ω1 ), квадратично взвешенную среднюю (ω2 ). Пиковая частота

ωP соответствует максимуму волнового спектра.

Средние частоты волнения связаны с моментами его спектра отношениями [20]:

56

–взвешенный средний (average wave period): τ1 = 2π /ω1 ;

–квадратично взвешенный средний (average zero-crossing wave period):τ2 = 2π /ω2 .

Квадратично взвешенный средний период τ2 считают

позволяет при расчете резонансных явлений вместо периода преобладающего волнения использовать его средний период.

Идеализированные спектры морского волнения. Форма волнового спектра в данном месте и в данное время является неповторимой. Она зависит от текущих значений гидрометеорологических параметров, предыстории их изменения, географических и океанографических особенностей акватории. При практических расчетах, связанных с учетом волнения, для описания спектральной плотности волновых ординат используются предложенные рядом авторов функции.

Они называются идеализированными волновыми спектрами, так как отражают только общие черты, присущие волнению всех морских глубоководных акваторий. По числу параметров, определяющих эти функции, спектры волнения бывают одно, двух и много параметрическими.

Для расчета спектров первого вида достаточно знать только один параметр – высоту волн. Для определения двухпараметрических спектров требуется знать высоту и средний период волнения. Из известных описаний распределения энергии ветрового волнения можно назвать спектры Ю.М.Крылова, А.И.Вознесенского-Ю.А.Нецветаева, Г.А.Фирсова, Пирсона-Московица, Неймана, Бретшнайдера, Хассельмана (спектр JONSWAP). Касаясь последнего распределения, следует отметить, что в 1968 и в 1969 году выполнялась обширная программа по измерению параметров

57

ветрового волнения в Северном море, известная как JONSWAP (Joint North Sea Wave Project). На основе анализа ее результатов было получено выражение волнового спектра, названного по имени этой программы – JONSWAP. На 15-ой Международной конференции опытовых бассейнов (ITTC – International Towing Tank Conference) в 1978 году этот спектр был принят в качестве стандартного для Северного моря.

Большинство идеализированных спектров волнения относится к частотным распределениям, описываемых моделью:

Sr (ω) = Aω−k exp(−Bω−n ) ;

где A, B, k, n – параметры, зависящие от статистических

характеристик волнения и условий волнообразования.

Спектр Бретшнайдера, например, характеризуется следующими значениями A, B, k, n [12]:

волнение, 1 < p <1,7 – затухающее волнение).

За рубежом спектр Бретшнайдера был принят в качестве стандартного для расчета параметров мореходности: в 1967 году – Вторым Международным конгрессом по конструкции судов (ISSC – International Ship Structures Congress), в 1969 году

– 12-ой Международной конференцией ITTC. По этой причине выражение Бретшнайдера также называют ISSC или ITTC волновым спектром. Если в нем соотношение между средним

периодом τ1 и высотой значительных волн принять равным τ1 = 3,861 h1/ 3 , то получится однопараметрический волновой

спектр Пирсона-Московица.

В отечественной практике при расчетах параметров мореходности нередко пользуются двухпараметрическим идеализированным спектром, заданным отраслевым стандартом

СССР 1981 г [10]. Применяется также спектр А.И.Вознесенского-Ю.А.Нецветаева [12]:

58

где ωp = 0,777ω .

Упрощенный спектр. В простейшем случае нерегулярное волнение описывают корреляционной функцией (2.6). По ней с помощью соотношение (2.7) получается упрощенный спектр волновых ординат [13]:

Ветровое

волнение

ω

0

Рис. 2.5. Один из спектров смешанного волнения

Спектр смешанного волнения. Реальное волнение чаще всего является смешанным и состоит из ветровых волн и зыби. Энергетический спектр смешанного волнения существенно отличается от рассмотренных выше идеализированных частотных распределений ветровых волн. Он, как правило, имеет два максимума (рис. 2.5), которые приближенно соответствуют пикам спектров каждой из волновых систем, образующих смешанное волнение. Спектр зыби обычно расположен в области более низких частот, чем спектр ветровых волн. Для возможности учета особенностей двух систем волнения при решении практических задач Гидрометцентры в настоящее время передают прогнозы, как основных параметров

59