Теоретические обоснования
Вернемся к свойствам (1) – (19) операций
над множествами. Все они представляют
собой утверждения о равенстве двух
множеств. Стандартный способ доказательства
равенства двух множеств
состоит в доказательстве двух включений:
и
.
Доказательство каждого такого включения
(пусть для определенности это будет
)
проводится по следующей схеме:
рассматривается произвольный элемент
множества
и устанавливается, что он также является
элементом множества
.
В качестве примера докажем один из дистрибутивных законов:
.
1) Пусть
- произвольный элемент из
.
Тогда по определению операции
имеем
и
.
Во втором случае из определения операции
выводим, что
или
.
Если
,
то с учетом того, что
,
получаем
.
Если
,
то с учетом того, что
,
получаем
.
Таким образом,
или
.
Следовательно,
по определению
операции
имеем
.
Тем самым установлено, что
.
2) Пусть
- произвольный элемент из
.
Тогда по определению операции
имеем
или
.
В первом случае из определения операции
выводим, что
и
.
Во втором случае -
и
.
Таким образом,
или
,
значит,
.
Кроме того, в обоих случаях
.
Следовательно, согласно определению
операции
,
имеем
.
Тем самым установлено, что
.
Действуя по такой же схеме, можно доказать и другие свойства операций над множествами (советуем проделать это самостоятельно).
В первой части данного параграфа были сформулированы свойства классов эквивалентности. Докажем эти свойства, предварительно записав их с использованием математической символики.
Теорема 1.1 (о свойствах классов
эквивалентности). Пусть
- отношение эквивалентности на множестве
.
Тогда
1.
;
2.
;
3.
.
Доказательство. 1.
- отношение эквивалентности,
следовательно,
является рефлексивным, т.е.
выполняется
.
Но тогда
и,
значит,
.
2. Пусть
,
т.е.
.
Тогда
и
,
откуда
и
,
и, следовательно, в силу симметричности
и
,
и, наконец, поскольку
транзитивно, получим
.
Возьмем любой элемент
множества
,
тогда
.
Так как
и
,
то в силу транзитивности
,
т.е.
.
Таким образом,
.
Аналогично получим
.
Следовательно,
.
3. Докажите это утверждение самостоятельно. ■