Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
62
Добавлен:
13.05.2017
Размер:
5.48 Mб
Скачать

Лабораторная работа № 28 распределение максвелла

Цель работы:

Экспериментальное моделирование и изучение распределения Максвелла.

Оборудование:

Устройство для реализации хаотического движения стеклянных шариков, источник питания, стробоскоп, приемник шариков, стойка с пробирками, запас шариков, секундомер, линейка, компьютер, приспособления для пересыпания шариков (воронка, крышка приемника).

Продолжительность работы– 4 часа.

Теоретическая часть

Распределение Максвелла – это закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии при отсутствии внешних силовых полей. При выводе закона не делалось никаких предположений относительно структуры молекул и характера взаимодействия между ними. Поэтому полученное Максвеллом распределение применимо не только для идеального газа, но и для других макроскопических систем, которые находятся в равновесном состоянии и движение частиц которых описывается уравнениями классической механики.

Для определённости будем рассматривать идеальный газ. В равновесном состоянии молекулы газа движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны.

Чтобы описать количественно распределение молекул по значениям скорости введем, следуя Максвеллу, пространство скоростей. Зададим начало отсчета и прямоугольные координатные оси. По координатным осям будем откладывать значения проекций ,искоростей отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора. Из-за столкновений молекул положения точек будут непрерывно меняться, но их плотность в физически бесконечно малой окрестности каждой точки пространства будет оставаться неизменной вследствие равновесного состояния газа

Пусть – концентрация молекул газа, а– среднее количество молекул в единице объёма, которые имеют проекции скорости в интервале от до . Тогда вероятностьтого, что проекция скорости произвольной молекулы находится в интервале от до равна:

,

(1)

где – одномерная (линейная) функция распределения Максвелла по проекциям скорости молекул на координатную ось. Эта функция распределения вероятностей имеет вид:

, (2)

где – масса одной молекулы,Дж/К – постоянная Больцмана,– абсолютная температура.

Выражение (2) содержит множитель. Этот множитель определен в результате нормировки функции. Утверждение, что молекула имеет какое-то значение проекции скорости , достоверно. Вероятность достоверного события равна единице, поэтому условие нормировки функцииимеет вид:

.

Три события, состоящие в том, что молекула имеет проекции скорости в интервалах , , , являются статистически независимыми. Поэтому, в соответствии с теоремой об умножении вероятностей, вероятность того, что проекции скорости молекулы одновременно окажутся в указанных интервалах, равна:

(3)

Аналогично (1) вероятность определяется соотношением:

(4)

где – среднее количество молекул в единице объема, имеющих проекции скорости в заданных интервалах,– трёхмерная (объёмная) функция распределения Максвелла,– модуль вектора скорости молекулы. Сравнивая (3) и (4), получим выражение для объёмной функции распределения вероятностей:

. (5)

Функция (5) также нормирована на единицу.

Вероятность того, что молекула имеет модуль скорости в интервале от до , можно найти, умножив функциюна объем шарового слоя радиусом толщиной:

.

(6)

Эта вероятность связана с функцией распределения Максвелла по модулю скорости соотношением:

, (7)

Сравнивая (6) и (7), получим с учетом (5):

. (8)

Зная вероятность (7), можно найти среднее количество молекул в единице объема, которые имеют модуль скорости в интервале от до :

. (9)

Рис. 1. Влияние температуры и массы молекул на распределение Максвелла

На рис. 1 схематично показаны графики функции (8) при разной температуре и массе молекул. С ростом температуры и уменьшением массы молекулы газа максимум функции распределения смещается в сторону больших скоростей. Функция (8), также как (2) и (5), нормирована на единицу. Площадь под любым графиком функции распределения Максвелла всегда равна единице вне зависимости от массы молекулы и температуры газа.

Выражение (7) и функция распределения Максвелла (8) позволяют найти вероятность того, что модуль скорости молекулы газа окажется в заданном интервале скоростей :

. (10)

Зная вероятность (10) можно найти среднее количество молекул в единице объема, которые имеют модуль скорости в интервале:

. (11)

Для описания состояния газа используют три характерные скорости молекул. Скорость, при которой функция максимальна, называется наиболее вероятной скоростью, будем обозначать её как. Эта скорость находится из условия. Формула для вычисления наиболее вероятной скорости имеет вид:

, (12)

где Дж/(моль*К) – универсальная газовая постоянная,– молярная масса. Положение максимума функциина рис. 1 соответствует зависимостиот абсолютной температуры и массы молекулы в соответствии с (12).

Перепишем функцию распределения (8), используя формулу для :

. (13)

Если значение наиболее вероятной скорости определить экспериментально, можно, используя (13), рассчитать теоретический вид функции распределения Максвелла по модулю скорости.

Из теории вероятностей известно, что для параметра A, являющегося функцией случайной величиныx(), можно определить среднее значение, если известна функцияраспределения случайной величиныx:

. (14)

Используя функцию распределения (8) и выражение (14) получим формулы средней арифметической и средней квадратичнойскоростей соответственно:

, (15)

. (16)

Физический смысл среднеквадратичной скорости заключается в том, что ее квадрат определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Суть настоящей лабораторной работы заключается в следующем. Объектом для исследования является макроскопическая система, состоящая из большого числа стеклянных шариков небольшого размера. В специальном устройстве реализуется хаотическое движение этих шариков. Через отверстие в этом устройстве шарики поступают в приемник. В результате, по истечении определенного времени, в приемнике шариков визуализируется в виде гистограммы картина распределения шариков по скоростям. По полученной гистограмме нужно определить вероятную скорость . Затем, по формуле (13) рассчитать теоретическую функцию распределения Максвелла и сравнить ее с экспериментальной зависимостью.

Соседние файлы в папке LAB28