Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
22
Добавлен:
13.05.2017
Размер:
193.54 Кб
Скачать

Дисциплина. Физика 1. Механика. Термодинамика

Модуль 1.2. Динамика твердого тела. Релятивистская механика. Механические колебания, механические волны

Лекция 8. Основы релятивистской механики

Основные понятия: собственная длина, длина движущегося тела, синхронизация часов, одновременность событий, собственное время, пространственно-временной интервал, релятивистский импульс, релятивистская энергия.

План лекции

1. Дорелятивистские представления о пространстве и времени.

2. Постоянство скорости света. Постулаты специальной теории относительности.

3. Синхронизация часов. Одновременность событий.

4. Преобразования Лоренца. Следствия преобразований Лоренца.

5. Пространственно-временной интервал.

6. Релятивистский импульс.

7. Релятивистское уравнение движения.

8. Энергия релятивистской частицы.

9. Энергия, импульс и масса в специальной теории относительности.

Краткое содержание

1. Дорелятивистские представления о пространстве и времени.

1) Пространство трехмерно; оно подчиняется аксиомам геометрии Евклида.

2) Наряду с трехмерным пространством существует не зависящее от него время.

3) Длины тел и промежутки времени абсолютны, т.е. не зависят от выбора системы отсчета.

4) Справедлив закон инерции Галилея.

5) Пространственно-временная связь событий в разных инерциальных системах отсчета дается преобразованиями Галилея. Если система отсчета движется относительно системы S со скоростью в положительном направлении оси x и в начальный момент времени начала координат О и О΄ систем совпадают, то

, , , ,

или

, .

6) Из преобразований Галилея непосредственно вытекает нерелятивистский закон сложения скоростей:

.

7) Равноправие всех инерциальных систем отсчета утверждается принципом относительности Галилея.

2. Постоянство скорости света. Постулаты специальной теории относительности.

Изучение природы света и законов его распространения – одна из главных проблем физики XIX века. Успехи волновой теории в начале XIX века: общепринятой стала точка зрения на свет как на волновой процесс в среде.

Опыты Майкельсона и Морли по определению скорости движения Земли относительно «светоносной» среды – эфира. Ни в одном из опытов не удалось обнаружить влияния скорости движения Земли на величину скорости распространения света. Вывод: скорость света в вакууме является величиной постоянной, не зависящей от движения источника и приемника. Этот факт противоречит принципу относительности Галилея, нерелятивистскому закону сложения скоростей.

А.Эйнштейн (1905 г.) предложил пересмотреть классические представления о свойствах пространства и времени, исходя из справедливости двух основных постулатов – принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна представляет собой обобщение принципа относительности Галилея на все без исключения физические явления: все законы природы и уравнения, их описывающие, не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ( или все инерциальные системы отсчета равноправны).

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме есть величина постоянная, не зависящая от движения источника и приемника.

Сформулированные принципы являются постулатами, т.е. допущениями, выходящими за пределы прямой экспериментальной проверки.

3. Синхронизация часов. Одновременность событий.

Эйнштейн предложил пользоваться для синхронизации часов световыми сигналами вакууме. Для синхронизации часов А и В, находящихся в различных точках пространства, можно поступить следующим образом. Произведем в точке С, находящейся в середине отрезка АВ, световую вспышку. Будем считать по определению(!), что свет достигнет точек А и В одновременно. Если в момент прихода света к часам А и В их показания сделать одинаковыми, то часы будут синхронизованы между собой.

4. Преобразования Лоренца. Следствия преобразований Лоренца.

Поскольку преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, и постоянство скорости света не является их следствием, эти преобразования не отражают правильно той связи, которая существует для координат и времени в инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Необходимо найти другие преобразования, которые правильно описывают экспериментальные факты. Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца. Они могут быть получены, исходя из двух постулатов специальной теории относительности.

Общий вид преобразований определяется свойствами пространства и времени (однородность и изотропия пространства, однородность времени). Из них следует, что координаты и время в различных системах отсчета связаны между собой линейно:

, , .

Допустим, что в момент t ==0 в начале координат произошла световая вспышка. Записывая уравнение световой сферы в двух системах отсчета (неподвижной S и движущейся ) и приравнивая коэффициенты при аналогичных слагаемых, находим значения γ, a и b:

(так называемый лоренцевский фактор), , .

