Модуль 5. Кратные интегралы. Теория поля.

Лекции 8-9

Кратные интегралы.

Мера Жордана.

Пусть задан прямоугольник в:. Тогда

- прямоугольник, .

Назовем фигурой , гдемогут пересекаться только по границам. Назовем меройсумму мер:.

Меру фигуры можно вычислить разными способами:

Свойства меры фигуры:

1.

2. , причем.

3. - фигуры,,,, если они пересекаются, быть может, только

по границе.

4. фигуры,- фигура, если, то

Измеримые множества в .

Пусть задано произвольное множество .

Рассмотрим .

- внутренняя мера Жордана.

- внешняя мера Жордана.

Если они конечны (множество ограничено) и равны между собой, т.е. , то-измеримое.

В случае n= 2 множество называется квадрируемым,n= 3 кубируемым.

Пример 1.Пусть задан отрезок.

- мы можем поместить этот отрезок в прямоугольник как угодно маленькой площади,

Пример 2. .

, так как у нас не найдется прямоугольника, чтобы он целиком содержался бы в этом множестве.

- фактически он сам. Они между собой не равны, множество не измеримо.

Рассмотрим границу множества (границей множества называются такие точки множества, в любой окрестности которых содержатся как точки множества, так и точки, не принадлежащие множеству) Г.

1)

- фигура.

2) Пусть дана

-фигура

-фигура. И тогда.

Критерии измеримости.

Теорема 1.Множествоизмеримо тогда и только тогда, когда, то есть тогда, когда фигуру, покрывающую границу, можно сделать как угодно маленькой площади.

Доказательство.

Нам дано, чтоG– измеримо.

Его мера тогда , значит, по определению супремума и инфемума

Нам дано, что

Переходя к инфимуму в этом неравенстве

G– измеримо.

Теорема доказана.

Теорема 2.МножествоGизмеримо тогда и только тогда, когда.

Доказательство.

МножествоGизмеримо, следовательно, по теореме 1,,

- так как они могут пересекаться разве что по границе.

, следовательно.

Пусть, это означает, что.

Тогда мы берем ,.

То есть мы нашли две таких фигуры, что и, следовательно, по теореме 1,G– измеримо.

Теорема 3.МножествоGизмеримо тогда и только тогда, когда- измеримые, такие, что.

Доказательство.

Вспомним, что если , тои.

G– измеримо, значит- фигуры, а любая фигура является измеримым множеством, так как она состоит из прямоугольником, то есть нашлись нужные нам измеримые множества.

Допустим, что нашлись, тогда

переходя к инфемуму в этом неравенстве

Упражнение: доказать, чтои

Получаем, что они равны.

Свойства измеримых множеств.

Лемма 1. Еслиитаковы, что, тоизмеримо и

Доказательство.

Поскольку мера этих множеств равна 0, то их можно поместить в ,, где

,, тогда.

.

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть,, тогда- измеримо,.

Доказательство:

заключаем в, тогдав ней же и содержится, получаем, что.

Лемма доказана.

Теорема 1.Если- измеримо, то множества- измеримы.

Доказательство.

Поскольку множества измеримы, то .

Кроме того, .

по лемме 1. Мы получили, что граница содержится в множестве, мера которого равна 0, тогда по лемме 2

Значит, по теореме 2- измеримо.

Точно также и далее все то же самое.

Теорема 2.ПустьG– измеримо. Если мы рассечем его с помощью множества меры 0 на 2 непересекающиеся части, то их части тоже будут измеримы.

Доказательство.

Очевидно, что . Тогда по лемме 2 множествоизмеримо, аналогично для.

Теорема доказана.

Теорема 3.Пусть- измеримые, пересекаются разве что по границе.

, тогда мы уже доказали, что- измеримое множество. При этом

.

Доказательство.

Возьмем такие, что

И точно также , такие, что

Тогда .

Раз множества пересекаются разве только по границе, тотоже пересекаются разве что по границе,

Про мы можем лишь сказать, что.

Лекция 12.

Мы хотим доказать, что

. Причем, что это множество измеримо, доказано в предыдущей теореме.

Возьмем таким образом, что

Если множествоизмеримо, то найдется такое, что

.

Соответственно найдется

Тоже самое можно сказать про :

У нас было доказано, что раз у нас ипересекаются разве что только по границе, тоимогут тоже пересекаться только по границе, тогда для них.

А про имы такого сказать не можем (см. рисунок), мы лишь можем написать

. Тогда мы получаем, кроме всего прочего, что

, получаем строчку неравенств:

Таким образом, мы нашли два множества, и:

Если мы возьмем теперь супремум и инфемум, то у нас получится, что внутренняя мера нашего объединения больше, чем . Внешняя мера меньше, чем, отсюда следует, что они равны между собой.

Что и требовалось доказать.

Следствие.

Если - измеримые, а, то

Доказательство:

Что разность измерима, мы уже доказали, докажем теперь равенство:

. Следствие доказано.