Теоретические обоснования
В дискретной математике довольно часто встречаются утверждения, зависящие от целочисленных параметров. Во многих случаях их удается доказать методом математической индукции. Этот метод основан на принципе математической индукции, который состоит в следующем.
Пусть
- некоторое утверждение, зависящее от
натурального параметра
.
Это утверждение считается справедливым
для всех значений
,
начиная с некоторого значения
,
если выполняются следующие условия:
1) утверждение
справедливо для
;
2) из предположения, что
справедливо при
(
- любое натуральное число, большее или
равное
)
следует, что оно справедливо и при
.
Доказательство справедливости утверждения
методом математической индукции включает
два этапа.
1) базис индукции, состоящий в проверке
справедливости утверждения
для некоторого начального значения
(обычно
,
но это не обязательно);
2) индуктивный переход, состоящий
в том, что, полагая справедливым
утверждение
(
),
доказывают справедливость утверждения
.
Пример 10. Доказать методом математической индукции формулу бинома Ньютона
.
◄ 1. Базис индукции.
При
имеем
.
Поскольку
,
формула верна.
2. Индуктивный переход. Докажем, что из предположения о том, что верно равенство
,
следует, что верно равенство
,
полученное из формулы бинома Ньютона
заменой
на
.
В самом деле, имеем
(при переходе, помеченном (
),
были использованы тождество
и равенства
,
,
,
).
Таким образом, формула бинома Ньютона
справедлива для любого
.
►
Приведенная формулировка принципа
математической индукции допускает
равносильные варианты. В некоторых
случаях мы будем использовать вариант,
в котором индуктивный переход состоит
в предположении справедливости
утверждения
для
и доказательстве его справедливости
для
.
Для доказательства комбинаторных соотношений также пользуются аппаратом математического анализа. Проиллюстрируем это на примере.
Пример 11.
Доказать, что при любом натуральном
выполняется равенство
.
◄ Воспользуемся тем, что при всех
действительных значениях
выполняется равенство
.
Заменим
и
их биномиальными разложениями:
.
Поскольку мы имеем тождество относительно
,
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих его частях должны быть одинаковыми.
Рассмотрим коэффициенты при
.
В левой части интересующий нас коэффициент
равен
.
Чтобы понять, чему равен коэффициент
при
в правой части, перепишем ее, изменив
порядок слагаемых во втором множителе:
.
Теперь видно, что слагаемые, содержащие
,
получаются при перемножении друг на
друга первых, вторых, третьих и т.д.
слагаемых, стоящих в скобках. Следовательно,
верно равенство
.
Учитывая, что
,
окончательно получаем:
.►