Таким образом, удовлетворяющие постулатам Эйнштейна преобразования координат и времени имеют вид

, , .

Следствия преобразований Лоренца:

  1. относительность одновременности событий;

  2. сокращение длины движущегося тела

(здесь l – длина движущегося тела, l­0собственная длина, т.е. длина, измеренная в той системе отсчета, в которой тело покоится) ;

  1. замедление хода движущихся часов

(здесь - время, измеренное неподвижными часами, - собственное время, измеренное часами, связанными с движущимся телом);

  1. преобразование скоростей (сложение скоростей)

Если - скорость материальной точки в системе отсчета S, - ее скорость в системе отсчета , то

, , .

5. Пространственно-временной интервал.

Пусть первое событие произошло в точке (x1, y1, z1) в момент t1, второе событие – в точке (x2, y2, z2) в момент t2. Интервалом между событиями (или пространственно-временным интервалом) называется величина s, квадрат которой определяется формулой

.

Ни длина тел, ни промежутки времени между событиями не являются инвариантами преобразований Лоренца. Инвариантом преобразований Лоренца является пространственно-временной интервал.

6. Релятивистский импульс.

Импульс быстро движущейся частицы (релятивистский импульс) записывается в виде

.

Масса m в выражении для релятивистского импульса – та же величина, что и в классическом определении импульса

,

и никакой новой «релятивистской» массы не вводится. Нет никаких оснований относить множитель γ к массе m и говорить о ее зависимости от скорости. Масса m является инвариантной величиной, сохраняющейся во всех инерциальных системах отсчета.

7. Релятивистское уравнение движения.

Как показывает опыт, релятивистский импульс частицы изменяется под действием внешней силы. Релятивистским уравнением движения называется уравнение

,

где – релятивистский импульс, – вектор обычной силы.

При скоростях релятивистский импульс переходит в классический и релятивистское уравнение движения переходит в классическое. Хотя по форме записи классическое и релятивистское уравнения движения похожи, из релятивистского уравнения получаются совершенно новые следствия. Действительно, продифференцируем релятивистский импульс по времени:

.

Тогда релятивистское уравнение движения принимает вид

.

Из этого уравнения следует, что в общем случае векторы , и не совпадают по направлению (рис.), а величина ускорения зависит от угла α между вектором силы и вектором скорости .

Полученное уравнение используется для описания движения заряженных частиц в различных электрических и магнитных полях. В частности, при проектировании ускорителей, в которых заряженные частицы ускоряются до релятивистских скоростей, на основе этого уравнения рассчитываются различные параметры ускорителя, в том числе такие важнейшие, как длина линейных ускорителей и радиус окружности для кольцевых ускорителей. В построенных ускорителях все заряженные частицы движутся по траекториям, рассчитанным на основе релятивистского уравнения движения.

8. Энергия релятивистской частицы.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае имеет вид

.

Потенциальная энергия U имеет тот же смысл, что и в классической механике, а величина

называется полной энергией частицы. В том случае, когда частица покоится (=0), она в соответствии с записанной формулой обладает энергией , которая получила название энергии покоя.

Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется выражением

.

При малых скоростях эта формула переходит в классическое выражение для кинетической энергии.

Очевидно, что энергия релятивистской частицы и ее импульс связаны соотношением

.

Кроме того, из сравнения формул для импульса и энергии следует, что

.

В релятивистской механике, как и в классической, энергия и импульс аддитивны. Энергия Е системы, состоящей из n частиц, определяется как сумма энергий Ei всех частиц:

.

Аналогично и импульс этой системы равен сумме импульсов частиц:

.

Тогда для массы m системы свободных частиц имеем следующее выражение:

.

Очевидно, что масса системы свободных частиц не равна сумме масс составляющих ее частиц, т.е. свойство аддитивности для массы не выполняется.

Учебно-методические материалы

Основная литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, кн. 1. – М.: ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ», 2004, §§6.1-6.10.

2. Иродов И. Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для вузов. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007, §§6.1-7.5.

Дополнительная литература

3. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика. – М.: Издательский центр «Академия», 2004, с.с. 132-191.