Метод обратной матрицы

Если матрица системы невырождена (т.е. определитель отличен от нуля), то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы имеет следующий вид: x = A^-1b.

Метод Гаусса

Метод Гаусса, его еще называют методом гауссовских исключений, состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,…, x_n (1) приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

,

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

,

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

.

Последний, (n+1)-й столбец этой матрицы содержит решение системы.

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).

Метод простых итераций

Метод простых итераций (последовательных приближений) является одним из приближенных методов решения линейных алгебраических уравнений.

Итерационный процесс заключается в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находим последова­тельность приближенных значений корня х₁,х₂...х_n. Если с ростом n эти значения приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод состоит в том, что система уравнений Cx = d преобразуется к виду x=b + Ax и ее решение вычисляется как предел последовательности

Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие по какой либо норме матрицы, согласованной с нормой векторов.

Понятие нормы позволяет оценить степень близости двух векторов. В частности, если норма разности точного и приближенного решений системы мала, то, по-видимому, приближенное решение хорошо аппроксимирует точное решение.

Задания:

Задание 1. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы. (Таблица 1)

Порядок выполнения работы.

1. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.

2. Введите матрицу системы и столбец правых частей (A, b).

3. Вычислите определитель матрицы системы. Система имеет единственное решение, если определитель отличен от нуля.

Пример:

4. Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей (₁, ₂, ₃, ₄).

5. Найдите решение системы по формулам Крамера.

Задание 2. Решите систему линейных алгебраических уравнений (Таблица 1) методом обратной матрицы.

Порядок выполнения работы.

1. Ввести систему линейных уравнений. Например:

x+2y+3z=7

x-3y+2z=5

x+y+z=3

При записи уравнений используйте Булево равенство из панели Булевы операторы.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей (A, b).

3. Вычислите решение системы по формуле x = A^-1b, (x=).

4. Проверьте правильность решения по формуле Ax – b.

5. Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений.

Задание 3. Найдите методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений. (Таблица 1)

Порядок выполнения работы.

1. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.

2. Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.

3. Сформируйте расширенную матрицу системы с помощью функции augment(A,B) и присвойте ей имя Ar.

4. Приведите расширенную матрицу системы к ступенчатому виду с помощью функции rref(Ar), где Аr – расширенная матрица системы. Присвойте ступенчатой матрице имя As.

5. Сформируйте столбец решения системы с помощью функции submatrix(A, ir, jr, ic, jc), где А – ступенчатая матрица.

6. Проверьте правильность решения по формуле Ax – b.

Задание 4. Найдите методом простых итераций приближенное решение линейной системы. (Таблица 2)

Порядок выполнения работы.

1. Преобразуйте исходную систему Сх = d к виду х = b + Ах.

Например, дана следующая система:

Преобразованная система имеет вид:

2. Введите матрицы А и b.

3. Проверьте достаточное условие сходимости. Для этого вычислите норму матрицы по формуле norm1(A). Если норма матрицы , то итерационный процесс сходится.

4. Определите нулевое (начальное) приближение решения по формуле , т.е. в качестве начального приближения возьмите вектор правых частей преобразованной системы.

5. Задайте количество итераций (например, )

6. Введите формулу вычисления последовательных приближе­ний решения и вычислите их.

7. Выведите на экран матрицу приближенных решений.

8. Вычислите погрешность найденного приближения по формуле:

,

где вместо k и k-1 подставляйте последний и предпоследний шаг итерации.

9. Запишите решение системы уравнений в виде .